精品解析：河北省唐县第一中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

2024-2025学年高一下学期期末考试 高一数学 （时间：120分钟；分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 设，则等于（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四边形ABCD中，，设，则等于（ ） A B. C D. 4. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 或 B. 或3 C. 或3 D. 3 5. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A B. C. D. 6. 某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（ ） A. 估计数学成绩的众数为75 B. C. 估计数学成绩的75百分位数约为85 D. 估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50 7. 甲、乙两人组成“星队”参加必修一数学知识竞答，每轮竞答由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮竞答中答对道题目的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则下列命题是真命题的是（ ） A. B. C. D. 若z是关于x的方程的根，则 10. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ） A. 某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B. 张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C. 甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D. 设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 11. 一块正方体形木料如图所示，其棱长为，点在线段上，且过点将木料锯开，使得截面过，则（ ） A. B. 截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台 C. 截面面积为 D. 以点为球心，长为半径的球面与截面的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 给出下列命题：①任意两个复数都不能比较大小；②若，则当且仅当且时，；③若，，且，则；④若，则.其中，________是假命题.（填序号） 13. 如图，若圆台的上、下底面半径分别为且，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为______.  14. 在平行四边形中，已知，，为坐标原点，则顶点的坐标为______，平行四边形的面积是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值； （3）求证：平面． 17. 近些年来，我国外卖业发展迅猛，外卖骑手穿梭在城市的大街小巷，成为一道亮丽的风景线.某课外实践小组随机调查了该市的10名外卖骑手，统计他们的日单量（平均每天送的外卖单数），数据如下表： 31 37 38 32 33 42 24 20 37 26 （1）估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率； （2）求这10名外卖骑手日单量的平均数和方差； （3）若表中第一行数据对应的外卖骑手来自甲公司，第二行数据对应的外卖骑手来自乙公司，试判断：哪家公司的外卖骑手日单量的差异更大?（直接给出结论即可，不需要写计算过程） 18. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面. （1）求证：； （2）求证：为直角三角形； （3）若，求四棱棱的体积. 19. 临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试（前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为、、，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答道题就结束面试”为事件，记“小华道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一下学期期末考试 高一数学 （时间：120分钟；分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 设，则等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得复数，然后求即可. 【详解】， . 故选：B. 2. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据A，B是相互独立事件，结合对立事件和相互独立事件概率运算的性质，直接进行计算即可. 【详解】解：由，得， 则. 故选：A. 3. 如图，在四边形ABCD中，，设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的基底，利用向量的线性运算，结合几何图形求解即得. 详解】依题意， . 故选：C 4. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 或 B. 或3 C. 或3 D. 3 【答案】A 【解析】 分析】利用正弦定理求得，由可得或，分别求即得. 【详解】由题意及正弦定理，得，解得. 又，故，于是或，均符合题意. 当时，，由正弦定理，得，解得； 当时，，此时是等腰三角形，. 故选：A 5. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量数量积公式求出的值，最后根据夹角的取值范围确定夹角. 【详解】由，可得 又 所以解得： 所以 又所以 所以与的夹角为． 故选：C. 6. 某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（ ） A. 估计数学成绩的众数为75 B. C. 估计数学成绩的75百分位数约为85 D. 估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数的概念可得选项A正确；利用长方形面积之和为1可得选项B错误；根据百分位数的概念可得选项C正确；根据加权平均数的计算方法可得选项D正确. 【详解】估计数学成绩的众数为（分），A选项正确. 根据题意可得，∴， B选项错误. ∵前四组的频率依次为0.1，0.15，0.35，0.3， ∴估计数学成绩的75百分位数约为（分），C选项正确. ∵成绩在80分及以上的学生的两组的频率之比为， ∴估计成绩在80分及以上的学生的平均分为，D选项正确． 故选：B． 7. 甲、乙两人组成“星队”参加必修一数学知识竞答，每轮竞答由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮竞答中答对道题目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设  分别表示甲两轮答对个，个题目的事件，  分别表示乙两轮答对个，个题目的事件，利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】设  分别表示甲两轮答对个，个题目的事件，  分别表示乙两轮答对个，个题目的事件， 则，， ，， 设“两轮活动星队答对个题目”，则， 因为且  与  互斥，  与  ，  与  分别相互独立， 所以， 因此，“星队”在两轮竞答中答对个题目的概率是  ， 故选：B 8. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面平面，可知平面，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】如图，底面为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设， 分别取的中点，连接， 则，且，平面， 可知平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，则，即， 则，可得， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则下列命题是真命题的是（ ） A. B. C. D. 若z是关于x的方程的根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】于每个选项依据相应的复数知识进行判断；A依据共轭复数定义与复数乘法运算；B依据复数的幂运算与除法运算；C依据复数的模的计算；D依据方程的根以及复数相等的条件来求解判断. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，由题意可知，关于x的方程．的两虚根分别为， 由根与系数的关系可得，可得，故，D对． 故选：ACD． 10. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ） A. 某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B. 张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C. 甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D. 设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用独立事件的概率计算判断A；利用古典概型的概率公式求解判断B；利用独立事件和互斥事件的概率公式计算判断C；利用独立事件的概率乘法公式建立方程组求解判断D. 【详解】对于A，该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯，则该生在前个路口不是红灯， 第个路口是红灯，所求概率为，A正确； 对于B，从这张卡片中随机抽取张，不同结果为，共6个， 取出的张卡片上的数字之和为奇数的结果为，共4个，概率为，B错误； 对于C，甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球， 从每个袋子中各任取一个球，则取到不同色球的概率为，C正确； 对于D，由独立事件的概率公式可得， 解得，D错误. 故选：AC 11. 一块正方体形木料如图所示，其棱长为，点在线段上，且过点将木料锯开，使得截面过，则（ ） A. B. 截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台 C. 截面的面积为 D. 以点为球心，长为半径的球面与截面的交线长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体的性质和已知条件判断线线垂直关系，再确定截面形状从而判断截得的几何体，接着计算截面面积，最后分析球面与截面的交线情况. 【详解】对于，如图，连接，由平面，平面，得． 又，，平面，平面，所以平面． 又平面，所以，正确； 对于,过点作直线平行于，分别交于两点，连接， 显然， 所以四边形为过点及直线的正方体的截面，截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，错误； 对于，由选项B得则 因此截面矩形的面积,正确； 对于D，过作于点，由平面，平面， 得．又，平面，平面， 所以平面，所以点为以点为球心，长为半径的球面被平面所截小圆圆心， 球面与截面交线为以点为圆心，长为半径的半圆弧， 显然因此交线长为，D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 给出下列命题：①任意两个复数都不能比较大小；②若，则当且仅当且时，；③若，，且，则；④若，则.其中，________是假命题.（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】采用列举法可直接选出假命题 【详解】对①，当两复数均为实数时，可比较大小，故①错；②显然正确；对③，若，则满足，但，故C错；对④，若，则，但，故④错. 故答案为：①③④ 13. 如图，若圆台的上、下底面半径分别为且，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为______.  【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可. 【详解】 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处, 设球O与母线切于M点,所以,所以 (R为球O的半径), 所以与全等, 所以,同理， 所以， ，所以， 所以圆台的内切球半径，内切球的表面积为. 故答案为：. 14. 在平行四边形中，已知，，为坐标原点，则顶点的坐标为______，平行四边形的面积是______． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】设，由求解；先利用数量积求得，再由平行四边形的面积是求解. 【详解】解：设， 由题意得：， 所以， 所以； 又， 所以， 所以平行四边形的面积是. 故答案为：，4 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【小问1详解】 解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. 【小问2详解】 解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值； （3）求证：平面． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）推导出，利用勾股定理可求得的长； （2）分别取、、的中点、、，连接、、、，由异面直线所成角的定义可知，异面直线、所成角为或其补角，求出三边边长，结合余弦定理求解即可； （3）利用勾股定理证明出，同理得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为，为的中点，所以， 故. 【小问2详解】 分别取、、的中点、、，连接、、、， 因为、分别为、的中点，所以， 且， 同理可得，，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 因为，，故四边形为平行四边形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，故，， 因为平面，所以平面， 因为平面，故，所以， 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 连接，如下图所示： 由勾股定理可得，， 又因为，故，即，同理可证， 因为，、平面，故平面. 17. 近些年来，我国外卖业发展迅猛，外卖骑手穿梭在城市的大街小巷，成为一道亮丽的风景线.某课外实践小组随机调查了该市的10名外卖骑手，统计他们的日单量（平均每天送的外卖单数），数据如下表： 31 37 38 32 33 42 24 20 37 26 （1）估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率； （2）求这10名外卖骑手日单量的平均数和方差； （3）若表中第一行数据对应的外卖骑手来自甲公司，第二行数据对应的外卖骑手来自乙公司，试判断：哪家公司的外卖骑手日单量的差异更大?（直接给出结论即可，不需要写计算过程） 【答案】（1） （2）平均数32，方差43.2 （3）乙公司的外卖骑手日单量的差异更大，理由见解析 【解析】 【分析】（1）计算出频率为，从而估计出概率为； （2）利用平均数和方差的计算公式进行求解即可； （3）计算出两公司的外卖骑手日单量的极差，得到答案. 【小问1详解】 10名外卖骑手中有7人的日单量大于30，频率为， 因此估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率为. 【小问2详解】 平均数为. 方差为. 【小问3详解】 乙公司的外卖骑手日单量的差异更大，理由如下： 甲公司的外卖骑手日单量的极差为， 乙公司的外卖骑手日单量的极差为， 由于，故乙公司的外卖骑手日单量的差异更大. 18. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面. （1）求证：； （2）求证：为直角三角形； （3）若，求四棱棱的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，再由勾股定理即可得证； （2）由平面平面PCD依次证平面ADP、、平面ACP、即可； （3）由几何关系可得，结合即可求值. 【小问1详解】 作，E为垂足，如图， 在等腰梯形ABCD中，， ∴，， ∴， ∴，∴． 【小问2详解】 ∵，平面平面PCD，平面平面PCD，平面PCD， ∴平面ADP，又平面ADP， ∴，又， ∵平面ACP， ∴平面ACP， ∵平面ACP，∴， ∴，即为直角三角形. 【小问3详解】 由（1）知在等腰梯形ABCD中，．， ．∴．∴． 又平面ADP，为直角三角形，， ∴，， ∴． ∴． 19. 临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试（前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为、、，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答道题就结束面试”为事件，记“小华道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【小问1详解】 若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以，. 【小问2详解】 若事件发生，则小华前两题对一题，错一题，第三题答对， 根据题意则小华道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件、相互独立，则 【小问3详解】 记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为， 而由（1）可得小华通过面试的事件记为，则概率为， 由题意可知，事件、相互独立， 则小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $