第06讲 等式性质与不等式性质（知识清单+3易错+3必考题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019必修一）

第06讲 等式性质与不等式性质 题型梳理 易错分析 易错点一 误用不等式的性质而致错 题型方法 题型一 不等关系的建立 题型二 不等式的性质 题型三 利用不等式的性质比较大小 题型四 利用不等式的性质求代数式的取值范围 知识清单 知识点01用不等式(组)表示不等关系 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 知识点02作差法比较大小 基本事实 依据 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小． 知识点03等式性质与不等式的性质 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若a>b>0，则0<<；若a<b<0，则0>>. (2)不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算． 易错分析 【易错点一】误用不等式的性质而致错 【例1】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）若实数满足，则的取值范围是 ． 【变式3】（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知， (1)求x的取值范围 (2)求的取值范围 题型方法 【题型一】不等关系的建立 【例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 解题技巧 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当地设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围． 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【变式2】（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（24-25高一上·全国）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“” B．小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．某变量不超过可表示为“” 【题型二】不等式的性质 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【举一反三】【变式1】（2025高一·全国·专题练习）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 【变式3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：； (3)已知，求证：． 【题型三】利用不等式的性质比较大小 【例3】（24-25高一上·湖南邵阳·期中）若实数a，b，c满足，，则（   ） A． B． C． D． 解题技巧 　作差法比较两个实数大小的基本步骤 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·天津静海·期中）设为实数，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知，，，则与的大小关系为 . 【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）比较下列各组M，N的大小. (1)； (2) 【题型四】利用不等式的性质求代数式的取值范围 【例4】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，则的范围是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·上海金山·阶段练习）已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）已知，求的取值范围． 【变式3】（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）（1）已知，求证： （2） 已知，求的取值范围 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广西·期中）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025高一·全国·专题练习）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．（20-21高一上·山东潍坊·期中）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 8．（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）给定下列推导过程，错误的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 三、填空题 10．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）如果，，则的取值范围是 . 11．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，，则下列不等式一定成立的是 ①；②；③；④ 12．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知，则的取值范围为 ． 13．（24-25高一上·天津·阶段练习）下列命题是真命题的为 ①若则    ②若 则 ③若则 ④若且 则 四、解答题 14．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）（1）已知，比较与的大小. （2）已知，，证明：. 15．（24-25高一上·福建漳州·期中）已知、、. (1)求证：； (2)求证：. 16．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）（1）已知，求证： （2）已知，求的取值范围 17．（24-25高一上·上海·阶段练习）设：实数满足；：实数满足． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 等式性质与不等式性质 题型梳理 易错分析 易错点一 误用不等式的性质而致错 题型方法 题型一 不等关系的建立 题型二 不等式的性质 题型三 利用不等式的性质比较大小 题型四 利用不等式的性质求代数式的取值范围 知识清单 知识点01用不等式(组)表示不等关系 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 知识点02作差法比较大小 基本事实 依据 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小． 知识点03等式性质与不等式的性质 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若a>b>0，则0<<；若a<b<0，则0>>. (2)不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算． 易错分析 【易错点一】误用不等式的性质而致错 【例1】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设，则， 所以，，解得，即， ，则， 因此，. 故选：D. 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）若实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】因为实数满足，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知， (1)求x的取值范围 (2)求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两不等式相加可求x的取值范围； （2）利用待定系数法可得，再根据不等式的性质可求的取值范围. 【详解】（1）， 两个不等式相加可得 解得. （2）设， 则，. 即， 又， ， ， 即 的取值范围为 题型方法 【题型一】不等关系的建立 【例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 【答案】A 【分析】直接根据速度与车距的限制列不等式即可. 【详解】由速度v的最大值为120km/h，故， 由车间距d不得小于10m，故， 即有且. 故选：A. 解题技巧 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当地设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围． 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等关系即可. 【详解】由题意得. 故选：D 【变式3】（多选）（24-25高一上·全国）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“” B．小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．某变量不超过可表示为“” 【答案】BCD 【分析】根据实际问题中的不等关系的不等式表达判断可得. 【详解】某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“”，故A错误； 小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“”，故B正确； 某变量至少为可表示为“”，故C正确； 某变量不超过可表示为“”，故D正确. 故选：BCD 【题型二】不等式的性质 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和作差法来进行不等式变形即可得到判断，对于不成立的不等式可通过举反例来判断. 【详解】对于A；由，可知，所以，故A正确； 对于B；由可得：，因为，所以，故B正确； 对于C；由可得：，又因为所以，故C正确； 对于D；取，则故D错误； 故选：D. 【举一反三】【变式1】（2025高一·全国·专题练习）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式性质及特殊值法判断各个选项即可. 【详解】若，则，A选项错误； 若，则，B选项错误； 若，则，C选项错误； 若，则，则，D选项正确. 故选：D 【变式2】（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】取可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断B选项；利用作差法可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则，A错误； 对于B选项，若，，则，，B正确； 对于C选项，若且，则， 即，C正确； 对于D选项，若，取，，， 则，，此时，D错误. 故选：BC. 【变式3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：； (3)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据不等式的基本性质直接证明即可； （2）利用作差法证明即可； （3）利用作差法证明即可； 【详解】（1）证明：因为， 所以， 又，则. （2）证明：， 因为，所以，，，， 所以， 即. （3）证明：， 因为， 所以，，，， 所以， 即. 【题型三】利用不等式的性质比较大小 【例3】（24-25高一上·湖南邵阳·期中）若实数a，b，c满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，即可逐一求解. 【详解】对于A, 由于，，故，故A错误， 对于B, 由于，,则，故B错误， 对于C，由于，则，故C错误， 对于D，由于，则，，则，故D正确. 故选：D 解题技巧 　作差法比较两个实数大小的基本步骤 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·天津静海·期中）设为实数，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合不等式的基本性质和作差比较法，以及举反例，逐项判定，即可求解. 【详解】因为，可得， 对于A中，取，则，故A错误； 对于B中，由，所以，故B正确； 对于C中，因为，所以， 由，所以，故C正确； 对于D中，因为，则，故D正确. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知，，，则与的大小关系为 . 【答案】（或） 【分析】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可. 【详解】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为：（或）. 【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）比较下列各组M，N的大小. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法结合因式分解比大小即可； （2）利用分子有理化比较即可. 【详解】（1）由题意知 ， 而，所以，则 （2）易知，且， 又，所以. 【题型四】利用不等式的性质求代数式的取值范围 【例4】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的范围利用不等式的性质直接求解即可. 【详解】由已知，得， 由同向不等式相加得到． 故选：D． 解题技巧 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·上海金山·阶段练习）已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据不等式性质直接求解即可. 【详解】， . 故答案为：. 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）已知，求的取值范围． 【答案】 【分析】由即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以 【变式3】（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）（1）已知，求证： （2）已知，求的取值范围 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用作差法推理得证. （2）利用待定系数法，结合不等式性质求出范围. 【详解】（1）证明：因为， 所以； （2）设， 于是，解得，则， 由，得，因此，即， 所以的取值范围是 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】因为，，则，可得， 由不等式的基本性质可得. 故选：A. 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方数的非负性判断A、B、C，利用特殊值判断D. 【详解】因为，即， 所以，当且仅当时取等号，故B错误，C正确； 又，即，所以，当且仅当时取等号，故A错误； 当，时，，故D错误； 故选：C 3．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过举反例可判断A、C、D是假命题；利用作差法比较大小可判断B正确. 【详解】对于A，当时，，故A是假命题； 对于B，若，则， 由于不同时为0，所以，故B是真命题； 对于C，当时，，故C是假命题； 对于D，当时，不成立，故D是假命题； 故选：B 4．（24-25高一下·广西·期中）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质及充分不必要条件定义判断求解. 【详解】因为，所以，所以“”是“”的充分条件； 当，满足，但是不符合，所以“”是“”的不必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件； 故选：B. 5．（2025高一·全国·专题练习）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】采用举反例的方法，可判断A，C，D，利用不等式性质可判断B. 【详解】对于A选项：如果，，，则，但是，故A错误； 对于选项B：如果，则，根据不等式的性质：不等式两边同时加上 或减去同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，故B正确； 对于选项C：如果，，，，则， 但是，故C错误； 对于选项D：，当时，那么，故D错误. 故选：B 6．（20-21高一上·山东潍坊·期中）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据长、宽、高的和不超过可直接得到关系式. 【详解】长、宽、高之和不超过，. 故选：. 二、多选题 7．（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 【答案】ABC 【分析】对于ABC，举反例即可说明，对于D由作商法即可判断. 【详解】对于A，由，可知A不成立，故A符合题意； 对于B，由，可知B不成立，故B符合题意； 对于C，若，，可知C不成立，故C符合题意； 对于D，若，，可知D成立，故D不符合题意. 故选：ABC. 8．（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）给定下列推导过程，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质逐项判断. 【详解】对于A：只有当时，才成立，故A错误； 显然，B正确； 对于：只有当且时，才成立，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：ACD. 9．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项推理求解判断. 【详解】不等式，， 对于A，，即，解得，A正确； 对于B，∵，∴，， 又，∴， 即，解得，B错误； 对于C，∵，，∴， 即，解得，C正确； 对于D，∵，， 又， ∴，所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 10．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）如果，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据同向不等式的运算规则，计算不等式的范围. 【详解】, , 又, , 两式相加得, 故答案为:. 11．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，，则下列不等式一定成立的是 ①；②；③；④ 【答案】④ 【分析】利用特殊值法可判断①②③错误，由不等式的性质可证明④正确. 【详解】对于①②③，假设，，，，满足，， ，，此时不成立， ，，此时不成立， ，，此时不成立，故①②③错误； 对于④，由，，得，即，故④正确； 故答案为：④. 12．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 所以，即的取值范围为. 故答案为： 13．（24-25高一上·天津·阶段练习）下列命题是真命题的为 ①若则    ②若 则 ③若则 ④若且 则 【答案】②③④ 【分析】由已知条件结合不等式的性质，判断结论是否正确. 【详解】对于①，取，，，， 则，，所以，故①错误； 对于②，若，有，则，②正确； 对于③，若，则，则， 又因为，由不等式的性质可得，所以③正确； 对于④，若且，则，所以，，④正确． 故答案为：②③④． 四、解答题 14．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）（1）已知，比较与的大小. （2）已知，，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）（2）利用作差法，结合不等式的性质即可得解； 【详解】（1）， 因为，所以，又， 所以，所以. （2）， 因为，所以，又，则 所以，所以. 15．（24-25高一上·福建漳州·期中）已知、、. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据不等式的性质，可得答案. 【详解】（1）∵，且、，∴，∴ （2）∵，∴，又，∴， ∴，∴， ∵、，∴，由（1）知， ∴，∴. 16．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）（1）已知，求证： （2）已知，求的取值范围 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用作差法推理得证. （2）利用待定系数法，结合不等式性质求出范围. 【详解】（1）证明：因为， 所以； （2）设， 于是，解得，则， 由，得，因此，即， 所以的取值范围是 17．（24-25高一上·上海·阶段练习）设：实数满足；：实数满足． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用绝对值不等式的几何意义，求出的解即可； （2）先求出的范围，再根据q是p的充分不必要条件，列不等式组求解. 【详解】（1）表示数轴上的数对应的点到数对应点的距离之和， 又数和对应点到数对应点的距离之和为， 所以实数的取值范围是； （2）由得， 又，此时. 由（1）知，， 因为q是p的充分不必要条件， 则有，即，解得. 18．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）结合不等式的基本性质即可求解. （2）利用作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果. 【详解】（1）因为， 所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 当时，两个不等式相加乘可得：，即； 当时，两个不等式相加乘可得：，即， 所以． 的取值范围为； 的取值范围为； 的取值范围为. （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时．     综上可得：当时，； 当时，； 当时，． 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【答案】（1），理由见解析； （2），理由见解析. 【分析】（1）利用作差法，即可求解； （2）通过不等式的性质，即可求解. 【详解】（1），理由如下： 因为 故：当且时，； 当或时，. （2），理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$