专题06 向量的运算（50题）（上海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题06 向量的运算（50题） 1．（2025·上海·中考真题）在正方形中，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（2021·上海·中考真题）如图，已知平行四边形ABCD中，，E为中点，求（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·中考真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则 （结果用含，的式子表示）． 4．（2023·上海·中考真题）如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示 ．    5．（2022·上海·中考真题）如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O，则= ． 一、单选题 6．（2025·上海松江·一模）已知，，且是非零向量．那么下列说法中正确的是（   ） A． B．，与不平行 C．，与不平行 D．，与不平行 7．（2025·上海静安·一模）已知都是非零向量，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B． C． D．， 8．（2025·上海普陀·一模）设非零向量、，如果，那么下列说法中错误的是（   ） A．与方向相同 B． C． D． 9．（2025·上海宝山·一模）如图，在等腰梯形中， ，，，设，用向量表示，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 10．（2025·上海长宁·一模）如果两个非零向量、方向相反，且，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·上海虹口·一模）已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B．， C． D．， 12．（2025·上海崇明·一模）已知直线上三点，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·上海杨浦·一模）已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（   ） A．， B． C． D．， 14．（2025·上海嘉定·一模）下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果和都是单位向量，那么 C． D．如果，那么 二、填空题 15．（2025·上海奉贤·三模）如图，在中，点D是线段上的点，且，若，，那么 ．（用、的线性组合表示） 16．（2025·上海崇明·二模）如图，在中，点是边中点，点是线段中点，设，那么 ．（结果用含、的式子表示） 17．（2025·上海崇明·三模）如图，已知在梯形中，，且 ，点是边的中点．设，，那么 （用、的式子表示）．    18．（2025·上海奉贤·二模）点在线段上，设，，那么用向量、表示为 ． 19．（2025·上海宝山·二模）如图，点是的重心，连接，如果，，那么 ． 20．（2025·上海松江·二模）如图，在中，、分别在、上，，．设，那么向量可用表示为 ． 21．（2025·上海青浦·二模）如图，在△ABC中，点D在边上，且．如果，，那么关于、的分解式为 ． 22．（2025·上海静安·二模）如图，点是的重心，已知，，那么向量 ．（用向量、表示） 23．（2025·上海闵行·二模）已知：如图，在中，是边的中点，与对角线相交于点．如果，，那么 （用含、的式子表示）． 24．（2025·上海·二模）在菱形中，，，那么 ． 25．（2025·上海虹口·二模）如图，在梯形中，，点是边的中点，连接交于点，设，那么用向量、表示向量是 ． 26．（2025·上海徐汇·二模）如图，正六边形中，，，那么 （用含，的式子表示）． 27．（2025·上海金山·二模）在中，，是的中点，连接，设，，那么向量用向量、表示为 ． 28．（2025·上海普陀·二模）如图，平行四边形中，点在边上，，连结并延长交的延长线于点，设，．如果向量用向量、表示，那么 ． 29．（2025·上海杨浦·二模）如图，，，与相交于点O，如果，，那么用、表示向量是 ． 30．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知点是的重心，过点作，分别交于点，如果设那么用、表示 ． 31．（2025·上海松江·一模）如图，梯形中，，，设，，那么可以用、表示为 ． 32．（2025·上海静安·一模）如图，点、分别在边、上，且， ．设，，那么用向量、表示向量为 ． 33．（2025·上海宝山·一模）计算：＝ ． 34．（2025·上海长宁·一模）计算： ． 35．（2025·上海虹口·一模）如图，在中，点、分别在边、上，连接、，如果，，，，用、表示 ． 36．（2025·上海崇明·一模）计算： 37．（2025·上海虹口·一模）计算： ． 38．（2025·上海奉贤·一模）已知是单位向量，向量与的方向相反，且长度为，那么用表示是 ． 39．（2025·上海金山·一模）在中，如果，这个三角形的重心为点，设，，那么向量用向量、表示为 ． 40．（2025·上海青浦·一模）如图，点E、F分别是平行四边形的边的中点，连接，如果，，那么向量关于的分解式为 ． 41．（2025·上海杨浦·一模）如图，在中，点、分别在边、上，，，设，，那么 ．（用含、的式子表示） 42．（2025·上海嘉定·一模）如图，在中，点、分别在边、上，且，，连接，如果，，那么 ．（用含向量、的式子表示） 43．（2025·上海崇明·一模）已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么 ．（用含向量式子表示） 44．（2025·上海黄浦·一模） ． 三、解答题 45．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，点、分别在边、延长线上，，，已知，． (1)用向量、分别表示向量、； (2)作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 46．（2025·上海崇明·一模）如图，四边形中，，与相交于点，，，．      (1)求的长； (2)设，，试用、表示． 47．（2025·上海普陀·一模）如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． (1)求的值； (2)设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 48．（2025·上海长宁·一模）如图，已知在中，中线、交于点，交于点． (1)如果，求和的长； (2)如果，，那么________．（用含向量、的式子表示） 49．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，点、在射线上，点、在射线上，、交于点，．设，． (1)_____，_____（结果用含向量、的式子表示） (2)由（1）可知与是_____向量． (3)如果，那么_____． 50．（2025·上海奉贤·一模）如图，，与相交于点，点F在上，． (1)求的长； (2)设，用含的式子表示． 试卷第32页，共33页 试卷第33页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题06 向量的运算（50题） 1．（2025·上海·中考真题）在正方形中，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了向量、向量的加法及向量模，理解这些知识是关键；在正方形中，向量相加的模长即为正方形对角线的长，它与边长的比值可通过勾股定理直接计算即可． 【详解】解：设正方形边长为，由勾股定理得：； 在正方形中， 表示从A到B再到C的路径，其结果为向量，即； ∴． 故选：C． 2．（2021·上海·中考真题）如图，已知平行四边形ABCD中，，E为中点，求（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的特点及加减法则即可求解． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，E为中点， ∴ 故选A． 【点睛】此题主要考查向量的表示，解题的关键是熟知平行四边形的特点及向量的加减法则． 3．（2024·上海·中考真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则 （结果用含，的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出，从而可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 是上一点，， ， ， ， 故答案为：． 4．（2023·上海·中考真题）如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示 ．    【答案】 【分析】先根据向量的减法可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵向量，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键． 5．（2022·上海·中考真题）如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O，则= ． 【答案】 【分析】利用向量相减平行四边形法则：向量相减时，起点相同，差向量即从后者终点指向前者终点即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O， 又，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，向量相减平行四边形法则，解题的关键是熟练掌握向量相减平行四边形法则． 一、单选题 6．（2025·上海松江·一模）已知，，且是非零向量．那么下列说法中正确的是（   ） A． B．，与不平行 C．，与不平行 D．，与不平行 【答案】A 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量平行的判定方法．判断出可得结论． 【详解】 ∵是非零向量， 故选：A． 7．（2025·上海静安·一模）已知都是非零向量，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了向量平行的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据向量平行的判定，向量模的理解进行判定即可求解． 【详解】解：A、，则，能判定，不符合题意； B、，则，能判定，不符合题意； C、模相等，不一定平行，故不能判定，符合题意； D、，则， ∴，能判定，不符合题意； 故选：C ． 8．（2025·上海普陀·一模）设非零向量、，如果，那么下列说法中错误的是（   ） A．与方向相同 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据非零向量、，有，即可推出，从而得出，，与方向相反，由此即可判断． 【详解】解：∵非零向量、，有， ∴， ∴，，与方向相反， 故B、C、D正确，不符合同意，A错误，符合题意． 故选：A． 9．（2025·上海宝山·一模）如图，在等腰梯形中， ，，，设，用向量表示，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面向量的线性运算、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，注意向量的方向是解答的关键．如图，过点A作交于点H．证明，求出，再根据求解． 【详解】解：如图，过点A作交于点H． 在等腰梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 10．（2025·上海长宁·一模）如果两个非零向量、方向相反，且，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查向量的相关概念、向量的性质等知识点，掌握向量的概念是解题的关键． 根据向量的概念及性质判断即可． 【详解】解：∵两个非零向量、方向相反，且， ∴，即．则D选项正确． 故选D． 11．（2025·上海虹口·一模）已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】C 【分析】此题考查了向量．根据向量平行向量的定义“方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量”进行逐一判定即可． 【详解】解：A. ，则与方向相同，故，选项不符合题意； B. ，，则与方向相同，与方向相同，则与方向相同，故，选项不符合题意； C. ，不能说明，选项符合题意； D. ，，则，选项不符合题意； 故选：C 12．（2025·上海崇明·一模）已知直线上三点，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平面向量．画出图形，由题意得到与方向相同，且，即是的中点，根据图形进行判断即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴与方向相同，且，即是的中点， ∴，，，， 综上可知，只有正确， 故选：D． 13．（2025·上海杨浦·一模）已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（   ） A．， B． C． D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面向量的知识，理解并掌握平行向量的定义是解题关键． 根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、∵，，∴，故本选项不符合题意； B、，但不一定平行，故本选项符合题意； C、∵，∴，故本选项不符合题意； D、∵，，∴，故本选项不符合题意． 故选：B． 14．（2025·上海嘉定·一模）下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果和都是单位向量，那么 C． D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，平面向量，解答本题的关键是掌握平面向量的基本概念和性质． 由平面向量的基本概念和性质，即可判断． 【详解】解：A、两向量的模相等，方向不一定相同，故A选项不符合题意； B、两单位向量的方向可能不同，故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、如果，那么，正确，故D选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 15．（2025·上海奉贤·三模）如图，在中，点D是线段上的点，且，若，，那么 ．（用、的线性组合表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了平面向量，三角形法则，解题的关键是掌握三角形法则． 利用三角形法则求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2025·上海崇明·二模）如图，在中，点是边中点，点是线段中点，设，那么 ．（结果用含、的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识点，运用三角形法则是解题的关键．先用、的线性组合表示，再表示即可． 【详解】解：在中， ，， 是边中点， ， 在中， ， 点是线段中点， ， 在中， ， 故答案为：． 17．（2025·上海崇明·三模）如图，已知在梯形中，，且 ，点是边的中点．设，，那么 （用、的式子表示）．    【答案】 【分析】本题考查了梯形中位线的性质，平面向量的线性计算，熟练掌握三角形法则是解题的关键．取中点，连接，则，然后根据三角形法则即可求解． 【详解】解：如图，取中点，连接    ∵在梯形中，，且 ，点是边的中点 ∴ ∵，， ∴ 故答案为：． 18．（2025·上海奉贤·二模）点在线段上，设，，那么用向量、表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了向量线性运算，根据向量线性运算性质即可求解． 【详解】解：∵，，则 ∴ 故答案为：． 19．（2025·上海宝山·二模）如图，点是的重心，连接，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量与三角形重心的知识，掌握三角形法则与三角形重心的性质是解题的关键．延长交于点，由，，根据三角形法则，即可求得，再由点D是△ABC的重心，根据重心的性质，即可求出结果． 【详解】解：延长交于点， ∴， ∵点是的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， ∵点是的重心， ∴， 故答案为：． 20．（2025·上海松江·二模）如图，在中，、分别在、上，，．设，那么向量可用表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的运算，相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键．先根据相似三角形的判定与性质可得，由可得，再根据向量的加法即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 21．（2025·上海青浦·二模）如图，在△ABC中，点D在边上，且．如果，，那么关于、的分解式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，找到向量关系是解题的关键. 首先由向量的知识，得到和的值，即可得到的值. 【详解】解：∵在中，点D在边上，且． ∴， 又∵ ∴ 故答案为 22．（2025·上海静安·二模）如图，点是的重心，已知，，那么向量 ．（用向量、表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平面向量的线性运算、三角形法则、三角形重心的性质等知识点，掌握向量的运算法则成为解题的关键． 如图：延长交于点D，则，即，再利用三角形法则求出，然后利用三角形重心的性质求解即可． 【详解】解：如图：延长交于点D， ∵点是的重心， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（2025·上海闵行·二模）已知：如图，在中，是边的中点，与对角线相交于点．如果，，那么 （用含、的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系． 先求出的值，再根据求，即可得出答案． 【详解】解：在中，是边的中点， ， 又∵，， ， 故答案为：． 24．（2025·上海·二模）在菱形中，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，向量的有关计算，连接和，由菱形的性质得出，，，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，进而求出最后根据即可得出答案． 【详解】解：如下图：连接和， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 25．（2025·上海虹口·二模）如图，在梯形中，，点是边的中点，连接交于点，设，那么用向量、表示向量是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面向量、梯形、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．依题意得出，四边形为平行四边形，则，进而得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， ， ， ， ，四边形为平行四边形， ， 点是边的中点， 故答案为：． 26．（2025·上海徐汇·二模）如图，正六边形中，，，那么 （用含，的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则． 首先得出，然后根据三角形法则求解即可． 【详解】∵正六边形中， ∴， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 27．（2025·上海金山·二模）在中，，是的中点，连接，设，，那么向量用向量、表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面向量，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得，则可得． 【详解】解：∵， ， ∵是的中点， ， 故答案为：． 28．（2025·上海普陀·二模）如图，平行四边形中，点在边上，，连结并延长交的延长线于点，设，．如果向量用向量、表示，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查平面向量，平行向量等知识，利用三角形的法则以及相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 29．（2025·上海杨浦·二模）如图，，，与相交于点O，如果，，那么用、表示向量是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查向量的线性运算，相似的判定和性质；根据平行得到，根据相似的性质得到，再根据向量的三角形法则得到，即可求出． 【详解】解：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 故答案为：． 30．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知点是的重心，过点作，分别交于点，如果设那么用、表示 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，向量的线性运算．熟练掌握三角形重心的性质和相似三角形的性质是解题的关键．连接并延长交于点，根据重心的性质可得，根据相似三角形的性质可得，进而根据向量的计算可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点， 点是的重心， 又 ， ， ，即 ， 则． ． 故答案为：． 31．（2025·上海松江·一模）如图，梯形中，，，设，，那么可以用、表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性计算．熟练掌握三角形法则，是解题的关键．先根据，，，得出，然后利用三角形法则，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 32．（2025·上海静安·一模）如图，点、分别在边、上，且， ．设，，那么用向量、表示向量为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面向量，根据平行线分线段成比例得出，，再根据平面向量三角形运算法则求出即可推出结果． 【详解】解：∵ ．， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（2025·上海宝山·一模）计算：＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的线性计算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据向量的线性计算，即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 34．（2025·上海长宁·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查向量加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先去括号，然后根据向量加减法进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 35．（2025·上海虹口·一模）如图，在中，点、分别在边、上，连接、，如果，，，，用、表示 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定以及平面向量，先证明，再利用比例关系结合平面向量的运算法则进行计算即可． 【详解】， 故答案为：． 36．（2025·上海崇明·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．根据平面向量的加法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 37．（2025·上海虹口·一模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平面向量的计算，解题的关键是掌握平面向量的计算方法，根据平面向量的加减法计算法则和去括号法则进行计算． 【详解】解：． 故答案为：． 38．（2025·上海奉贤·一模）已知是单位向量，向量与的方向相反，且长度为，那么用表示是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与向量相乘，熟练掌握向量的定义、表示方法及运算法则是解题的关键． 根据向量的表示方法进行解答即可． 【详解】解：∵的长度为，向量是单位向量， ∴， 又∵向量与的方向相反， ∴， 故答案为：． 39．（2025·上海金山·一模）在中，如果，这个三角形的重心为点，设，，那么向量用向量、表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质， 向量的线性运算等知识点，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键． 根据“三角形重心的性质重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍”可得，然后根据向量的三角形法则可得，由可得，于是得解． 【详解】解：如图， ∵G是的重心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由三角形法则可得：， ∵D为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 40．（2025·上海青浦·一模）如图，点E、F分别是平行四边形的边的中点，连接，如果，，那么向量关于的分解式为 ． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性计算，根据题意，易得，进而得到，平行四边形的性质，得到，进而得到，再利用三角形法则，求出即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵点E、F分别是平行四边形的边的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 41．（2025·上海杨浦·一模）如图，在中，点、分别在边、上，，，设，，那么 ．（用含、的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查平面向量，相似三角形的判定和性质，根据已知推出，根据相似三角形的性质推出，再根据平面向量的减法运算法则即可得出结果．熟记平面向量的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 42．（2025·上海嘉定·一模）如图，在中，点、分别在边、上，且，，连接，如果，，那么 ．（用含向量、的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，向量的线性运算，三角形法则求出，证明，求出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 43．（2025·上海崇明·一模）已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么 ．（用含向量式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，涉及相反向量，向量的模．根据长度为5，得到，再根据与单位向量方向相反即可求解． 【详解】解：∵与单位向量方向相反，且长度为5， ∴， ∴， 故答案为：． 44．（2025·上海黄浦·一模） ． 【答案】/ 【分析】本题考查了向量的知识，熟练掌握以上知识是解题关键． 按照向量的线性运算计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 三、解答题 45．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，点、分别在边、延长线上，，，已知，． (1)用向量、分别表示向量、； (2)作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1)， (2)图见解析，， 【分析】本题考查了平面向量的知识与平行线分线段成比例定理．熟练掌握三角形法则，平行四边形法则是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理可得出，，即可得出，根据即可得答案； （2）过点分别作，，可得、是向量分别在、方向上的分向量，根据平行线分线段成比例定理求出和即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵与的方向相同，，与的方向相同，， ∴，， ∴． （2）解：如图，过点分别作，，则、是向量分别在、方向上的分向量， ∵，， ∴，， ∴，， ∵与的方向相同，与的方向相反， ∴，． 46．（2025·上海崇明·一模）如图，四边形中，，与相交于点，，，．      (1)求的长； (2)设，，试用、表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质和向量的知识，掌握了以上知识是解题的关键； （1）利用已知条件证出，再得出，然后代入计算即可求解． （2）先求得，再根据，然后即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，   解得：； （2）解：∵， ∴， 又∵与同向， ∴， ∵，   ∴； 47．（2025·上海普陀·一模）如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． (1)求的值； (2)设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由题意可得∽，则，即，再证明∽，即可求解； （2）由题意得，，则；由题意得，，则，，进而求解． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴，， ∴∽， ∴则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴∽， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴则， ∴， ∴． 故答案为：，． 48．（2025·上海长宁·一模）如图，已知在中，中线、交于点，交于点． (1)如果，求和的长； (2)如果，，那么________．（用含向量、的式子表示） 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了三角形的重心，平面向量，相似三角形的性质与判定，掌握三角形的重心是解题的关键． （1）根据三角形的重心，再证明，得出比例式，即可求解； （2）先求出，即可得到． 【详解】（1）解：中线、交于点， 点为重心， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解： ， ， ，， ， 故答案为：． 49．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，点、在射线上，点、在射线上，、交于点，．设，． (1)_____，_____（结果用含向量、的式子表示） (2)由（1）可知与是_____向量． (3)如果，那么_____． 【答案】(1)； (2)平行 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平面向量，掌握平面向量是解题的关键． （1），； （2）根据，，得出与是平行向量； （3）根据，得出，从而得到，根据，求出，从而得到． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴与是平行向量， 故答案为：平行； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 50．（2025·上海奉贤·一模）如图，，与相交于点，点F在上，． (1)求的长； (2)设，用含的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及平面向量的加减运算． （1）根据可得，得出根据得出，进而根据相似三角形的性质，即可得出结论； （2）根据（1）可得，则，根据相似三角形的性质可得，结合平面向量的加减运算即可得出结论即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ， ∵与高相同， ∴． ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． ∴ （2）∵，，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵，则， ∴ ∴， ∴ 试卷第32页，共33页 试卷第33页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $$