第十七章勾股定理单元检测题2024-2025学年人教版数学八年级下册

第十七章勾股定理单元检测题 一、单选题 1．若直角三角形的两边长，满足，则第三边的长是（   ） A．4或 B．5或 C．4 D． 2．在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 3．如图是一个正方体的表面展开图，将其折叠成正方体后，下面各点中到顶点距离最大的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若， ，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 5．如图，以单位长度为边长画一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点和点，则点表示的数是（   ） A．0.6 B． C． D． 6．如图，的角平分线交于点，若，，，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D． 二、填空题 7．如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为 ． 8．在中，，，，点在边上，且，不重合的两条线段关于经过点的直线对称，当点恰好落在的边上时，的长为 ． 9．如图，在中，，交于点，，则 ．    10．如图，在等腰中，，，是边上的一点，点是上一点，连接、，过点作于点，当时，的长为 ． 11．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是1，，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点（点E位于点A右侧），则点E表示的数为 ． 12．如图，在四边形中，，，，，，点在直线上方，的面积为6，则的最大值为 ． 三、解答题 13．如图1，已知点，点为轴上一点，连接，和都是等边三角形． (1)如图1，当点落在内部时，求证：； (2)如图2，当点恰好落在上时，求的长及点的坐标； (3)如图3，在（2）条件下，点是线段上的动点（点，除外），过点作于点，于点，当点运动时，的值是否发生变化？请说明理由． 14．如图，是等边的中线，交的延长线于点，垂足为点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长度． 15．如图，已知长方形的顶点在轴上，顶点在轴上，，，、分别为、上的两点，将长方形沿直线折叠后，点A刚好与点C重合，点B落在点F处，再将其打开、展平． (1)点D的坐标是　　　，点E的坐标是　　　，点F的坐标是　　　； (2)设动点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线向终点C运动，运动时间为t秒，当时，求t的值． 16．在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上的点，连接，将绕点顺时针旋转至，．连接，直线交轴于点．    (1)如图，当 时，求点坐标； (2)证明：； (3)如图，若，，，判断的形状并说明理由． 17．如图，中，，于点D，且，动点M从点B出发以的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为． (1)当的边与平行时，求t的值； (2)在点N运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 18．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1，D是等边的边上的一动点，其中等边的边长为10，以为边在上方作等边，小明认为有最小值，那么的最小值是__________． (2)【问题探究】如图2，若和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系并说明理由． (3)【问题解决】如图3，在四边形中，，求四边形面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了平方和算术平方根的非负性特点、利用平方根解方程以及勾股定理的应用，解题关键是牢记它们的“非负性”，理解并能运用勾股定理求直角三角形的边等，先求出和的值，再设第三边为，讨论斜边情况，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵ 又∵, ∴ ∴ 设第三边长为x，由则共有以下两种情况： ①当时， ②当时，由所以， ∴第三边长是：4或； 故选：A． 2．D 【分析】本题考查三角形的内角和，勾股定理逆定理，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．根据三角形的内角和等于，各个角之间的数量关系，根据边之间的等量关系，结合勾股定理逆定理来判断各个选项是否符合题意． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴能判定为直角三角形； B．∵， ∴， ∴能判定为直角三角形； C．∵， ∴， ∴能判定为直角三角形；     D．∵， ∴， ∴不能判定为直角三角形． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查展开图还原成正方体，发挥空间想象能力，将展开图折叠成正方体后，由立体图形，结合勾股定理求线段长比较即可得到答案．熟记正方体的平面展开图及勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：将展开图折叠成正方体，如图所示： 设正方体的棱长为， 则，，， ， 点到顶点距离最大， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作于点，交的延长线于点，由折叠得，，而，则，可证明，得，，由，得，由，得，再证明，得，所以，求得，即可求解． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 沿折叠，点落在的直角顶点处，且，， ，，， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式即可得到​点表示的数． 【详解】解：以单位长度为边长画一个正方形， 则正方形对角线长度为， 点表示的数是， 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，含角的直角三角形等知识，过点作，交延长线于点，过点作，分别交于点，根据角平分线平分线的性质得到，，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，再根据勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作，交延长线于点，过点作，分别交于点，如图： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴ 解得：（负值已舍去）， ∴， 故选：D． 7．/0.6 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的应用，三角形面积的计算，延长交于点E，可以算出，的长度，从而利用面积比得到的面积，而的面积又是面积的一半，从而求解． 【详解】解：延长交于点E， ∵在中，，， ∴， ∵平分，且， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．4或 【分析】本题考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 根据角直角三角形性质和勾股定理可求得，即可求，，分类讨论当点落在边上；当点落在边上，再根据勾股定理、等边三角形的性质、轴对称的性质，可求的长． 【详解】解：，，， ， ， 点D在边上，且， ， ， ，由关于经过点的直线对称得， 如图 1，点落在边上， ，， 是等边三角形， ； 如图 2，点落在边上， ，， ； ∵ 点不能落在边上， 综上所述，的长为4或， 故答案为：4或． 9． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，由三角形的内角和定理可得，结合垂直的定义可求得，，进而可求得，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ． ∴， ∴ 故答案为：． 10． 【分析】如图，作于 ，作的平分线交 于，利用等腰，证明为等腰三角形，从而证，由此即可． 【详解】解：如图，作于 ，作的平分线交 于， ∵ ， ∴ ，根据勾股定理得： ， ∵ ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ，即 ， ∴，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，勾股定理等相关知识考点，解题关键是利用辅助线找全等三角形证线段相等即可． 11． 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟记勾股定理是解题的关键．由勾股定理可推出的长，再根据作图得出的长，即可推出结果． 【详解】解：由勾股定理得，， 由勾股定理得，， 以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点点E位于点A右侧， ， 点E表示的数为， 故答案为： 12． 【分析】过点作于．过点作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长，求出线段长即可得到答案． 【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴过点作直线，作点关于直线的对称点在上，则， 连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及轴对称性质、含直角三角形性质、三角形的面积公式、勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称性质构造图形解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题． 13．(1)见解析 (2) (3)不变，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）由点，得到，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，过E作轴于F，求出结果即可； （3）不会变化，连接，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形 ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）∵点， ∴，由（1）知， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 过E作轴于F，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴； （3）不会变化，如图，连接， ∵ ∵， ∴， 由①知：，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会发生变化，且的值为6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形面积的计算，勾股定理，含角直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 14．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，结合，可推出，然后根据对顶角相等得到，即可证明； （2）根据等边三角形的性质和中线的性质得到，，然后根据直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半求得，再得到，最后利用勾股定理先求得，即可再求得． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ，， ， 又， ， ． （2）解：是等边三角形，， ，， 是等边的中线，由（1）可知， ， ， ，由（1）可知， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，等腰三角形的判定，中线性质，直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 15．(1)，， (2)或或 【分析】（1）设，则，利用勾股定理求出，可得点坐标，再证明，可得点坐标，作于点，利用面积法求出，可得点的坐标； （2）分四种情形分别求解即可． 【详解】（1）解： ，， ， 设，则， 根据翻折的性质可得，， ， ， 解得， ，， ， ， ， ， ， 过点作于点． 的面积， ， ， ∴． 故答案为：，，； （2）解：当点在线段上，时，满足条件， 此时． 当点在上，的面积的最小值，不满足条件， 当点在线段上，时，满足条件，此时． 当点在线段上时，时，满足条件，此时． 综上所述，满足条件的的值为2.5或9.5或14.5． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，坐标与图形变化——对称，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 16．(1)； (2)见解析； (3)为等边三角形，理由见解析． 【分析】（）由，则，证明，所以，故有，从而求出点即可； （）同（）理可证，则有，由，故有，所以，，然后通过等腰三角形的判定方法即可求证； （）过作，交轴于点，得，则，，，由勾股定理得，，又，，则，，然后证明，最后通过全等三角形的性质等腰三角形的判定方法即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴坐标为， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：为等边三角形，理由如下， 过作，交轴于点，则，    ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（）可知， ∴为等边三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 17．(1)5或6 (2)能，5或6或 【分析】（1）设，根据三角形的面积公式求出x，再根据等腰三角形的性质求出t； （2）分、、三种情况，根据等腰三角形的概念和性质计算即可．本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、三角形面积以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：设，，， 则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴是等腰三角形； ∵，， ∴， ∴，，，． ∵， ∴， ①当时，，， ∴， ∴，即， ∴； ②当时，， ∴； 综上所述，若的边与BC平行时，t值为5或6． （2）能成为等腰三角形，分三种情况： ①当时，； ②当时，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时， 过D作于点G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，能成为等腰三角形，t的值为5或6或． 18．(1) (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据垂线段最短可得当时，有最小值，再利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）先证明，再利用证明即可得到，，根据等边三角形的性质和平角的定义得到，根据等腰直角三角形的性质得到，进由此可得；再证明，即可得到． （3）如图：将绕点A顺时针旋转，得到对应的，连接，证明是等边三角形，得到，则当C，B，E三点共线时，最大，即的最大值是9，如图：过A作于H，则、，再根据四边形面积的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵D是等边的边上的一动点， ∴当时，有最小值， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． （2）解：，理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． （3）解：如图：将绕点A顺时针旋转，得到对应的，连接， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴当C，B，E三点共线时，最大， ∴的最大值是9， 如图：过A作于H， ∴， ∴， ∴四边形面积的面积． ∴四边形面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$