专题八 还原问题-【通成学典】2025年四年级数学暑期升级训练（人教版）

中国古代民间四大传说:《梁山伯与祝英台》《白蛇传》《牛郎织女》《孟姜女哭长城》。 采蜜角 35 专题八 还原问题 有这样一类数学问题,当顺着题目的已知条件去寻找解法时,往往比较困难, 如果改变思考顺序,从题目所给的结果出发,一步一步倒着思考,那么可以比较容 易地把结果还原成初始状态,这类问题在数学上叫作还原问题。 类型一 简单的还原问题 例1某书店出售故事书,第一天售出总 数量的一半多10本,第二天售出剩下的 一半多20本,还剩下85本。该书店原 来有多少本故事书? 点拨:结合画图进行倒推 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。(阴影部分 表示售出的故事书) 从图中可以看出,还剩下的85本与售出 的20本合起来,正好是第一天售出后剩 下的数量的一半,那么第一天售出后剩 下的数量就是(85+20)×2=210(本), 而210本与10本合起来,又正好是总数 量的一半,这样即可求出该书店原来有 故事书的数量。 解答: 综合运用画图法和倒推法 解决简单的还原问题 对于简单的还原问题,可以先画图分 析,再结合题意,从所给的结果出发,一步一 步倒着推算,从而解决问题。 类型二 较复杂的还原问题 例2袋中有一些棋子,每次从袋中拿出 其中的一半后再放回1枚,这样一共拿 了4次,袋中还剩9枚棋子。原来袋中 有多少枚棋子? 点拨:利用还原的方法,从第4次操作后 袋中还剩9枚棋子一步一步倒着推算, 为了使还原过程更加简洁明了,可用列 􀪍 表法 􀪍􀪍􀪍 进行分析。 操作情况 袋中棋子的数量/枚 第4次操作后 9 第3次操作后 (9-1)×2=16 第2次操作后 (16-1)×2=30 第1次操作后 (30-1)×2=58 开始时 (58-1)×2=114 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆36 解答: 综合运用列表法和倒推法 解决较复杂的还原问题 对于变化较复杂的还原问题,可借助列 表法逐步倒着推算,求出最初的结果。为了 验证计算结果是否正确,可以再按题目进行 顺推,看看能否得出题中的结果。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 合唱队一共有多少人? 2. 水果店里原来有一批苹果,第一天卖出总量的一半多30千克,第二天卖出余下 苹果的一半少18千克,这时水果店里还有160千克苹果。水果店里原来有多少 千克苹果? 3. 强强的储蓄罐里有一些零花钱,他第1次拿出其中的一半再放回1元,第2次拿 出余下的一半再放回2元,第3次拿出余下的一半再放回4元,此时储蓄罐里还 有10元。原来储蓄罐里有多少钱? 4. 爸爸买了一些樱桃放在水果盘里,蓉蓉每次拿出其中的一半多2颗放在水果盘 的外面,这样一共拿了4次,正好全部拿完。爸爸一共买了多少颗樱桃? 数学(人教版)四年级 84 1)=111110-5=111105 例2 解答:57×4+7×46=(50+7)×4+7×46= 50×4+7×4+7×46=50×4+7×(4+46)=(4+ 7)×50=550 [提优训练] 1. (1) 原式=(1-0.1)+(1-0.01)+(1-0.001)+ (1-0.0001)=4-0.1111=3.8889 (2) 原式= (20000-2)+(40000-4)+(50000-5)+(70000- 4)=20000+40000+50000+70000-(2+4+5+ 4)=180000-15=179985 (3) 原式=3996+5004- 1998-2997=(4000-4)+(5000+4)-(2000-2)- (3000-3)=4000-4+5000+4-2000+2-3000+ 3=4005 (4) 原式=(100-2)+(1000-2)+ (10000-2)+(100000-2)+(1000000-2)+ 10=1111100 2. (1) 原式=(3000-9)+997×97=(1000-3)× 3+997×97=997×3+997×97=99700 (2) 原式= 8×(2×104)-44×16=16×104-44×16=960 (3) 原式=(40+6)×17+6×83=40×17+6×17+ 6×83=680+6×100=1280 (4) 原式=57×2×9+ 57×83-57×1=57×100=5700 (5) 原式=3333× 3×2222+3333×3334=3333×(3×2222)+3333× 3334=3333×6666+3333×3334=33330000 3. 236×37×27=236×37×3×9=236×111×9= 236×999=236×(1000-1)=235764 专题七 错中求解 [例题导引] 例1 解答:(5-2)×10+(4-1)=33 241+33= 274 例2 解答:196-146=50 50-2=48 48÷3= 16 146÷16=9……2 除数是16,正确的余数是2 [提优训练] 1. 240÷48=5 420÷5=84 2. 646-418=228 228÷(7-1)=38 418÷38=11 这两个两位数分别是38和11 解析:将一个因数个 位上的1误写成了7,所以积比原来多了7-1=6(个) 另一个因数,而错误的积比正确的积多646-418= 228,因此另一个因数是228÷6=38,则这个因数是 418÷38=11。 3. 445-(9-6)-(8-3)×10=392 解析:把个位上 的6看成了9,多加了3,十位上的3看成了8,多加了 50,把多加的减去即可。 4. 214-(9-3)×10-(8-6)=152 解析:把被减数 十位上的3看成了9,差多了60,减数个位上的8看成 了6,差多了2,将多的减去即可。 5. (84÷14)×(168÷14)=72 解析:假设原乘法算 式为 × = ,根据题意,可得( +14)× = +84,即 × +14× = +84,则 14× =84,可算出 =84÷14=6。同理,根据圆 圆误使另一个因数增加14,算出的积增加了168,可 求出 代表的数。这样即可求出正确的积。 专题八 还原问题 [例题导引] 例1 解答:85+20=105(本) 105×2=210(本) 210+10=220(本) 220×2=440(本) 例2 解答:(9-1)×2=16(枚) (16-1)×2= 30(枚) (30-1)×2=58(枚) (58-1)×2=114(枚) [提优训练] 1. (11+7)×2=36(人) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)四年级 85 2. 160-18=142(千克) 142×2=284(千克) 284+30=314(千克) 314×2=628(千克) 解析:根 据题意,可知第一天卖出后,剩下苹果的一半为160- 18=142(千克),即第一天卖出后,剩下苹果的质量为 142×2=284(千克);再根据第一天卖出的,可知水果店 里苹果总质量的一半为284+30=314(千克),因此水 果店里原来有314×2=628(千克)苹果。 3. (10-4)×2=12(元) (12-2)×2=20(元) (20-1)×2=38(元) 解析:由题意,列出如下表格。 操作情况 储蓄罐里的零花钱/元 第3次操作后 10 第2次操作后 (10-4)×2=12 第1次操作后 (12-2)×2=20 开始时 (20-1)×2=38 由表格可以推算出原来储蓄罐里有多少钱。 4. (0+2)×2=4(颗) (4+2)×2=12(颗) (12+ 2)×2=28(颗) (28+2)×2=60(颗) 专题九 和差问题 [例题导引] 例1 解答:方法一:大筐苹果:(120+30)÷2=75(千 克) 小筐苹果:75-30=45(千克)[或120-75= 45(千克)] 方法二:小筐苹果:(120-30)÷2= 45(千克) 大筐苹果:45+30=75(千克)[或120- 45=75(千克)] 例2 解答:方法一:80×2+18=178(袋) 甲仓库: (1200+178)÷2=689(袋) 乙仓库:1200-689= 511(袋)[或689-178=511(袋)] 方法二:80×2+ 18=178(袋) 乙仓库:(1200-178)÷2=511(袋) 甲仓库:1200-511=689(袋)[或511+178=689(袋)] [提优训练] 1. 一等奖:(24-8)÷2=8(人) 二等奖:8+8= 16(人) 2. 公鸡:(480-60)÷2=210(只) 母鸡:210+60= 270(只) 3. 文艺书:(405+20-50)÷3=125(本) 科技书: 125-20=105(本) 故事书:125+50=175(本) 4. 欢欢:(21+3)÷2=12(岁) 乐乐:21-12=9(岁) 5. 甲箱:[102+(24×2+4)]÷2=77(个) 乙箱: 102-77=25(个) 解析:先求出两箱鸡蛋的数量差, 根据已知条件可知,甲箱鸡蛋比乙箱鸡蛋多24×2+ 4=52(个),然后根据和差公式即可解决问题。 6. 阳阳:(100+8×2)÷2=58(枚) 强强:100-58= 42(枚) 解析:由阳阳给强强8枚邮票后,两人的邮 票枚数正好相等,可知阳阳比强强多8×2=16(枚)邮 票,即两人的邮票相差16枚,据此先根据“(和+ 差)÷2=大数”,求出阳阳的邮票枚数,然后根据 “和-大数=小数”,即可求出强强的邮票枚数。 7. 20×2-6=34(元) 姐姐:(180+34)÷2= 107(元) 妹妹:180-107=73(元) 8. 84÷2=42(厘米) 长:(42+6)÷2=24(厘米) 宽:42-24=18(厘米) 面积:24×18=432(平方厘 米) 解析:由笑笑用一根长84厘米的铁丝围成了一 个长方形,可知长方形的周长是84厘米,则一条长与 一条宽的和是84÷2=42(厘米),然后根据和差公式 分别求出长方形的长与宽,进而求出长方形的面积。 专题十 和倍、差倍问题 [例题导引] 例1 解答:漫画书:520÷(12+1)=40(本) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析