解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、解多三角形问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、解多三角形问题复习讲义 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、解多三角形问题复习讲义 考点一 中线问题 【知识点解析】 在中，为的中点，是底边的中线.遇到中线问题，常见的处理方法有： 处理方法 处理思路 中线的向量表示 ，通过平方进一步转化为数量积问题. 中线定理 极化恒等式 底边邻补角互补 ，所以. 底边公共角相等 ,， 所以,. 中线的性质 平分的面积，. 【例题分析】 1．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由余弦定理得：， 再由余弦定理得：， 则， 故选：B 2．（24-25高一下·山东烟台·阶段练习）在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，，， 由余弦定理得， 所以， 所以为直角三角形，且， 以为原点，建立如图直角坐标系： 所以， 所以， 所以. 故选：C 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是边上的中线，得， 则， 由正弦定理得，得，， 则， 而， ， 于是 ， 由为锐角三角形，，得，即， 则，，因此，即， 所以的取值范围为. 故选：C 4．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，结合正弦定理得， 因，则，则， 若，则，与上式矛盾，故，则， 因，则， 因为AC边上的中线，则， 则 ， 则. 故选：C 5．（24-25高一下·湖北襄阳·阶段练习）设的内角、、的对边分别为、、，已知、 (1)求角的大小； (2)若，且，求边上中线的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由及正弦定理得: ， 即， 因为，则，即， 可得，故． （2）在中，由余弦定理可得， 所以， 因为为边上的中线，所以， 所以． ，故 6．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求，； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】(1) (2)，. (3) 【详解】（1）因为， 由正弦定理知可得， 而， ， 即，又，     ，即， 又，则 ，则. （2）由（1）及题设可得，即，     将代入，整理得，则， 即（负值舍去），故. （3）因为为的中点，所以， 两边平方得，     在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以且，解得，     所以，所以，则， 所以， 所以中线的取值范围是. 7．（2025·河北石家庄·三模）设的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)若，且，求边上中线的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由及正弦定理得 ， 即， 因为、，则，即，可得，故. （2）由正弦定理可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，， 因为为边上的中线，所以， 所以 ，故， 因此，边上的中线的长为. 8．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，中线，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，则， 因为， 则， 由正弦定理得：， 所以， 所以， 又，得，所以，即， 由，解得. （2）因为的面积为， 所以， 由（1）知，故， 因为为中线，即为中点， 则，又， 则，所以， 解得， 由余弦定理得， 所以. 9．（24-25高一下·湖北武汉·期末）在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． (1)求角； (2)若AB的长为3，AC边上的中线BD长为，求的周长． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为 由正弦定理得，即， 因为，可得，则，所以. （2）在中，因为， 由余弦定理得， 即，解得或，   当时，， 则，即，此时周长； 当时， 则，即，此时周长为， 综上所述，的周长为或. 10．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）已知函数，最小正周期是，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． (1)求的单调递减区间； (2)若，，AD为BC边上的中线，求AD的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为， (2) 【详解】（1）， 因为的最小正周期为，所以，所以， 令，，得，， 所以的单调递减区间为，． （2）由（1）可知，，则， 因为，所以，所以，解得． 由，及余弦定理，得， 因为，所以， 由正弦定理得，，， 所以 ． 所以， 又，所以，所以， 故， 所以周长的取值范围是． 考点二 角平分线问题 【知识点解析】 在中，角的角平分线交底线于点.遇到角平分线问题，常见的处理方法有： 处理方法 处理思路 角平分线定理 在中，是角的角平分线，则. 等面积法 因为. 所以. 角平分线长公式 【例题分析】 1．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）在中，，，，的角平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图记， 由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故选：C 2．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，的对边分别为，的角平分线交边于点．若，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 由正弦定理得，则， 所以， 因为，所以 且，所以． 由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． 在中，. 故选：C. 3．（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】是边中点，则， 所以， 即，解得， ， 是的平分线，则，， ， 在中，， 故选：B． 4．（2025·北京·三模）在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 【答案】 2 【详解】 如图所示，在根据正弦定理可得，即，解得， 因为为锐角三角形，所以，可知， 已知是的角平分线，所以,根据三角形外角性质得, 所以是等腰三角形，. 故答案为：；2. 5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知中，， 故 即， 即， 所以， 而，故， 故，即， 又，故； （2）由余弦定理：， 又， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，则的最小值为. 6．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知， 又由正弦定理可得， 又，所以， 则，又，即， 又，，即， 则，所以，； （2）由已知，所以， 因为为角的角分线， 故， 所以， 即， 解得. 7．（24-25高一下·安徽淮南·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)若的角平分线交于点，且，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以 ， 所以， 由于，则，所以，即， 又，所以. （2）因为的角平分线交于点，且，， 根据三角形面积公式可得， 又，得，得，当时等号成立， 所以， 即的面积最小值为． 8．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知的内角，，的对边为，，，且 (1)求角； (2)若的面积为， ①已知为的中点，且，求中线的长； ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由正弦定理得，即. 由余弦定理得. 因为，所以. （2）①，. 且，解得，或，. 由于， 所以， ； ②由， 得. 解得， 由于， 当且仅当时，取等号， 故. 9．（2025·吉林·模拟预测）在中，已知角，边，且． (1)证明：； (2)若点在上，且为角平分线，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由余弦定理可知，，即， 又， 所以， 解得． （2）由 及， 可以解得，再与联立解得：或， 利用三角形的面积相等公式， 即， 不妨用代入可得：． 10．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而， 所以. （2）由（1）知，，由D为BC中点，得，而， 所以. （3）由的面积为，得，解得， 由为内角的角平分线，得， 由，得， 因此，，当且仅当时取等号， 所以线段AD长的最大值为. 考点三 高线问题 【知识点解析】 在中，是底边的高线，为垂足.遇到高线问题，常见的处理方法有： 处理方法 处理思路 等面积法 三角函数在直角三角形中的定义 ，，.（也可利用角） 勾股定理 , 射影定理 若为直角三角形（），， 则，， 【例题分析】 1．（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边上的高（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，，， ∴由余弦定理得，即， 解得或（舍去），又，∴， 由三角形的面积公式可得，即. 故答案为：. 2．（24-25高一下·山东淄博·期中）记的内角的对边分别为a，b，c，，，，则边上的高为 ． 【答案】 【详解】设边上的高为， 由余弦定理可得, 又，故， 故答案为： 3．（2025·海南三亚·一模）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求边上的高的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理可得， 因为，所以， 又因为锐角三角形，，所以. （2）由余弦定理 可知 又因即代入上式可得 则的面积为 则 解得：. 4．（2024·四川·模拟预测）在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得． 又因为，则，所以． 整理得，即． 因为，所以， 所以，所以． （2）由余弦定理，且， 则有， 又，故． 解得或（舍去）， 所以边上的高． 5．（24-25高一下·湖北宜昌·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，边上的中线，求的面积及BC边上的高. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，即， 所以， 因为，所以； （2）因为为边上的中线， 所以，两边同时平方得， 因为，， 所以，得， 所以，解得或（舍去）， 所以的面积， 由余弦定理得，所以 设BC边上的高为，因为的面积， 所以，得. 6．（2025·北京丰台·二模）在中，． (1)求； (2)若,，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，因为， 由正弦定理及，得， 因为， 所以， 所以． 所以． （2）因为， 由余弦定理，得， 所以．设边上的高为， 又的面积， 所以， 所以AB边上的高为． 7．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知在中，内角的对边分别为且. (1)求C； (2)若AB边上的高为h，求的最大值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由及正弦定理得 ， 所以， 因为，所以，所以， 所以，又因为，所以. （2）因为，AB边上的高为h， 由三角形的面积公式得，所以. 由余弦定理得， 当且仅当时取等号，所以， 即的最大值为. 8．（2025·浙江·三模）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且. (1)求； (2)若边上的高为，且的周长为6，求. 【答案】(1) (2)2 【详解】（1），由正弦定理得 ， 又， ∴， 即， ∵，∴， ，， 又，所以， ∴，； （2），， 由（1）知，， 由余弦定理得，即， 即， 又， ， . 考点四 解多三角形问题 【知识点解析】 多三角形问题指题目中涉及两个或多个三角形，通过公共边、公共角、位置关联（如拼接、嵌套）或几何条件（如共线、共圆）连接，需综合各三角形的边角关系求解。常见类型包括： （1）共享边型：多个三角形共用一条边（如与共享边）。 （2）嵌套型：三角形包含于另一个三角形内（如在内部）。 （3）拼接型：多个三角形通过边拼接成多边形（如与拼接成四边形）。 （4）关联型：通过角度、边长比例或几何位置关联（如两个三角形的边平行、垂直，或顶点共圆）。 （5）若三角形从顶角引出一线将三角形分为多个三角形，应注意利用公共角、公共边、补角等条件列方程. （6）若知道点的具体位置，可利用向量表示. 【例题分析】 1．（2025·辽宁·三模）如图，在四边形中，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，， 则在中利用余弦定理得， 当，即时，取得最小值. 故选：C 2．（24-25高一下·重庆·期中）如图，在凸四边形ABCD中，，当变化时，对角线BD的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】设，则，所以， 由正弦定理得，则， 在中，由余弦定理得 ， 所以当时，取到最大值，此时. 故选：D 3．（2025·河北保定·三模）如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由余弦定理可得， 则， 由，可得， 又为线段中点，则， 又，则，，且， 所以. 故选：D. 4．（24-25高一下·江苏镇江·期中·多选）在△ABC中，，，，点在线段上（不包括端点），下列结论正确的是（    ） A．若是高，则 B．若是中线，则 C．若是角平分线，则 D．若，则是线段的三等分点 【答案】BC 【详解】对于A，因为，，，所以， 所以， 若是高，则，A不正确； 对于B，，，, ，所以，B正确； 对于C，由B可得，因为， 所以, 整理可得，即，C正确. 对于D，设，, , 因为，，，所以， 解得或（舍），所以不是线段的三等分点，D不正确. 故选：BC 5．（24-25高一下·浙江宁波·期中·多选）在中，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．边上的高为 B． C．边上的中线为 D． 【答案】ABC 【详解】由题设，则，即， 又且，则，故， 又，则，故， ，，则，B对， 边上的高为，A对， ，D错， 边上的中线为，C对. 故选：ABC 6．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在四边形中 ，．，， 则 ． 【答案】3 【详解】在中，，，，， ， 由正弦定理得，得到，所以. 故答案为： 7．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，，的面积分别为，，则 . 【答案】 【详解】设，，构建如下图示直角坐标系，其中为原点， 且，若轴，，如上图示， 易知，则， 由， 所以，整理得，解得， 所以，， 由，即， ，， 所以. 故答案为： 8．（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在平面四边形ABCD中，,,,. (1)求； (2)若，求BC. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以是锐角，则，. 在中，由余弦定理得，. 又由正弦定理，可得，即， 因为，所以，则，故. （2）在中，由余弦定理得， 则，. 在中，由余弦定理得 ，解得. 9．（24-25高一下·湖北恩施·期中）已知的角所对边分别． ． (1)求； (2)如图所示，在外，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得 ， 即， 由正弦定理可得，， 所以， 故， 故， 因为， 所以，因为，所以； （2）设， 则等腰三角形的面积可表示为， 在中，由余弦定理得， 由（1）结合知为等边三角形， 得， 故四边形的面积， 因为，所以当即时，取最大值1， S取最大值为． 10．（24-25高一下·广西玉林·期中）如图，在平面四边形中，A，B为定点，C，D是动点，，，和的面积分别为S和T，若． (1)求x的取值范围． (2)用x表示． (3)当取最大值时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在中，， 在，， （2）如图，过C作交于点E． ， （3）， 当时， 此时，， 又是三角形的内角 11．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，. (1)求； (2)若，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理可得，所以， 再由正弦定理，可得， 又因为为的角平分线，所以， 所以， 所以. （2）中，，，， 所以， 从而 ， 由正弦定理可得， 而 . 12．（2025·山东·模拟预测）在四边形中，，，，． (1)求的周长 (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以  因为，所以． 又因为，所以， 所以， 因为，故，所以，， 且 ， 由正弦定理，所以， 则， 故， 所以的周长为. （2）连接， 因为，，， 所以，，所以，且， 所以四边形为等腰梯形，所以，， 则， 又因为，即，设， 所以四边形的面积 . 课后综合训练 1．（24-25高二上·海南海口·期中）在中，、、分别为、、所对边，满足：且； (1)求； (2)若，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，则， 由余弦定理可得， 整理可得，即， 因为，所以，， 由余弦定理可得， 因为，则. （2）由（1）知，．由余定理得， 即，所以． 于是，． 设边上的高为，则，即，得， 即边上的高为． 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记的内角的对边分别为，面积为，已知 (1)求； (2)若边上的高为1且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）且 即 由正弦定理得 ∵在中， ，即． （2），由正弦定理得 在中，作于点为边上的高，即 设 为上的四等分点， 中， 中， 且 ． 3．（24-25高一下·云南文山·期中）在中，角的对边分别为，且，. (1)若，求的值； (2)若为锐角三角形. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ∴， ∴， ∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 由余弦定理可得， ∴， ∴． （2）（ⅰ）已知，，， ∴，又∵△ABC为锐角三角形， 所以，即， ∴，∴． （ⅱ）因为，所以， 所以． 又∵， ∴， 化简得， 又∵，∴， ∴，∴． 4．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，面积为，求内角A的角平分线AD的长度． 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由已知得． 又， 故． 因为，所以，即． 因为，所以． （2）由题意知，解得， 根据得， 即，解得. 5．（23-24高一下·广东深圳·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P. (1)令，，用，表示； (2)证明：； (3)若，，，求∠MPN的余弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题可知是的重心，且， 所以. （2）在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得 . （3）因为，，， 所以， 所以，即的余弦值为. 6．（24-25高一下·重庆·期末）中，内角所对的边分别是，若， (1)求的大小； (2)若AC边的中线为，求BC边上的高的大小； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理知：， 可得：， 又，则， 代入上式，可得， 所以，由于， 可得，即， 由，所以，所以. （2）在中，， 所以，解得（舍负）， 又即， 由， 所以，可得BC边上的高. 7．（24-25高一下·湖南怀化·期末）如图，在平面四边形中，． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求四边形面积S的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，若， 则， 在中，由余弦定理可得. （2）由，得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理可得， ，即， 解得. （3）由题，， ， 由（2）， 两式平方相加得， 所以， 当时，此时，取得最大值为， 所以四边形面积S的最大值为. 8．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求； (2)求； (3)若为上一点，且的面积为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在中， 由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得 ，② 又， 所以，③ 由①②③得， 所以， 又，所以； （2）由（1）可知， 又，所以， 在中，由正弦定理得，即， 解得，所以， 所以． （3）由的面积为，得， 解得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、解多三角形问题复习讲义 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、解多三角形问题复习讲义 考点一 中线问题 【知识点解析】 在中，为的中点，是底边的中线.遇到中线问题，常见的处理方法有： 处理方法 处理思路 中线的向量表示 ，通过平方进一步转化为数量积问题. 中线定理 极化恒等式 底边邻补角互补 ，所以. 底边公共角相等 ,， 所以,. 中线的性质 平分的面积，. 【例题分析】 1．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东烟台·阶段练习）在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 5．（24-25高一下·湖北襄阳·阶段练习）设的内角、、的对边分别为、、，已知、 (1)求角的大小； (2)若，且，求边上中线的长． 6．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求，； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 7．（2025·河北石家庄·三模）设的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)若，且，求边上中线的长． 8．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，中线，求． 9．（24-25高一下·湖北武汉·期末）在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． (1)求角； (2)若AB的长为3，AC边上的中线BD长为，求的周长． 10．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）已知函数，最小正周期是，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． (1)求的单调递减区间； (2)若，，AD为BC边上的中线，求AD的取值范围． 考点二 角平分线问题 【知识点解析】 在中，角的角平分线交底线于点.遇到角平分线问题，常见的处理方法有： 处理方法 处理思路 角平分线定理 在中，是角的角平分线，则. 等面积法 因为. 所以. 角平分线长公式 【例题分析】 1．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）在中，，，，的角平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，的对边分别为，的角平分线交边于点．若，，，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 4．（2025·北京·三模）在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． 6．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 7．（24-25高一下·安徽淮南·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)若的角平分线交于点，且，求面积的最小值. 8．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知的内角，，的对边为，，，且 (1)求角； (2)若的面积为， ①已知为的中点，且，求中线的长； ②求内角的角平分线长的最大值. 9．（2025·吉林·模拟预测）在中，已知角，边，且． (1)证明：； (2)若点在上，且为角平分线，求的长度． 10．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 考点三 高线问题 【知识点解析】 在中，是底边的高线，为垂足.遇到高线问题，常见的处理方法有： 处理方法 处理思路 等面积法 三角函数在直角三角形中的定义 ，，.（也可利用角） 勾股定理 , 射影定理 若为直角三角形（），， 则，， 【例题分析】 1．（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边上的高（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东淄博·期中）记的内角的对边分别为a，b，c，，，，则边上的高为 ． 3．（2025·海南三亚·一模）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求边上的高的长. 4．（2024·四川·模拟预测）在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求边上的高． 5．（24-25高一下·湖北宜昌·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，边上的中线，求的面积及BC边上的高. 6．（2025·北京丰台·二模）在中，． (1)求； (2)若,，求边上的高． 7．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知在中，内角的对边分别为且. (1)求C； (2)若AB边上的高为h，求的最大值. 8．（2025·浙江·三模）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且. (1)求； (2)若边上的高为，且的周长为6，求. 考点四 解多三角形问题 【知识点解析】 多三角形问题指题目中涉及两个或多个三角形，通过公共边、公共角、位置关联（如拼接、嵌套）或几何条件（如共线、共圆）连接，需综合各三角形的边角关系求解。常见类型包括： （1）共享边型：多个三角形共用一条边（如与共享边）。 （2）嵌套型：三角形包含于另一个三角形内（如在内部）。 （3）拼接型：多个三角形通过边拼接成多边形（如与拼接成四边形）。 （4）关联型：通过角度、边长比例或几何位置关联（如两个三角形的边平行、垂直，或顶点共圆）。 （5）若三角形从顶角引出一线将三角形分为多个三角形，应注意利用公共角、公共边、补角等条件列方程. （6）若知道点的具体位置，可利用向量表示. 【例题分析】 1．（2025·辽宁·三模）如图，在四边形中，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆·期中）如图，在凸四边形ABCD中，，当变化时，对角线BD的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D． 3．（2025·河北保定·三模）如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏镇江·期中·多选）在△ABC中，，，，点在线段上（不包括端点），下列结论正确的是（    ） A．若是高，则 B．若是中线，则 C．若是角平分线，则 D．若，则是线段的三等分点 5．（24-25高一下·浙江宁波·期中·多选）在中，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．边上的高为 B． C．边上的中线为 D． 6．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在四边形中 ，．，， 则 ． 7．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，，的面积分别为，，则 . 8．（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在平面四边形ABCD中，,,,. (1)求； (2)若，求BC. 9．（24-25高一下·湖北恩施·期中）已知的角所对边分别． ． (1)求； (2)如图所示，在外，且，若，求四边形面积的最大值． 10．（24-25高一下·广西玉林·期中）如图，在平面四边形中，A，B为定点，C，D是动点，，，和的面积分别为S和T，若． (1)求x的取值范围． (2)用x表示． (3)当取最大值时，求的值． 11．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，. (1)求； (2)若，求四边形的面积. 12．（2025·山东·模拟预测）在四边形中，，，，． (1)求的周长 (2)求四边形的面积． 课后综合训练 1．（24-25高二上·海南海口·期中）在中，、、分别为、、所对边，满足：且； (1)求； (2)若，求边上的高. 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记的内角的对边分别为，面积为，已知 (1)求； (2)若边上的高为1且，求的面积． 3．（24-25高一下·云南文山·期中）在中，角的对边分别为，且，. (1)若，求的值； (2)若为锐角三角形. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围. 4．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，面积为，求内角A的角平分线AD的长度． 5．（23-24高一下·广东深圳·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P. (1)令，，用，表示； (2)证明：； (3)若，，，求∠MPN的余弦值. 6．（24-25高一下·重庆·期末）中，内角所对的边分别是，若， (1)求的大小； (2)若AC边的中线为，求BC边上的高的大小； 7．（24-25高一下·湖南怀化·期末）如图，在平面四边形中，． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求四边形面积S的最大值． 8．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求； (2)求； (3)若为上一点，且的面积为，求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$