第五章 一元一次方程 单元练习题 2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

第五章一元一次方程 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程是一元一次方程的是． A. B. C. D. 2.下列利用等式的性质，错误的是(    ) A. 由，得到； B. 由，得到； C. 由，得到， D. 由，得到； 3.若关于的方程和方程同解，则为(    ) A. B. C. D. 4.下列结论： 若是关于的方程的一个解，则； 若，则关于的方程的解为； 若，且，则一定是方程的解． 其中正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.若方程的解和关于的方程的解互为相反数，则的值为  (    ) A. B. C. D. 6.方程的解是(    ) A. B. C. D. 7.某车间原计划小时生产一批零件，后来每小时多生产件，用小时不但完成任务，而且还多生产件，设原计划每小时生产个零件，则所列方程为(    ) A. B. C. D. 8.随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广喷灌和滴灌是比漫灌节水的灌溉方式灌溉三块同样大的田地，第一块用漫灌方式，第二块用喷灌方式，第三块用滴灌方式后两种方式的用水量分别是漫灌的和如果三块田地共用水，则三块田地各用水多少吨？解：设第一块田地用水，由题意得(    ) A. B. C. D. 9.“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为(    ) A. B. C. D. 10.将四个数、、、排列成，并且规定，若的值为，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.请写一个解为的一元一次方程：______． 12.如果单项式与的和仍然是一个单项式，则 ______． 13.有一列数，按一定规律排列成：、、、、、、其中某三个相邻数的和是，则这三个数中，中间的一个数为          ． 14.如图，块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的面积为______． 15.如图，为直线上一点，作射线使将一个直角三角板按图所示的方式摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图中的三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周，如图所示．当直线恰好平分时，旋转时间为________秒． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 解方程：． 17.本小题分 已知，均为不等于的实数，我们定义新运算“”：． 例如：． 验证新运算“”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明． 计算：． 当时，若，尝试求出的值． 18.本小题分 若方程的解与关于的方程的解相同，求关于的方程的解． 19.本小题分 已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，求的周长并判断的形状． 20.本小题分 某旅行社组织旅行活动，去我市红海滩旅行，报名的人数有人，其中成人人数比儿童人数的倍少人． 填空：参加报名的儿童有______人，成人有______人； 旅行社为吸引游客，打算给每个游客准备一顶帽子购买时，成人每顶帽子打八折优惠，儿童每顶帽子元，打五折优惠，旅行社预算不超过元，请问每顶成人帽子的价格最高是多少元？ 21.本小题分 年月日，是全国第个全民健身日，近年来，我市始终秉持“以人民为中心”的发展思想，不断扩大城市体育服务供给量，打造“体育生活圈”，某工厂现需生产一批太空漫步器如图，每套设备各由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有名工人，每人每天平均生产支架个或脚踏板套，应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板配套？每天生产多少套太空漫步器？ 22.本小题分 在乡村振兴的春风吹拂下，渠县立足生态优势，将耙耙柑，柠檬等水果化作致富“金果”粑耙柑的进价是元千克，柠檬的进价是元千克；李老板从水果基地购进耙耙柑的重量比柠檬重量的倍多千克，一共花费元；为方便销售，定价均为元千克． 李老板购进耙耙柑和柠栋各多少千克？ 若平均每天卖出耙耙柑和柠檬共千克，每天利润不少于元，则每天卖出的粑粑柑至少是多少千克？ 由于天气炎热，当耙耙柑还剩余千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的粑耙柑进行打折销售，为确保销售耙耙柑的总利润不低于元，最低可以打多少折？ 23.本小题分 在日常生活和生产实践中经常遇到排队等待的现象，如医院挂号付费、银行办理业务、车站购票等有时由于排队的人很多，人们将花费很多的时间在等，给他们带来很大影响；如果开设太多窗口又会造成浪费如何使投入资源较少，而顾客对服务又比较满意，这就需要研究排队问题． 某服务机构开设了一个窗口办理业务，并按“先到达，先服务”的方式服务，该窗口每服务一名顾客，已知当窗口开始工作时，已有名顾客在等待，在窗口开始工作后，又有一位“新顾客”到达，且预计以后每都有一位“新顾客”到达设，，，，，表示当窗口开始工作时已经在等待的位顾客，，，，表示在窗口开始工作后，按先后顺序到达的“新顾客”． 顾客 到达时间 服务开始时间 服务结束时间 等待时间 根据上面的表格，请你根据“新顾客”的到达时间和前一位顾客的服务结束时间判断，哪一位“新顾客”是第一位到达服务机构而不需要排队的？简要说明理由． 在的条件中，当服务机构的窗口开始工作时，如果已经有位顾客在等待其他条件不变，且当“新顾客”离去时，排队现象就此消失了，即为第一位到达后不需要排队的“新顾客”，求的值． 当在火车站开始检票时，有名旅客在候车室排队等候检票进站检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口按固定的速度检票若开放一个检票口，则需分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕如果现在要在分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以后进站的旅客能够随到随检，至少要同时开放几个检票口？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元一次方程的定义，根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元一次方程分析即可． 【解答】 解：中未知数的最高次数为，不是一元一次方程； B.中含有两个未知数，不是一元一次方程； C.是一元一次方程； D.的分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程． 故选C． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是等式的性质．根据等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：，，，故本选项正确，不合题意； B.，，，故本选项正确，不合题意； C.，，故本选项正确，不合题意； D.，当时，无意义，故本选项错误，符合题意． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ， 方程和方程同解， 把代入方程中得：， ， ， ， ， 故选：． 先解方程可得：，然后根据题意可得：把代入方程中得：，从而进行计算即可解答． 本题考查了同解方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：把代入得：，故结论正确； 若，则， 方程移项，得：， 则，则结论错误； 把代入，方程一定成立，则一定是方程的解，结论正确． 故选：． 根据一元一次方程的解的概念解答进行判断即可． 此题考查的是一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 5.【答案】  6.【答案】  【解析】解：， ， 解得：． 故选：． 根据等式的性质，把方程的两边同时除以，求出方程的解即可． 此题主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用． 7.【答案】  【解析】本题考查的是一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．首先理解题意，找出题中存在的等量关系：实际小时生产的零件数原计划小时生产的零件数，根据此等式列方程即可． 【详解】解：设原计划每小时生产个零件，根据题意得： ， 故选：． 8.【答案】  【解析】解：根据题意，得． 故选：． 根据“第一块田地用水量第二块田地用水量第三块田地用水量三块田地共用水量”列方程即可． 本题考查含百分数的一元一次方程、由实际问题抽象出一元一次方程，找到题目中的等量关系是列方程的关键． 9.【答案】  【解析】解：由题意得：， 解得：， ， 故选：． 根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，列出二元一次方程组，解方程组即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 故选：． 根据新定义的计算方法，把所求式子展开，解方程，即可得到结果． 本题考查了整式运算，解方程，理解新定义的算法，熟练解方程是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：根据题意，得， 故答案为：． 根据一元一次方程的定义，并且使方程的解是即可． 本题考查的是一元一次方程的解，解题的关键是根据方程的解的定义写出一元一次方程． 12.【答案】  【解析】解：由同类项定义可知，， 解得，， ． 故答案为：． 根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 13.【答案】  14.【答案】  【解析】解：设每块长方形地砖的长为，宽为． 依题意得， 解得：． 每块长方形地砖的面积为， 答：每块长方形地砖的面积为， 故答案为． 就从右边长方形的宽入手，找到相对应的两个等量关系：小长方形的宽；一个小长方形的长一个小长方形的宽，列出二元一次方程组求出和的值，进而求出每块长方形地砖的面积． 本题考查了二元一次方程组的应用，考查了二元一次方程组的求解，本题中列出关于、的关系式并求解是解题的关键． 15.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，考查了角平分线定义，平角的定义，列出正确的方程是本题的关键．根据平角的定义得到，根据角平分线定义列出方程可求解． 【解答】 解：， ， 图中的三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周， 所在直线恰好平分，则有两种情况如下图， ，或， 或， 或． 16.【答案】解： ．  【解析】按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 17.【答案】解：满足乘法交换律，理由如下： ， ， 满足乘法交换律； ； 由题意得：， 解得， 经检验是分式方程的根， 的值为．  【解析】满足交换律，利用题中新定义计算即可求解； 原式利用题中新定义计算即可得到结果；已知等式利用题中新定义化简，即可求出的值． 此题考查了有理数的混合运算，分式方程，新定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18.【答案】解：方程，解得：， 将代入方程中，得：，即， 把代入得：， 解得：．  【解析】求出第一个方程的解得到的值，代入第二个方程计算求出的值，代入所求方程计算即可求出解． 此题考查了同解方程，以及一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19.【答案】解：， ，， 解得：，， 为方程的解， ， 解得：或， 、、为的三边长，， 不合题意舍去， ， 的周长为：， 是等腰三角形．  【解析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而利用三角形三边关系得出的值，进而求出的周长进而判断出其形状． 此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质、含绝对值符号的一元一次方程，得出的值是解题关键． 20.【答案】，；   每顶成人帽子的价格最高是元．  【解析】设参加报名的儿童有人，则成人有人， 根据题意得：， 解得：， 人， 参加报名的儿童有人，成人有人． 故答案为：，； 设每顶成人帽子的价格是元， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：每顶成人帽子的价格最高是元． 设参加报名的儿童有人，则成人有人，根据成人人数比儿童人数的倍少人，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即参加报名的儿童人数，再将其代入中，即可求出参加报名的成人人数； 设每顶成人帽子的价格是元，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21.【答案】人生产支架，人生产脚踏板配套，此时每天生产套太空漫步器．  【解析】解：设人生产支架，则人生产脚踏板， 由题意得， 解得：， 人，套， 答：人生产支架，人生产脚踏板配套，此时每天生产套太空漫步器． 设人生产支架，根据“每人每天平均生产支架个或脚踏板套”即可列出方程求解． 本题考查了一元一次方程的应用，根据脚踏板数量是支架数量的倍列出关于的一元一次方程是解题的关键． 22.【答案】解：设李老板购进柠檬千克，则购进耙耙柑千克， 根据题意，可列出方程，， 去括号得，， 合并同类项得，， 解得，， 购进耙耙柑的重量为千克， 答：李老板购进耙耙柑千克，购进柠檬千克； 设每天卖出的耙耙柑是千克，则每天卖出柠檬千克， 根据题意可列出不等式，， 去括号得，， 解得，， 答：每天卖出的耙耙柑至少是千克； 设剩下的千克耙耙柑打折销售， 已卖出的耙耙柑为千克，已卖出的耙耙柑利润为元， 剩下千克耙耙柑的售价为元千克，利润为元， 根据题意可列出不等式，， ， 化简得，， 解得，， 答：最低可以打折．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 23.【答案】是第一个不需要排队的“新顾客”，理由见解析；  ；  至少要同时开放个检票口．  【解析】是第一个不需要排队的“新顾客”，因为他到达的时间是，顾客报务结束的时间是； 在第一位不需要排队的“新顾客”到达之前，该窗口已经服务了位顾客，为这些顾客服务共花费了的时间是，的到达时间为， ， 解得， 又为整数， ， ； 设检票开始后每分钟新增加旅客人，检票的速度为每个检票口每分钟检人，至少要同时开放个检票口， 由题意得， 由，可得， 把代入可得， ， ， 取最小值的整数， ， 答：至少要同时开放个检票口． 分析表格数据即可解答； 在第一位不需要排队的“新顾客”到达之前，该窗口已经服务了位顾客，为这些顾客服务共花费了的时间是，的到达时间为，则可得不等式，求出整数解即可解答； 设检票开始后每分钟新增加旅客人，检票的速度为每个检票口每分钟检人，至少要同时开放个检票口，列出不等式组，求解即可． 本题考查一元一次不等式与二元一次方程的应用，正确列出式子是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$