第五章 一元一次方程 基础卷 -2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

第五章 一元一次方程 一、单选题 1．下列方程：①；②；③；④；⑤，其中属于一元一次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33．设这个数是 ，根据题意列方程是（　　） A． B． C． D． 3．已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（　　） A． B． C． D． 4．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 ， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业。同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（） A．2 B．3 C．4 D．5 5．若7个连续偶数之和为1988，则此7个数中最大的一个是（　　） A．286． B．288． C．290． D．292 6．有一批画册，若3人合看一本，则多余2本；若2人合看一本，就有9人没有，设人数为x，则列出的方程是（　　） A．3x+2=2x﹣9 B． ﹣2= C． +2= D． +2= ﹣9 7．规定：，．例如，．下列结论中：①若，则；②若，则；③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是7．其中正确的所有结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．使等式 成立的有理数 是（　　） A．任意一个非负数 B．任意一个非正数 C．小于2的有理数 D．任意一个有理数 9．某大型超市购进一批特种水果，运输过程中质量损失，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（　　） A． B． C． D． 10．某商店有2个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这笔买卖中，这家商店(　　) A．不赔不赚 B．赚了10元 C．赔了10元 D．赚了8元 二、填空题 11．在等式中，若x为整数且a为正整数，则a的值为　 　． 12．我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则该方程是“差解方程”．若关于x的一元一次方程是“差解方程”，则m的值为　 　． 13．甲种铅笔每支元，乙种铅笔每支元，用元钱买了两种铅笔共支，求两种铅笔各买了多少支？设甲铅笔买了支，则可列一元一次方程为　 　． 14．若 是关于 的方程 的解，则 　 　． 15．小丽和爸爸一起玩投篮球游戏，两人商定规则为：小丽投中1个得3分，爸爸投中1个得1分，结果两人一共投中了20个，得分刚好相等.小丽投中了　 　个. 16．某小型工厂生产酸枣面和黄小米，两种产品每天合计生产1500袋，两种产品的成本和售价如下表，设每天生产酸枣面袋． 　 成本（元/袋） 售价（元/袋） 酸枣面 40 46 黄小米 13 15 （1）每天黄小米的生产成本是　 　元（用含x的整式表示并化简）； （2）若每天销售这两种产品所获得的总利润是5000元，则　 　． 17．7与x的差的 比x的3倍小5的方程是　 　． 18．若关于x的方程（k﹣3）x|k﹣2|+5k+1＝0是一元一次方程，则k＝　 　． 19．解方程 ，有下列步骤：①3（3x+1）＝12﹣（2x﹣1），②9x+3＝12﹣2x+1，③9x﹣2x＝12+1+3，④7x＝16，⑤x＝ ，其中首先发生错误的一步是　 　． 20．如图，在数轴上A点表示数﹣2，B点表示数6，若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，则经过　 　秒，甲、乙两小球到原点的距离相等. 三、解答题 21．某商场在元旦期间进行促销活动，方案如表： 一次性购物（原价） 优惠方案 不超过200元 不给予优惠 超过200元，但不超过500元 超过200元的部分按9折优惠 超过500元 所购商品全部给予8折优惠 （1）若小明妈妈一次性购物x元，则实际应付款　 　元；（用含x的式子表示） （2）若小明妈妈在本次促销活动中购物两次分别支付了236元和504元，则两次一共节省了多少元？ 22．苏果超市用2730元购进A、B两种型号的保温杯共60个，这两种型号的保温杯的进价、标价如表所示： 价格类型 A型 B型 进价元个 35 65 标价元个 50 100 求这两种型号的保温杯各购进多少个？ 若A型保温杯按标价的9折出售，要使这批保温杯全部售出后超市获得810元的利润，则B型保温杯应按标价的几折出售？ 23．某市居民使用自来水按月收费，标准如下： 用水量() 不超过的部分 超过但未超过的部分 超过的部分 价格(元/) （1）若用水，应交水费__________元；（用含a的式子表示） （2）小明家某月用水，交水费81元，求a的值； 24．小北同学在校运动会400米赛跑中，先以6米/秒的速度跑完大部分赛程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为1分零5秒．请问： （1）小北同学冲刺的时间有多长？ （2）如果他想把成绩提高1秒（即减少1秒钟），他需要提前几秒开始最后冲刺？ 25．小彬买了A、B两种书，单价分别是18元、10元． （1）若两种书共买了10本付款172元，求每种书各买了多少本？ （2）买10本时付款可能是123元吗？请说明理由． 26． 如图，数轴上点A、B表示的数分别为﹣9和3，点O为原点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B运动，在点P出发的同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到达点A后立即以每秒3个单位的速度沿数轴向终点O运动．设点P运动时间为t秒． （1）当t＝2时，点P表示的数为 　 　；当点P与点B重合时，t的值为 　 　； （2）①在点Q由点B向点A运动的过程中，点Q表示数为 　 　（用含t的代数式表示）； ②当t＝　 　时，P、Q第一次相遇； （3）点Q从点A返回后，当PQ＝时，求点P运动的时间t的值； （4）若在点P运动的同时，点M从点B以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，当PM＝3PQ+1时，直接写出t的值． 27．已知数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，点A在原点的左侧且到原点的距离是4，点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的4倍． （1）a＝　 　，b＝　 　，AB＝　 　； （2）动点M、N分别从点A、B的位置同时开始在数轴上做没有折返的运动，已知动点M的运动速度是1个单位长度/秒，动点N的运动速度是3个单位长度/秒． ①若点M和点N相向而行，经过几秒点M与点N相遇？ ②若点M和点N都向左运动，经过几秒点N追上点M？ ③若点M和点N的运动方向不限，经过几秒M、N相距6个单位长度？ 28．有人说，距离能产生美．点在数轴上分别表示有理数、，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和的两点之间的距离是__________； （2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是__________，若，那么x为__________； （3）若点A表示的数，点B与点A的距离是8，且点B在点A的右侧，动点、分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒4个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 答案解析 1．【答案】C 【知识点】一元一次方程的概念 2．【答案】A 【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题 【解析】【解答】解：设这个数是x，依题意有 ， 故答案为：A 【分析】本题只需根据题目要求列方程即可 3．【答案】B 【知识点】一元一次方程的解 【解析】【解答】解：∵，得到， ∴的解为， ∵方程的解是， ∴， 故答案为：B. 【分析】根据x、y的值可得x=1-y，则方程的解为y=-2021，据此解答. 4．【答案】D 【知识点】一元一次方程的解 【解析】【解答】解：设这个数是a， 把x=5代入得： （-2+5）=1- ， ∴1=1- ， 解得：a=5． 故答案为：D． 【分析】设这个数是a，把x=5代入方程得出一个关于a的方程，求出方程的解即可． 5．【答案】C 【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题 【解析】【解答】解：设中间的一位偶数为x， 则x-6，x-4，x-2，x，x+2，x+4，x+6之和为1988， ∴7x=1988， 解得：x=284， ∴284+6=290. 故答案为：C. 【分析】先设中间的一位偶数为x，因为7个连续偶数之和为1988，列出方程求解出答案． 6．【答案】C 【知识点】列一元一次方程 【解析】【解答】解：设人数为x，可列方程为： +2= ． 故答案为：C． 【分析】根据图书总本数相等可得方程，由3人合看一本，多余2本可得图书总数的代数式为 +2；由2人合看一本，有9人没有书看可得图书总数的代数式 ，即可得到一个关于图书总量相等的方程． 7．【答案】B 【知识点】整式的加减运算；解一元一次方程；绝对值的概念与意义 【解析】【解答】解：①中，若，即， 解得：， 则，故①正确； ②中，若，则，故②正确； ③中，若，则，即（无解）或， 解得：，即能使已知等式成立的x的值存在，故③错误； ④中，式子，此式子表示数轴上一个点到和的距离之和，当这个点所表示的数在与3之间时，的最小值是7，故④正确． 综上，正确的所有结论是：①②④． 故选：B． 【分析】本题以新规定为载体，考查了绝对值的意义和化简、整式的加减，以及一元一次方程的求解等知识，结合新定义的规定，逐项分析判断，即可求解. 8．【答案】A 【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程 【解析】【解答】解：∵ ， ∴x≥0， 故答案为：A. 【分析】根据绝对值的性质解答. 9．【答案】D 【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：设这种水果的售价在进价的基础上应至少提高a％，进价为b元每千克，共有c千克，根据题意得， 解得 故答案为：D. 【分析】设这种水果的售价在进价的基础上应至少提高a％，进价为b元每千克，共有c千克，则这批水果的售价为b（1+a％）元每千克，可供销售的数量为c（1-20％）千克，根据单价乘以数量=总价，总价-总成本价=利润，利润=进价×利率，建立方程，求解即可. 10．【答案】B 【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题 【解析】【解答】设盈利的进价是x元， 80-x=60%x x=50 设亏本的进价是y元 y-80=20%y y=100 80+80-100-50=10元． 故赚了10元． 故选B． 【分析】设盈利的进价是x元，亏本的是y元，根据某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，可列方程求解，然后用总售价-总进价即可知赔赚情况． 11．【答案】6或4或2 【知识点】估计方程的解 12．【答案】 【知识点】解含分数系数的一元一次方程 13．【答案】 【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题 14．【答案】−1 【知识点】一元一次方程的解 【解析】【解答】把x＝3代入方程得到：6−10＝4a 解得：a＝−1． 故填：−1． 【分析】方程的解，就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．把x＝3代入方程，就得到关于a的方程，就可求出a的值． 15．【答案】5 【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题 【解析】【解答】设小丽投中x个，根据题意得出： 3x=20﹣x 解得：x=5. 故答案为：5. 【分析】利用小丽投中1个得3分，爸爸投中1个得1分，结果两人一共投中了20个，得分刚好相等，由得分相等得出等式即可. 16．【答案】；500 【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题 【解析】【解答】解：（1）每天黄小米的生产成本是元； 故答案为：； （2）由题意，得：， 解得：； 故答案为：500． 【分析】（1）根据题意，结合单价乘以数量等于总价，列出代数式，即可得到答案； （2）根据两种产品的总利润为5000元，列出方程，进行求解，即可得到答案． 17．【答案】 【知识点】根据数量关系列方程 【解析】【解答】解：“7与x的差的 ”即 ， “x的3倍”即 ， ∵ 比 小5， ∴ ． 故答案为： ． 【分析】先断句：“7与x的差的 ”比“x的3倍”小5，于是明确这是三个量之间的关系，只需把文字语言翻译成符号语言，列成等式即可. 18．【答案】1 【知识点】一元一次方程的概念 【解析】【解答】解：∵方程（k﹣3）x|k﹣2|+5k+1＝0是一元一次方程， ∴， ∴k=1. 【分析】根据一元一次方程的定义得出，即可得出k=1. 19．【答案】③ 【知识点】解含分数系数的一元一次方程 【解析】【解答】解：去分母得：3（3x+1）＝12﹣（2x﹣1）， 去括号得：9x+3＝12﹣2x+1， 移项得：9x+2x＝12+1﹣3， 合并得：11x＝10， 解得：x＝ ， ∴首先发生错误的一步是③． 故答案为：③． 【分析】先将分式方程化为整式方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行判断求解即可。 20．【答案】 或8 【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-行程问题 【解析】【解答】解：设经过t秒，甲、乙两小球到原点的距离相等. ∵甲球运动的路程为：1•t=t，OA=2， ∴甲球与原点的距离为：t+2； 乙球到原点的距离分两种情况：当0＜t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O， ∵OB=6，乙球运动的路程为：2•t=2t，乙到原点的距离：6﹣2t（0≤t≤3）； 当t＞3时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2t﹣6 （t＞3）. 分两种情况： ①当0＜t≤3时，得t+2=6﹣2t，解得t= ； 当t＞3时，得t+2=2t﹣6，解得t=8. 故当t= 或8秒时，甲乙两小球到原点的距离相等. 故答案为 或8. 【分析】设经过t秒，甲、乙两小球到原点的距离相等.分两种情况：①0＜t≤3，②t＞3，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可. 21．【答案】（1） （2）两次一共节省了130元． 【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题 22．【答案】(1)购进A型保温杯39个，B型保温杯21个． (2) B型保温杯按标价八五折出售． 【知识点】一元一次方程的其他应用 23．【答案】（1） （2）a的值为3 【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题 24．【答案】（1）小北同学冲刺的时间为秒；（2）小北同学需要提前秒开始最后冲刺 【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题 25．【答案】(1)小彬买了单价为18元的书9本，买了单价为10元的书1本；(2)小彬买10本时付款不可能是123元． 【知识点】一元一次方程的其他应用 26．【答案】（1）﹣7；12 （2）3﹣2t；4 （3）解：t＝ （4）t＝或t＝或t＝ 【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离 【解析】【解答】解：(1)点P表示的数为：-9+t=-9+2=-7； 点P与点B重合时：t=3-（-9）=12. 故第1空答案为：-7；第2空答案为：12； （2）①点Q表示数为 ：3-2t； ②P、Q第一次相时，t+2t=12，解得：t=4； 故第1空答案为：3-2t；第2空答案为：4； （3）点Q从点A返回后， 即t＞6时：t-3（t-6)=，解得t=； 故答案为：； （4）①当点P与点Q相遇前，即0＜t≤4时，可得：12-2t=3（12-t-2t)+1，解得：t=； 当点P与点Q相遇后，而点P与点M相遇前，即4＜t≤6时：12-2t=3（12-3t)+1，解得：t=； ③点Q从点A返回到达原点O前，即6＜t≤9时，可得：2t-12=3（18-2t）+1，解得：t=； 综上可得：t=或t=或t=。 【分析】（1）根据数轴表示数的方法，以及移动的距离，正确的进行计算即可； （2）①根据点Q移动的方向，移动的距离以及数轴上表示数的方法正确地用代数式表示出来即可； ②根据相遇问题，列出方程即可求得t的值； （3）根据P、Q两点间的距离，列出关于t的方程：t-3（t-6)=，解方程即可得出答案； （4）分三种情况进行解答即可：①当点P与点Q相遇前，即0＜t≤4时，可列方程12-2t=3（12-t-2t)+1，解方程可得t=； ②当点P与点Q相遇后，而点P与点M相遇前，即4＜t≤6时：12-2t=3（12-3t)+1，解得：t=； ③点Q从点A返回到达原点O前，即6＜t≤9时，可得：2t-12=3（18-2t）+1，解得：t=；综上可得：t=或t=或t=。 27．【答案】（1）-4，16，20；（2）①5秒，②10秒，③秒或秒或7秒或13秒 【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题 28．【答案】（1）7 （2），或 （3）运动2秒或秒后， 【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离 学科网（北京）股份有限公司 $$