第一单元 长方体和正方体（易错专项讲义）数学苏教版六年级上册

第一单元 长方体和正方体 易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：误认为6个相等的正方形不论怎样排列都能围成一个正方体。 3 易错点2：无盖或无底物体的表面积计算遗漏。 4 易错点3：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 6 易错点4：误认为任意两个体积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 8 易错点5：单位不统一导致计算错误​ 10 易错点6：体积与容积的混淆。 11 模块一 易错知识点梳理 1．长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2．判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3．长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4．长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 5．正方体的棱长扩大到原来的n倍，它的表面积扩大到原来的n2倍。 6．运用长方体和正方体表面积计算方法解决实际问题时，要先确定求的是几个面的面积。 7．在实际生活中，并不是所有长方体形状的物体都有6个面，如长方体的鱼缸只有5个面，通风管只有4个面。因此，在计算时要根据实际情况解题。当所求的长方体的表面积是6个面的面积时，先分别求出每组相对的面中一个面的面积，相加后再乘2较简便。 8．捏橡皮泥时，只是形状发生了改变，但体积不变。 9．有容积的物体一定有体积，有体积的物体不一定有容积。 10．长度单位、面积单位和体积单位之间都不能进行比较。 11．在不忽略容器厚度的情况下，容器的体积和容积不相等。 12．把完全浸入盛有液体的容器中的物体取出时，液面下降前、后体积的变化量就是物体体积。 13．只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000，判断和互化时要看清两个单位是不是相邻的。 14．一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一般大于它的容积。 15．并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。 16．误认为容积就是体积，这是不对的，一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积，却没有容积。 17．较大容器盛装液体时用“升”作单位，较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。 18．明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。 19．1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成，它的长、宽、高就分别是几厘米，它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：误认为6个相等的正方形不论怎样排列都能围成一个正方体。 【典例1】判断：只要是6个相等的正方形不管怎样排列都能围成一个正方体。 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答没有掌握正方体的展开图,空间想象力不强。6个正方形组成的平面图形有若干种,并不是每一种都能够围成正方体,要根据具体图形实际分析。可以画出图形动手剪一剪、围一围;也可以在图中标出相应的面,来判断是否能够围成正方体。如右图,图中出现了两个上面,而没有下面,所以该图形不能围成正方体。 【正确解答】错误 【易错专练1】左图最有可能是下面图（    ）的表面展开图。 A． B． C． D． 【易错专练2】如图是一个长方体的展开图，其中与“努”相对的是（    ）。 A．习 B．学 C．坚 D．持 【易错专练3】把下面的图形沿虚线折叠，不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练4】下列展开图（ ）能折成一个长方体；展开图（ ）能折成一个正方体。 【易错专练5】将一个长方体沿着一些棱剪开，可以得到下面的图形。 与A相对的面是（ ），与D相对的面是（ ），与F相对的面是（ ）。 易错点2：无盖或无底物体的表面积计算遗漏。 【典例2】一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米、宽4分米、高3分米，求制作这个鱼缸需要的玻璃面积。 【错误答案】（5×4 + 5×3 + 4×3）× 2 = 94（平方分米） 【错解分析】误将无盖鱼缸的表面积按完整长方体计算，未减去一个底面的面积。 【正确解答】5×4 +（5×3 + 4×3）×2 = 20 + 54 = 74（平方分米） 【易错专练1】工人叔叔要做一个无盖正方体玻璃鱼缸，棱长是4分米。制作一个鱼缸需要玻璃（ ）平方分米。 【易错专练2】一个长方体无盖水箱，长3米、宽9分米、高6分米。做成这个水箱至少需要（ ）平方分米的铁皮。 【易错专练3】“垃圾分类扔，节约环保又卫生”。手工课上魏梓辰设计了一个小型的无盖干湿垃圾分类箱（如图所示）。他做这个干湿垃圾分类箱至少要用多少平方分米的材料？（材料厚度忽略不计） 【易错专练4】博物馆里有许多保护文物的透明展示罩（无底），下图所示：这是其中一个，长是2米，宽0.6米，高0.8米，制作一个这样透明展示罩需要多少平方米的材料？ 【易错专练5】笑笑用一张长30cm、宽24cm的长方形纸板，做了一个如图所示的无盖长方体纸盒。 （1）这个纸盒的长是（ ）cm，宽是（ ）cm，高是（ ）cm；如果在纸盒外面贴上彩纸，至少要准备彩纸（ ）cm2。 （2）把这个纸盒放在地上，最多占地（ ）cm2。 易错点3：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 【典例3】把两个棱长4厘米的正方体拼成一个长方体，拼成后的长方体表面积是多少？ 【错误答案】4 × 4 × 6 × 2 = 192（平方厘米） 【错解分析】未考虑拼接后减少的两个面的面积，直接计算了两个独立正方体的表面积总和。 【正确解答】 减少的面积：4 × 4 × 2 = 32（平方厘米） 长方体表面积：192 - 32 = 160（平方厘米） 或直接计算长方体表面积： 长8厘米、宽4厘米、高4厘米 → (8×4 + 8×4 + 4×4) × 2 = 160（平方厘米） 【易错专练1】一个长方体的木块，正好截成两个完全相同的正方体。表面积比原来增加了200平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【易错专练2】将下面的长方体切成两个完全一样的小长方体，使这两个小长方体的表面积之和最小，你来画一画，并算出一个小长方体的表面积。 【易错专练3】张华要给希望小学的孩子们寄去4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，请你设计出最省纸的包装方法，并计算出需要牛皮纸的面积。（接头处忽略不计） 【易错专练4】在广场上，建筑工人正在用长方体彩砖铺一个图案造型。他们把三块完全相同的彩砖，按照三种不同的方法分别切成两块（如下图）。原来每块长方体彩砖的表面积是多少平方厘米？ 【易错专练5】列用两个长6厘米、宽2厘米、高4厘米的长方体拼成一个大长方体，表面积是多少平方厘米？你发现了什么？ 易错点4：误认为任意两个体积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 【典例4】判断：两个体积单位之间的进率是1000。 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答没有掌握体积单位之间的进率,不相邻的两个体积单位之间的进率不是1000,如立方厘米和立方米之间的进率是1000000。只有两个相邻的常用的体积单位（立方厘米、立方分米和立方米）之间的进率才是1000,如立方厘米和立方分米,立方分米和立方米之间的进率是1000。 【正确解答】错误。 【易错专练1】2.35升＝（ ）毫升        4立方米30立方分米＝（ ）立方米 【易错专练2】在括号填上适当的数。 9020立方厘米＝（ ）升           4.07立方米＝（ ）立方分米 【易错专练3】3.4dm2＝（ ）cm2    72dm＝（ ）m 40hm2＝（ ）km2    1.8m3＝（ ）dm3 【易错专练4】列4070立方分米＝（ ）立方米         40立方厘米＝（ ）立方分米 32.5立方米＝（ ）立方分米         1500毫升＝（ ）升 【易错专练5】在括号里填上适当的数。 0.36立方分米＝（ ）立方厘米           980立方分米＝（ ）立方米 4.07立方米＝（ ）立方米（ ）立方分米             5.38立方分米＝（ ）升（ ）毫升 30立方米＝（ ）立方分米＝（ ）毫升             42升＝（ ）立方米＝（ ）立方厘米 易错点5：单位不统一导致计算错误​ 【典例5】一个长方体木箱，长1.2米、宽8分米、高50厘米，求它的体积。 【错误答案】1.2 × 8 × 50 = 480（立方米） 【错解分析】未统一单位直接计算，导致结果错误且单位混乱。 【正确解答】统一单位为“分米”：1.2米=12分米，50厘米=5分米 → 12 × 8 × 5 = 480（立方分米） 【易错专练1】一个长方体水箱里装了一些水，从里面量长、宽、高分别是1.2米、0.8米、5分米，水的高度是4分米。往水箱里放入1个棱长是4分米的正方体铁块后，水箱里的水是否会溢出？ 【易错专练2】有一个棱长5分米的正方体玻璃鱼缸。在这个鱼缸中放入一块高32厘米，体积是5.6立方分米的假山石。至少需要注入多少升水才能将假山石完全浸没？ 【易错专练3】木材加工厂加工200根长方体木材，每根木材长2米，宽12厘米，高5厘米。这些木材有多少立方米？ 【易错专练4】李大叔家挖了一个长方体蓄水池，从里面量长35分米，宽2米，深1.5米。 （1）这个蓄水池占地多少平方米？在蓄水池的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）如果在蓄水池里蓄水8.4吨，那么蓄水池里的水深多少米？（每立方米水重1吨） 【易错专练5】如图是一个油箱从里面量到的数据。 （1）这个油箱可以装油多少升？ （2）每升油重按0.8千克计算，装的油重多少千克？ 易错点6：体积与容积的混淆。 【典例6】一个长方体油箱从里面量长6分米、宽5分米、高4分米，求它的容积（升）。 【错误答案】6×5×4 = 120（立方分米）= 120升 【错解分析】虽然计算正确，但未说明“1立方分米=1升”的换算关系，容易在单位转换时出错。 【正确解答】容积 = 6 ×5 ×4 = 120（立方分米） ∵ 1立方分米 = 1升 ∴ 容积为120升。 【易错专练1】一个无盖的长方体铁皮水槽，长12分米，宽5分米，高4分米。这个水槽最多可以盛水多少升？ 【易错专练2】用如图是一个长方体玻璃水箱，小明给空着的水箱中慢慢地注入水，水在长方体水箱中也形成了长方体。当小明注入多少毫升水时，水形成的长方体会出现正方形的面？ 【易错专练3】李叔叔打算在网上订购下面的种植箱（厚度忽略不计）和营养土。若要留出3厘米高的浇水空间，李叔叔至少要买几袋这样的营养土？ 【易错专练4】李伯伯用一种背负式喷雾器给果树喷洒农药。药箱是长为2分米，宽为1.5分米，高为5分米的长方体，如果每分钟喷出农药600毫升，喷完一箱药液需要多少分钟？ 【易错专练5】爸爸在院子里用混凝土浇筑了一个无盖的长方体水槽（如图），从外面量，水槽长3.2米，宽2.2米，高1.6米，水槽四周和底面的混凝土厚0.1米。这个水槽的容积是多少升？    2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一单元 长方体和正方体 易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：误认为6个相等的正方形不论怎样排列都能围成一个正方体。 3 易错点2：无盖或无底物体的表面积计算遗漏。 6 易错点3：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 9 易错点4：误认为任意两个体积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 13 易错点5：单位不统一导致计算错误​ 16 易错点6：体积与容积的混淆。 20 模块一 易错知识点梳理 1．长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2．判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3．长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4．长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 5．正方体的棱长扩大到原来的n倍，它的表面积扩大到原来的n2倍。 6．运用长方体和正方体表面积计算方法解决实际问题时，要先确定求的是几个面的面积。 7．在实际生活中，并不是所有长方体形状的物体都有6个面，如长方体的鱼缸只有5个面，通风管只有4个面。因此，在计算时要根据实际情况解题。当所求的长方体的表面积是6个面的面积时，先分别求出每组相对的面中一个面的面积，相加后再乘2较简便。 8．捏橡皮泥时，只是形状发生了改变，但体积不变。 9．有容积的物体一定有体积，有体积的物体不一定有容积。 10．长度单位、面积单位和体积单位之间都不能进行比较。 11．在不忽略容器厚度的情况下，容器的体积和容积不相等。 12．把完全浸入盛有液体的容器中的物体取出时，液面下降前、后体积的变化量就是物体体积。 13．只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000，判断和互化时要看清两个单位是不是相邻的。 14．一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一般大于它的容积。 15．并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。 16．误认为容积就是体积，这是不对的，一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积，却没有容积。 17．较大容器盛装液体时用“升”作单位，较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。 18．明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。 19．1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成，它的长、宽、高就分别是几厘米，它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：误认为6个相等的正方形不论怎样排列都能围成一个正方体。 【典例1】判断：只要是6个相等的正方形不管怎样排列都能围成一个正方体。 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答没有掌握正方体的展开图,空间想象力不强。6个正方形组成的平面图形有若干种,并不是每一种都能够围成正方体,要根据具体图形实际分析。可以画出图形动手剪一剪、围一围;也可以在图中标出相应的面,来判断是否能够围成正方体。如右图,图中出现了两个上面,而没有下面,所以该图形不能围成正方体。 【正确解答】错误 【易错专练1】左图最有可能是下面图（    ）的表面展开图。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方体表面展开图的特征，题干中的长方体有4个面一样大，另两个面一样大，逐一分析每个选项，看哪个选项的立体图形能与给定的展开图对应起来。 【解答】A．是一个普通的长方体，它的六个面中，相对的面大小形状相同。但是观察给定的展开图，它有两个面明显比其他面小一些，而选项A的六个面没有这样的特征，所以选项A不符合。 B．是一个正方体，正方体的六个面都是完全相同的正方形。而给定的展开图明显不是六个相同的正方形组成的，所以选项B不符合。 C．它的各个面的大小比例关系与给定的展开图不匹配。从展开图可以看出有两个相对较小的面，以及四个较大的面，且四个较大的面一样大，选项C的形状和比例与展开图不一致，所以选项C不符合。 D．它的形状和大小关系与给定的展开图相符合。展开图中两个较小的面可以对应选项D长方体的两个侧面，四个较大的面可以对应长方体的上下底面和前后侧面，所以选项D符合。 所以最有可能是下面图中的展开图。 故答案为：D 【易错专练2】如图是一个长方体的展开图，其中与“努”相对的是（    ）。 A．习 B．学 C．坚 D．持 【答案】B 【分析】图中的长方体展开图是“一四一”型，与“努”相对的面没有公共边，就是上下两侧的“一”相对，据此可得出答案。 【解答】图中的长方体展开图是“一四一”型，“努”所在的面位于“一”，与它相对的面也位于“一”，即“学”的一面。 故答案为：B 【易错专练3】把下面的图形沿虚线折叠，不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体的展开图： “141”型 “231”型 “222”型和“33”型 据此逐项判断即可。 【解答】A．是正方体展开图的“141”型，能围成正方体。 B．不是正方体的展开图，不能围成正方体。 C．是正方体展开图的“141”型，能围成正方体。 D．是正方体展开图的“222”型，能围成正方体。 故答案为：B 【易错专练4】下列展开图（ ）能折成一个长方体；展开图（ ）能折成一个正方体。 【答案】① ④ 【分析】长方体有6个面，相对的面完全一样，正方体有6个面，每个面都是完全一样的正方形，根据长方体和正方体的展开图，是长方体或正方体展开图的可以折成长方体或正方体，据此分析。 【解答】①1－4－1型长方体展开图，能折成长方体；②不是正方体展开图，不能折成正方体；③不是长方体展开图，不能折成长方体；④1－4－1型正方体展开图，能折成正方体。 所以展开图①能折成一个长方体；展开图④能折成一个正方体。 【易错专练5】将一个长方体沿着一些棱剪开，可以得到下面的图形。 与A相对的面是（ ），与D相对的面是（ ），与F相对的面是（ ）。 【答案】E B C 【分析】长方体共有6个面，相对的两个面形状和大小完全一样，把长方体进行展开，展开图中与A相对的面是E，与D相对的面是B，与F相对的面是C。 【解答】根据分析可知，展开图中与A相对的面是E，与D相对的面是B，与F相对的面是C。 易错点2：无盖或无底物体的表面积计算遗漏。 【典例2】一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米、宽4分米、高3分米，求制作这个鱼缸需要的玻璃面积。 【错误答案】（5×4 + 5×3 + 4×3）× 2 = 94（平方分米） 【错解分析】误将无盖鱼缸的表面积按完整长方体计算，未减去一个底面的面积。 【正确解答】5×4 +（5×3 + 4×3）×2 = 20 + 54 = 74（平方分米） 【易错专练1】工人叔叔要做一个无盖正方体玻璃鱼缸，棱长是4分米。制作一个鱼缸需要玻璃（ ）平方分米。 【答案】80 【分析】无盖正方体鱼缸只有5个面，用棱长×棱长×5计算即可。 【解答】4×4×5 ＝16×5 ＝80（平方分米） 制作一个鱼缸需要玻璃80平方分米。 【易错专练2】一个长方体无盖水箱，长3米、宽9分米、高6分米。做成这个水箱至少需要（ ）平方分米的铁皮。 【答案】738 【分析】这道题是求长方体的表面积，这个长方体的表面由五个长方形组成，缺少上面，根据长方体的表面积公式求出这5个面的面积，由此解决问题。注意单位换算。 【解答】3米＝30分米 30×9＋9×6×2＋30×6×2 ＝270＋54×2＋180×2 ＝270＋108＋360 ＝378＋360 ＝738（平方分米） 即做成这个水箱至少需要738平方分米的铁皮。 【易错专练3】“垃圾分类扔，节约环保又卫生”。手工课上魏梓辰设计了一个小型的无盖干湿垃圾分类箱（如图所示）。他做这个干湿垃圾分类箱至少要用多少平方分米的材料？（材料厚度忽略不计） 【答案】3600平方分米 【分析】观察示意图，长方体中间隔离处多了1个侧面，材料面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×3，据此列式解答。 【解答】40×20＋40×20×2＋20×20×3 ＝800＋1600＋1200 ＝3600（平方分米） 答：他做这个干湿垃圾分类箱至少要用3600平方分米的材料。 【易错专练4】博物馆里有许多保护文物的透明展示罩（无底），下图所示：这是其中一个，长是2米，宽0.6米，高0.8米，制作一个这样透明展示罩需要多少平方米的材料？ 【答案】5.36平方米 【分析】求展示罩的面积相当于求长方体表面积，因为无底，展示罩的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答。 【解答】 （平方米） 答：制作一个这样透明展示罩需要5.36平方米的材料。 【易错专练5】笑笑用一张长30cm、宽24cm的长方形纸板，做了一个如图所示的无盖长方体纸盒。 （1）这个纸盒的长是（ ）cm，宽是（ ）cm，高是（ ）cm；如果在纸盒外面贴上彩纸，至少要准备彩纸（ ）cm2。 （2）把这个纸盒放在地上，最多占地（ ）cm2。 【答案】（1）18 12 6 576 （2）216 【分析】（1）从图中可知，将一张长方形纸板的四个角上分别剪去边长为6cm的正方形，然后把四边折起来即可做成一个无盖长方体纸盒，那么这个长方体的长是（30－6－6）cm，宽是（24－6－6）cm，高是6cm。 如果在纸盒外面贴上彩纸，求至少要准备彩纸的面积，就是求无盖长方体的表面积，根据无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算求解。 （2）物体的底面积叫做占地面积。把长方体纸盒面积最大的面放在地上，就是占地最多的面积。根据长方形的面积＝长×宽，求出各个面的面积，再比较，即可求解。 【解答】（1）长：30－6－6＝18（cm） 宽：24－6－6＝12（cm） 18×12＋18×6×2＋12×6×2 ＝216＋216＋144 ＝576（cm2） 这个纸盒的长是18cm，宽是12cm，高是6cm；如果在纸盒外面贴上彩纸，至少要准备彩纸576cm2。 （2）18×12＝216（cm2） 18×6＝108（cm2） 12×6＝72（cm2） 216＞108＞72 把这个纸盒放在地上，最多占地216cm2。 易错点3：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 【典例3】把两个棱长4厘米的正方体拼成一个长方体，拼成后的长方体表面积是多少？ 【错误答案】4 × 4 × 6 × 2 = 192（平方厘米） 【错解分析】未考虑拼接后减少的两个面的面积，直接计算了两个独立正方体的表面积总和。 【正确解答】 减少的面积：4 × 4 × 2 = 32（平方厘米） 长方体表面积：192 - 32 = 160（平方厘米） 或直接计算长方体表面积： 长8厘米、宽4厘米、高4厘米 → (8×4 + 8×4 + 4×4) × 2 = 160（平方厘米） 【易错专练1】一个长方体的木块，正好截成两个完全相同的正方体。表面积比原来增加了200平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】1000平方厘米 【分析】长方体切分成两个正方体，增加的表面积为正方体两个面的面积之和，所以正方体一个面的面积是200÷2＝100（平方厘米）。由图可知，原来长方体的左面和右面为正方形，面积均为100平方厘米，长方体的上、下、左、右四个面均为两个正方形的面积之和，是200平方厘米，最后将六个面的面积相加即可。据此解答。 【解答】200÷2＝100（平方厘米） 100×2＋200×4 ＝200＋800 ＝1000（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是1000平方厘米。 【易错专练2】将下面的长方体切成两个完全一样的小长方体，使这两个小长方体的表面积之和最小，你来画一画，并算出一个小长方体的表面积。 【答案】图见详解；90平方厘米 【分析】根据题意，将长方体切成两个完全一样的小长方体，则表面积会增加两个截面的面积；因为5×2＜10×2＜10×5，所以平行于长方体的左右面切割增加的表面积最小，据此画图。 根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出一个小长方体的表面积。 【解答】如图： 10÷2＝5（厘米） （5×5＋5×2＋5×2）×2 ＝（25＋10＋10）×2 ＝45×2 ＝90（平方厘米） 答：一个小长方体的表面积90平方厘米。 【易错专练3】张华要给希望小学的孩子们寄去4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，请你设计出最省纸的包装方法，并计算出需要牛皮纸的面积。（接头处忽略不计） 【答案】先把2本字典最大的面拼在一起，再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起；1440平方厘米 【分析】 要求最省纸，则应把字典最大面拼在一起。先把2本字典的最大面拼在一起，则长是15厘米，宽是10厘米，高是6×2＝12厘米的长方体；这时，再增加同样的两本字典拼成长方体，要让长15厘米，高是12厘米的面拼在一起，变成一个长是15厘米，宽是10×2＝20厘米，高是12厘米的大长方体，如图：；再根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【解答】先把2本字典最大的面拼；再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起。 如图： 拼后的长方体的长是15厘米，宽是10×2＝20（厘米），高是6×2＝12（厘米）。 （15×20＋15×12＋20×12）×2 ＝（300＋180＋240）×2 ＝（480＋240）×2 ＝720×2 ＝1440（平方厘米） 答：需要牛皮纸的面积是1440平方厘米。 【点评】解答本题的关键是先把2本字典拼成一个长方体，再把拼后的两个长方体的最大面拼在一起，进而利用长方体表面积公式进行解答。 【易错专练4】在广场上，建筑工人正在用长方体彩砖铺一个图案造型。他们把三块完全相同的彩砖，按照三种不同的方法分别切成两块（如下图）。原来每块长方体彩砖的表面积是多少平方厘米？ 【答案】736平方厘米 【分析】分析题目，按照第一种切法表面积增加的160平方厘米，正好是长方体的左、右两个面的面积；按照第二种切法表面积增加的256平方厘米，正好是长方体前、后两个面的面积；按照第三种切法表面积增加的320平方厘米，正好是长方体上、下两个面的面积；把它们相加即可求出原来长方体彩砖的表面积，据此解答。 【解答】160＋256＋320 ＝416＋320 ＝736（平方厘米） 答：原来每块长方体彩砖的表面积是736平方厘米。 【易错专练5】列用两个长6厘米、宽2厘米、高4厘米的长方体拼成一个大长方体，表面积是多少平方厘米？你发现了什么？ 【答案】160平方厘米、或152平方厘米、或128平方厘米；发现见详解 【分析】根据题意，用两个长6厘米、宽2厘米、高4厘米的长方体拼成一个大长方体，那么有3种拼法： 拼法一：把4×2的两个面重合；拼法二：把6×2的两个面重合；拼法三：把6×4的两个面重合； 找出三种拼法形成大长方形的长、宽、高，然后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出这三种大长方体的表面积。 比较三种拼法重合面的面积大小、三种大长方体的表面积大小，得出发现。 【解答】有三种拼法： 拼法一： 大长方体的长是6×2＝12（厘米），宽是2厘米、高是4厘米； （12×2＋12×4＋2×4）×2 ＝（24＋48＋8）×2 ＝80×2 ＝160（平方厘米） 拼法二： 大长方体的长6厘米，宽是2厘米，高是4×2＝8（厘米）； （6×2＋6×8＋2×8）×2 ＝（12＋48＋16）×2 ＝76×2 ＝152（平方厘米） 拼法三： 大长方体的长6厘米，宽是2×2＝4（厘米），高是4厘米； （6×4＋6×4＋4×4）×2 ＝（24＋24＋16）×2 ＝64×2 ＝128（平方厘米） 发现：4×2＜6×2＜6×4 160＞152＞128 拼法一重合面的面积最小，形成的大长方形的表面积最大；拼法三重合面的面积最大，形成的大长方形的表面积最小。 答：表面积是160平方厘米、或152平方厘米、或128平方厘米。 我发现：几个完全相同的长方体，面积最大的面重合后表面积最小，面积最小的面重合后表面积最大。 易错点4：误认为任意两个体积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 【典例4】判断：两个体积单位之间的进率是1000。 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答没有掌握体积单位之间的进率,不相邻的两个体积单位之间的进率不是1000,如立方厘米和立方米之间的进率是1000000。只有两个相邻的常用的体积单位（立方厘米、立方分米和立方米）之间的进率才是1000,如立方厘米和立方分米,立方分米和立方米之间的进率是1000。 【正确解答】错误。 【易错专练1】2.35升＝（ ）毫升        4立方米30立方分米＝（ ）立方米 【答案】2350 4.03 【分析】1升＝1000毫升   1立方米＝1000立方分米 高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率。 【解答】1升＝1000毫升   2.35×1000＝2350   2.35升＝2350毫升 1立方米＝1000立方分米     30÷1000＝0.03    4立方米30立方分米＝4.03立方米 【易错专练2】在括号填上适当的数。 9020立方厘米＝（ ）升           4.07立方米＝（ ）立方分米 【答案】9.02 4070 【分析】低级单位立方厘米化高级单位升，用9020除以进率1000即可； 高级单位立方米化低级单位立方分米，用4.07乘1000即可。 【解答】9020÷1000＝9.02（升） 4.07×1000＝4070（立方分米） 9020立方厘米＝9.02升           4.07立方米＝4070立方分米 【点评】此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率。 【易错专练3】3.4dm2＝（ ）cm2    72dm＝（ ）m 40hm2＝（ ）km2    1.8m3＝（ ）dm3 【答案】340 7.2 0.4/ 1800 【分析】根据1＝100，1m＝10dm，1＝100，1＝1000，高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率。据此解答。 【解答】3.4×100＝340（），所以3.4＝340 72÷10＝7.2（m），所以72dm＝4.2m 40÷100＝0.4（），所以40＝0.4 1.8×1000＝1800（），所以1.8＝1800 【易错专练4】列4070立方分米＝（ ）立方米         40立方厘米＝（ ）立方分米 32.5立方米＝（ ）立方分米         1500毫升＝（ ）升 【答案】4.07 0.04 32500 1.5 【分析】根据1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【解答】4070÷1000＝4.07（立方米）；40÷1000＝0.04（立方分米） 32.5×1000＝32500（立方分米）；1500÷1000＝1.5（升） 4070立方分米＝4.07立方米；40立方厘米＝0.04立方分米 32.5立方米＝32500立方分米；1500毫升＝1.5升 【易错专练5】在括号里填上适当的数。 0.36立方分米＝（ ）立方厘米           980立方分米＝（ ）立方米 4.07立方米＝（ ）立方米（ ）立方分米             5.38立方分米＝（ ）升（ ）毫升 30立方米＝（ ）立方分米＝（ ）毫升             42升＝（ ）立方米＝（ ）立方厘米 【答案】360 0.98 4 70 5 380 30000 30000000 0.042 42000 【分析】根据1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1升，1立方分米＝1000毫升，1立方米＝1000升，1升＝1000立方厘米，1立方米＝1000000立方厘米，高级单位转化为低级单位乘进率，低级单位转化为高级单位除以进率，单名数转化为复名数，单位相同的整数部分不变，把小数部分转化为低级单位即可。据此解答。 【解答】（立方厘米） 0.36立方分米＝360立方厘米 （立方米） 980立方分米＝0.98立方米 （立方分米） 4.07立方米＝4立方米70立方分米 （毫升） 5.38立方分米＝5升380毫升 （立方分米） （毫升） 30立方米＝30000立方分米＝30000000毫升 （立方米） （立方厘米） 42升＝0.042立方米＝42000立方厘米 易错点5：单位不统一导致计算错误​ 【典例5】一个长方体木箱，长1.2米、宽8分米、高50厘米，求它的体积。 【错误答案】1.2 × 8 × 50 = 480（立方米） 【错解分析】未统一单位直接计算，导致结果错误且单位混乱。 【正确解答】统一单位为“分米”：1.2米=12分米，50厘米=5分米 → 12 × 8 × 5 = 480（立方分米） 【易错专练1】一个长方体水箱里装了一些水，从里面量长、宽、高分别是1.2米、0.8米、5分米，水的高度是4分米。往水箱里放入1个棱长是4分米的正方体铁块后，水箱里的水是否会溢出？ 【答案】不会 【分析】长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。根据题意，先换算单位，1.2米＝12分米，0.8米＝8分米，求水箱的水是否会溢出来，就是求水箱没有水的部分的体积是否大于正方体铁块的体积，如果大于就不会溢出来，反之则会。 【解答】1.2米＝12分米 0.8米＝8分米 12×8×（5－4） ＝96×1 ＝96（立方分米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 96立方分米＞64立方分米 答：水不会溢出。 【易错专练2】有一个棱长5分米的正方体玻璃鱼缸。在这个鱼缸中放入一块高32厘米，体积是5.6立方分米的假山石。至少需要注入多少升水才能将假山石完全浸没？ 【答案】74.4升 【分析】根据题意可知，因为假山石的高是32厘米，当鱼缸内水面高度是32厘米时，能把假山石淹没，因此只要求出鱼缸内32厘米高的水的体积，再减去假山石的体积即可求出至少需要注入水的体积，最后根据1立方分米＝1升，把立方分米化成升即可。 【解答】32厘米＝3.2分米 5×5×3.2－5.6 ＝25×3.2－5.6 ＝80－5.6 ＝74.4（立方分米） 74.4立方分米＝74.4升 答：至少需要注入74.4升水才能将假山石完全浸没。 【易错专练3】木材加工厂加工200根长方体木材，每根木材长2米，宽12厘米，高5厘米。这些木材有多少立方米？ 【答案】2.4立方米 【分析】先根据1米＝100厘米，低级单位转化为高级单位除以进率，把宽12厘米，高5厘米的单位转化为米，再根据，代入数据计算一根长方体木材的体积，最后再乘200，即可得解。 【解答】 （立方米） 答：这些木材有2.4立方米。 【易错专练4】李大叔家挖了一个长方体蓄水池，从里面量长35分米，宽2米，深1.5米。 （1）这个蓄水池占地多少平方米？在蓄水池的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）如果在蓄水池里蓄水8.4吨，那么蓄水池里的水深多少米？（每立方米水重1吨） 【答案】（1）7平方米；23.5平方米 （2）1.2米 【分析】（1）根据题意，这个蓄水池是一个长方体，求蓄水池的占地面积，就是求这个蓄水池的底面面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，求出蓄水池的底面积；求抹水泥的面积，就是求这个蓄水池的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 （2）根据每立方米水重1吨，则8.4吨水的体积是8.4立方米；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，高＝体积÷长÷宽，代入数据，即可求出蓄水池里的水深，据此解答。 【解答】（1）35分米＝3.5米 3.5×2＝7（平方米） 3.5×2＋（3.5×1.5＋2×1.5）×2 ＝7＋（5.25＋3）×2 ＝7＋8.25×2 ＝7＋16.5 ＝23.5（平方米） 答：这个蓄水池占地7平方米，抹水泥的面积是23.5平方米。 （2）8.4吨水的体积是8.4立方米。 8.4÷3.5÷2 ＝2.4÷2 ＝1.2（米） 答：蓄水池里水深1.2米。 【易错专练5】如图是一个油箱从里面量到的数据。 （1）这个油箱可以装油多少升？ （2）每升油重按0.8千克计算，装的油重多少千克？ 【答案】（1）11.04升 （2）8.832千克 【分析】（1）先把16厘米转化为以分米为单位，再根据，代入数据计算，再根据1升＝1立方分米，把单位立方分米转化为升。即可得解。 （2）用乘法计算装的油的重量。据此解答。 【解答】（1）16厘米＝1.6分米 3×2.3×1.6 （立方分米） （升） 答：这个油箱可以装油11.04升。 （2）（千克） 答：装的油重8.832千克。 易错点6：体积与容积的混淆。 【典例6】一个长方体油箱从里面量长6分米、宽5分米、高4分米，求它的容积（升）。 【错误答案】6×5×4 = 120（立方分米）= 120升 【错解分析】虽然计算正确，但未说明“1立方分米=1升”的换算关系，容易在单位转换时出错。 【正确解答】容积 = 6 ×5 ×4 = 120（立方分米） ∵ 1立方分米 = 1升 ∴ 容积为120升。 【易错专练1】一个无盖的长方体铁皮水槽，长12分米，宽5分米，高4分米。这个水槽最多可以盛水多少升？ 【答案】240升 【分析】根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体铁皮水槽的容积，1立方分米＝1升；再把单位换算成升即可。 【解答】12×5×4 ＝60×4 ＝240（立方分米） 240立方分米＝240升 答：这个水槽最多可以盛水240升。 【易错专练2】用如图是一个长方体玻璃水箱，小明给空着的水箱中慢慢地注入水，水在长方体水箱中也形成了长方体。当小明注入多少毫升水时，水形成的长方体会出现正方形的面？ 【答案】1500毫升或2250毫升 【分析】已知长方体水箱的长是15厘米、宽是10厘米、高是20厘米，10＜15＜20，在注入水时，水的高度是在变化的。 情况一：当注水高度为10厘米时，水形成的长方体的左面和右面会出现边长为10厘米的正方形； 情况二：当注水高度为15厘米时，水形成的长方体的前面和后面会出现边长为15厘米的正方形； 根据长方体的体积公式V＝abh，分别代入数据计算，求出这两种情况时注入水的体积。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 【解答】情况一：当注水高度为10厘米时，会出现边长为10厘米的正方形的面，此时注入水的体积： 10×10×15＝1500（立方厘米） 1500立方厘米＝1500毫升 情况二：当注水高度为15厘米时，会出现边长为15厘米的正方形的面，此时注入水的体积： 15×15×10＝2250（立方厘米） 2250立方厘米＝2250毫升 答：当小明注入1500毫升或2250毫升水时，水形成的长方体会出现正方形的面。 【易错专练3】李叔叔打算在网上订购下面的种植箱（厚度忽略不计）和营养土。若要留出3厘米高的浇水空间，李叔叔至少要买几袋这样的营养土？ 【答案】2袋 【分析】种植箱是一个长方体的形状，用种植箱的高减去3厘米，求出种植箱内营养土的高，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出需要营养土的体积，再除以1袋营养土的体积即可解答，注意采用“进一法”。 【解答】120×40×（15－3） ＝4800×12 ＝57600（立方厘米） 57600立方厘米＝57.6升 57.6÷30≈2（袋） 答：李叔叔至少要买2袋这样的营养土。 【易错专练4】李伯伯用一种背负式喷雾器给果树喷洒农药。药箱是长为2分米，宽为1.5分米，高为5分米的长方体，如果每分钟喷出农药600毫升，喷完一箱药液需要多少分钟？ 【答案】25分钟 【分析】根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出这个药箱的容积，再用药箱的容积除以每分钟喷出农药的容积，即可解答，注意单位名数的换算。 【解答】2×1.5×5 ＝3×5 ＝15（立方分米） 15立方分米＝15000毫升 15000÷600＝25（分钟） 答：喷完一箱药液需要25分钟。 【易错专练5】爸爸在院子里用混凝土浇筑了一个无盖的长方体水槽（如图），从外面量，水槽长3.2米，宽2.2米，高1.6米，水槽四周和底面的混凝土厚0.1米。这个水槽的容积是多少升？    【答案】9000升 【分析】容积表示容器所能容纳物体的体积，先求出水槽里面的长、宽、高；水槽里面的长是（3.2－0.1×2）米，宽是（2.2－0.1×2）米，高是（1.6－0.1）米，根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出容积，即可解答，注意单位名数的换算。 【解答】（3.2－0.1×2）×（2.2－0.1×2）×（1.6－0.1） ＝（3.2－0.2）×（2.2－0.2）×1.5 ＝3×2×1.5 ＝6×1.5 ＝9（立方米） 9立方米＝9000升 答：这个水槽的容积是9000升。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$