12.5分式方程的应用（题型专练）数学冀教版2024八年级上册

12.5分式方程的应用 题型一 列分式方程 1．在物理学中，我们常常使用公式“密度”来计算密度．已知甲物体的密度是乙物体密度的，甲物体的质量是，乙物体的质量是，乙物体的体积比甲物体的体积大．如果设甲物体的体积是，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人加工同一零件，甲每小时比乙多加工2个，甲加工60个零件的时间与乙加工50个的时间相同．设乙每小时加工x个，则方程应为（   ） A． B． C． D． 3．某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．医用酒精消毒液可杀灭肠道致病杆菌、化脓性球菌、白色念珠菌，适用于人体的手部消毒和一般物体表面消毒，在一次实验中，要将浓度为的酒精，稀释为的酒精，设需要加水．根据题意，下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 8．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着 100 个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得 15 个铜板．” 乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．” 问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 题型二 分式方程的行程问题 1．一艘轮船顺流航行所用的时间与逆流航行所用的时间相同，水流的速度为．则轮船在静水中的速度为 ． 2．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题，其大意为：现有走路慢的人先走10里，令走路快的人去追，追到100里时，已经领先走路慢的人20里．问走路快的人走到多少里时就已经追上走路慢的人？设走路快的人走到里时就已经追上走路慢的人，则可列方程 ． 3．2024年世界人工智能大会上展示的无人汽车和飞行汽车的技术突破备受瞩目．已知某品牌飞行汽车的最高时速比无人汽车快150千米/小时，若两车分别以各自的最高速度行驶80千米，飞行汽车所用时间比无人汽车少0.5小时．设无人汽车的最高时速为x千米/小时，那么根据题意可列出方程 ． 4．邓先生驾车从深圳宝安国际机场返回中山市博览中心．导航显示，若经过虎门大桥路程约为100公里；若经过深中通道，路程约为54公里，且比经过虎门大桥用时少36分钟．若邓先生驾车的平均车速不变，则平均车速是多少？（结果保留小数点后一位） 5．学校组织春游活动，从学校出发，下面是小红、小明两位同学的对话： 根据以上信息求小明骑自行车的速度． 6．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为多少天? 7．“半马苏河步道”是上海市普陀区依托苏州河岸线打造的城市滨水景观廊道，全长21千米．小普和小陀两位同学沿着该步道行走健身，如果小普的平均步行速度比小陀的平均步行速度快1千米/时，并且小普比小陀提前42分钟走完全程，请你分别求出小普和小陀的平均步行速度． 题型三 分式方程的工程问题 1．2025年3月19日，习近平总书记来到云南丽江古城考察，称“云南咖啡代表着中国，现在国外也是受欢迎的．”已知云南咖啡厂甲团队加工1000千克咖啡豆需要的时间比乙团队加工800千克咖啡豆需要的时间多2天，乙团队每天的工作效率是甲团队的1.25倍．求甲、乙团队每天各能加工多少千克咖啡豆？ 2．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，逐步更新生产设备，新设备生产效率比旧设备提高了 ．若旧设备生产2500件产品比新设备生产3000件产品多用1天． (1)求新设备每天生产多少件产品； (2)日前该企业接到8000件产品的生产任务，若此次生产任务安排2台旧设备，4台新设备，求至少需要多少天完成任务． 3．随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的6倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时． (1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积． (2)王伯伯种植了亩玉米，他想用一小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若每个人打药的效率相同，王伯伯参与其中，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？ 4．某机械加工厂计划在一定时间内组装240个机器人，后因市场供不应求，不但需要增产，而且要提前4天完成任务．经测算，每天需要多组装8个．问原计划每天组装多少个机器人？ 5．随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 6．我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 题型四 分式方程的和差倍分问题 1．今年大年初一，《哪吒之魔童闹海》横空出世．某影院大年初二这天一共售出2400张电影票，由于观影人数太多，该影院采取增加场次的办法满足消费群众，大年初三上映场次是大年初二的1.2倍，每场售出的电影票数比大年初二多20张，一共售出了3600张票．问：该影院大年初二上映了多少场《哪吒之魔童闹海》？ 2．伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 3．2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (3)市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？ 4．宇树公司设计的人形机器人亮相年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的倍．一项分拣件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．问这两种型号的数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 题型一 分式方程的经济问题 1．某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价． 2．近年来中国潮玩与动漫产业蓬勃发展，有分析人士预计2026年中国潮玩市场总价值将达到1101亿元．某小店老板非常看好这个用情绪价值撬动的千亿市场，购进了A型和B型两种潮玩玩具，每套A型玩具的进价比每套B型玩具的进价多2.5元，已知用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的． (1)求A型、B型玩具的进价分别是多少元； (2)老板以原进价再次购进这两种型号的玩具共100套，恰好用了950元，则购进A型玩具多少套？ 3．某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动． (1)第一周，该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？ (2)第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？ 4．为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 5．某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用A，B两种型号的无人机运送．已知每台A型无人机的单次最高载货量比每台B型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货，B型无人机共载货． (1)每台A型无人机和B型无人机的单次最高载货量分别是多少？ (2)该公司决定使用台A型无人机（）和台B型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送： ①求满足条件的，值； ②若A型无人机运费为40元／次，B型无人机运费为30元／次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？ 6．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，称为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少30万元，花2220万元购进甲种机器人的数量是花1780万元购进乙种机器人数量的1.5倍． (1)求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ (2)某公司开展科技学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种机器人共30个，且经费预算不超过5000万元，则该公司最少可以购进甲种机器人多少个？ 7．“低空经济”激活了无人机产业，新型无人机不断面世．某科研公司研发生产了型、型两种新型无人机对外销售，已知型无人机比型无人机的单价少万元，用10万元购买型无人机与用14万元购买型无人机的数量相等． (1)求型、型无人机的单价各是多少万元； (2)某商家决定购买型、型无人机共50个，且花费不超过28万元，则至少购买型无人机多少个？ 8．2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用两种材料生产吉祥物．已知使用材料的吉祥物比材料每个贵50元，用4500元购买用材料生产吉祥物的数量是用3000元购买材料生产吉祥物数量的3倍． (1)求购买一个材料、一个材料的吉祥物各需多少元？ (2)一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过4200元到该工厂购买两种材料的吉祥物共60个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用材料的吉祥物的价格按原售价的九折出售，使用材料的吉祥物比原售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用材料的吉祥物？ 9．某文具商店计划售卖哪吒卡片．调查发现：每盒A款哪吒卡片的进货单价比B款哪吒卡片少5元，花500元购进A款哪吒卡片的数量与花750元购进B款哪吒卡片的数量相同． (1)A、B两款的进货单价分别是每盒多少元？ (2)商店准备将售卖A、B两款卡片的利润每盒分别定为3元和5元，计划一共购买100盒哪吒卡片，A款哪吒卡片的盒数不得超过B款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元．在全部售完的情况下，请通过计算说明采用何种购买方案才能使获利最大？ 10．夏布是荣昌非遗产品．夏布小镇某夏布营销店最畅销的是A，B两种夏布产品，已知A产品的单价比B产品的单价高30元，经测算，用600元购买A产品的数量与用480元购买B产品的数量相同． (1)求A，B两种夏布产品的单价分别是多少？ (2)今年“五一”期间，该商店生意爆火，仅A，B两种夏布产品销售额就达到万元．在“五一”假期结束盘点商店货品时发现，这两种产品共售出件．则这个“五一”假期，该店销售了A，B两种夏布产品各多少件？ 11．为了让学生充分了解西夏文明的发展过程，增加民族自豪感，银川市中关村中学九年级全体师生去往西夏王陵博物馆研学．博物馆设计了，两种纪念品，已知种纪念品的单价比种纪念品的单价贵3元，用元全部购买种纪念品的数量与用元全部购买种纪念品的数量相同． (1)求，两种纪念品的单价分别是多少元？ (2)该校计划购买，两种纪念品共个来作为西夏知识问答挑战的奖品，总费用不超过元，则最多购买种纪念品多少个？ 12．2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． (1)求每个A种挂件的价格； (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 题型二 分式方程的其他实际问题 1．下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程． 分式方程 某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗．计划由八年级（1）班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？ 冰冰：， 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的表示________，庆庆同学所列方程中的表示________； (2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题． 2．“你好！我是，很高兴见到你！我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某创作公司自使用后，每小时比原来多完成件作品，且使用完成件作品所用时间与原来完成件作品所用时间相等．问该公司使用后每小时能完成多少件作品？ 3．2024年8月，以“共育新质生产力，共享智能新未来”为主题的世界机器人大会在北京召开，某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求乙种机器人每小时运送多少物品？ 4．某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用、两种型号的无人机运送．已知每台型无人机的单次最高载货量比每台型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，某次用相同数量的无人机一次性运送货物，型无人机共载货，型无人机共载货． (1)每台型无人机和型无人机的单次最高载货量分别是多少？ (2)该公司决定使用台型无人机（）和台型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送： ①求满足条件的、值； ②若型无人机单次运费为型无人机单次运费的倍．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？ 5．臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 6．某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用的材料． (1)求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？ (2)如果制作甲、乙两种边框的材料共米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的倍，求应最多安排制作甲种边框多少个不计材料损耗？ 1．在校园创客空间建设中，学校需采购两类智能设备用于3D打印和编程控制实验．以下是采购信息，探索解决任务： 智能设备采购方案设计 信息1 类设备单价比类设备单价高150元 信息2 用3000元购买类设备的数量与用1500元购买类设备的数量相同 信息3 学校计划采购类设备共80套，总预算不超过21000元． 问题解决 任务1 确定智能设备单价 类设备，类设备的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要类设备尽可能的多，求满足条件的购买方案． 2．为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 3．在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作，两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，制作一个A，分子模型需要的小球、塑料管数量分别为与，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个，分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：“每购买3个小球赠送1根塑料管，清货库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．”我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个模型和一个模型为一套，至少需要制作65套才够用．要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题） 4．某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题． (1)若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶万千米后报废， ①用含有的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量； ②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求的值； (2)若型号轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，安装在后轮行驶万千米后报废，其中，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式： 5．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.5分式方程的应用 题型一 列分式方程 1．在物理学中，我们常常使用公式“密度”来计算密度．已知甲物体的密度是乙物体密度的，甲物体的质量是，乙物体的质量是，乙物体的体积比甲物体的体积大．如果设甲物体的体积是，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的运用，理解数量关系正确列式是关键． 根据题意得到乙物体的体积为，甲物体的密度为，乙物体的密度为，结合题意列式即可． 【详解】解：乙物体的体积比甲物体的体积大，设甲物体的体积是， ∴乙物体的体积为， ∴甲物体的密度为，乙物体的密度为， ∵甲物体的密度是乙物体密度的， ∴， 故选：A ． 2．甲、乙两人加工同一零件，甲每小时比乙多加工2个，甲加工60个零件的时间与乙加工50个的时间相同．设乙每小时加工x个，则方程应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意，甲每小时加工零件数比乙多2个，乙每小时加工x个，则甲每小时加工个，根据“甲加工60个的时间与乙加工50个的时间相等”，据此建立方程求解． 【详解】解：设乙每小时加工x个，则甲每小时加工个， 则甲加工60个所需时间为小时，乙加工50个所需时间为小时， 由题意得：， 故选：B． 3．某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 4．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，分别表示出慢马和快马所需的时间，进而根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设规定时间为天，则可列方程为 故选：B． 5．用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键． 设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程． 【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨． ∵A货车运输450吨的时间为，B货车运输300吨的时间为， ∴， 即． 故选：C． 6．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 7．医用酒精消毒液可杀灭肠道致病杆菌、化脓性球菌、白色念珠菌，适用于人体的手部消毒和一般物体表面消毒，在一次实验中，要将浓度为的酒精，稀释为的酒精，设需要加水．根据题意，下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列分式方程，找准题目的等量关系式是解答本题的关键．将浓度为的酒精，稀释为的酒精，酒精的质量不变，根据此列出方程即可． 【详解】解：根据稀释前后酒精的质量不变，可表示出稀释后酒精的浓度，列方程为： 故选：C． 8．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着 100 个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得 15 个铜板．” 乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．” 问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设甲农妇有个鸡蛋，乙农妇有个鸡蛋．根据题意，两人原本卖得的钱数相同，且交换鸡蛋后的总金额分别为15和个铜板．通过设定单价并建立方程，可推导出正确选项． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，乙农妇有个鸡蛋， 由题意得，， 故选：A． 题型二 分式方程的行程问题 1．一艘轮船顺流航行所用的时间与逆流航行所用的时间相同，水流的速度为．则轮船在静水中的速度为 ． 【答案】30 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意顺流速度与逆流速度的求法． 设船在静水中的速度是，根据“轮船顺水航行所需要的时间和逆水航行所用的时间相同”可列出方程求解． 【详解】解：设船在静水中的速度是． 由题意得：． 解得． 经检验：是原方程的解． 即船在静水中的速度是． 故答案为：30． 2．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题，其大意为：现有走路慢的人先走10里，令走路快的人去追，追到100里时，已经领先走路慢的人20里．问走路快的人走到多少里时就已经追上走路慢的人？设走路快的人走到里时就已经追上走路慢的人，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意找到等量关系是解题的关键． 设走路快的人走x步就能追上走路慢的人，根据时间、路程、速度结合时间相同，列出方程即可解答． 【详解】解：设走路快的人走x步就能追上走路慢的人， 根据题意，得． 故答案为：． 3．2024年世界人工智能大会上展示的无人汽车和飞行汽车的技术突破备受瞩目．已知某品牌飞行汽车的最高时速比无人汽车快150千米/小时，若两车分别以各自的最高速度行驶80千米，飞行汽车所用时间比无人汽车少0.5小时．设无人汽车的最高时速为x千米/小时，那么根据题意可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，去理解题意是解题的关键． 设无人汽车的最高时速为x千米/小时，则飞行汽车的最高时速为千米/小时，分别表示其飞行时间，根据飞行汽车所用时间比无人汽车少0.5小时建立方程即可． 【详解】解：设无人汽车的最高时速为x千米/小时，则飞行汽车的最高时速为千米/小时， 由题意得：， 故答案为：． 4．邓先生驾车从深圳宝安国际机场返回中山市博览中心．导航显示，若经过虎门大桥路程约为100公里；若经过深中通道，路程约为54公里，且比经过虎门大桥用时少36分钟．若邓先生驾车的平均车速不变，则平均车速是多少？（结果保留小数点后一位） 【答案】平均车速约为 【分析】本题考查了分式方程的应用．设平均车速是，根据若经过虎门大桥，路程约为100公里；若经过深中通道，路程约为54公里，且比经过虎门大桥用时少36分钟；列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设平均速度是， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：平均车速约为． 5．学校组织春游活动，从学校出发，下面是小红、小明两位同学的对话： 根据以上信息求小明骑自行车的速度． 【答案】明骑自行车的速度是15千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设小明骑自行车的速度是千米/小时，则客车的速度为千米/小时，根据题意列方程即可得到解答． 【详解】解：设小明骑自行车的速度是千米/小时，则客车的速度为千米/小时， 根据题意，得． 解得 经检验，是所列方程的解． 答：小明骑自行车的速度是15千米/小时． 6．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为多少天? 【答案】天 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得， ，     解得， 经检验，是原方程的解， 答：规定时间是天． 7．“半马苏河步道”是上海市普陀区依托苏州河岸线打造的城市滨水景观廊道，全长21千米．小普和小陀两位同学沿着该步道行走健身，如果小普的平均步行速度比小陀的平均步行速度快1千米/时，并且小普比小陀提前42分钟走完全程，请你分别求出小普和小陀的平均步行速度． 【答案】小普的平均步行速度是6千米/时，小陀的平均步行速度是5千米/时 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设小普的平均步行速度是千米时，则小陀的平均步行速度是千米时．根据小普比小陀提前42分钟走完全程为等量关系列出分式方程求解即可得出答案． 【详解】解：设小普的平均步行速度是千米时，则小陀的平均步行速度是千米时． 因为42分钟小时， 由题意， 即 即 解得 经检验：都是原方程的根， 但不合题意，应舍去， 所以小陀的平均步行速度（千米/时） 答：小普的平均步行速度是6千米/时，小陀的平均步行速度是5千米/时． 题型三 分式方程的工程问题 1．2025年3月19日，习近平总书记来到云南丽江古城考察，称“云南咖啡代表着中国，现在国外也是受欢迎的．”已知云南咖啡厂甲团队加工1000千克咖啡豆需要的时间比乙团队加工800千克咖啡豆需要的时间多2天，乙团队每天的工作效率是甲团队的1.25倍．求甲、乙团队每天各能加工多少千克咖啡豆？ 【答案】甲团队每天加工180千克咖啡豆，乙团队每天加工225千克咖啡豆 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设甲团队每天加工千克咖啡豆，则乙团队每天加工千克咖啡豆，根据甲团队加工1000千克咖啡豆需要的时间比乙团队加工800千克咖啡豆需要的时间多2天，再建立分式方程求解即可． 【详解】解：设甲团队每天加工千克咖啡豆，则乙团队每天加工千克咖啡豆， ， ， 经检验是原分式方程的解且符合题意， ， 答：甲团队每天加工180千克咖啡豆，乙团队每天加工225千克咖啡豆． 2．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，逐步更新生产设备，新设备生产效率比旧设备提高了 ．若旧设备生产2500件产品比新设备生产3000件产品多用1天． (1)求新设备每天生产多少件产品； (2)日前该企业接到8000件产品的生产任务，若此次生产任务安排2台旧设备，4台新设备，求至少需要多少天完成任务． 【答案】(1)新设备每天生产125件产品 (2)至少需要12天完成任务 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键。 （1）设旧设备每天生产x件产品，则新设备每天生产件产品．根据旧设备生产2500件产品比新设备生产3000件产品多用1天建立方程求解即可； （2）设该企业需要y天完成任务，根据新旧设备生产总量要不少于8000件建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设旧设备每天生产x件产品，则新设备每天生产件产品． 根据题意，得． 解得． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴． 答：新设备每天生产125件产品． （2）解：设该企业需要y天完成任务． 根据题意，得． 解得． ∵y是正整数， ∴y的最小值为12． 答：至少需要12天完成任务． 3．随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的6倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时． (1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积． (2)王伯伯种植了亩玉米，他想用一小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若每个人打药的效率相同，王伯伯参与其中，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？ 【答案】(1)一个人打药的面积为4亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为24亩． (2)王伯伯至少还需要47个人同时打药． 【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：一个人打药的面积为4亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为24亩． （2）解：设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意得： ， 解得：； 答：王伯伯至少还需要47个人同时打药． 4．某机械加工厂计划在一定时间内组装240个机器人，后因市场供不应求，不但需要增产，而且要提前4天完成任务．经测算，每天需要多组装8个．问原计划每天组装多少个机器人？ 【答案】原计划每天组装10个机器人 【分析】本题考查了分式的实际应用，解题关键是找准等量关系． 设原计划每天组装个机器人，则实际每天需组装个机器人，根据等量关系列出分式方程求解，并验根． 【详解】解：设原计划每天组装个机器人，则实际每天需组装个机器人， 根据题意得： ， 解得：，， 经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去． 答：原计划每天组装10个机器人． 5．随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】新型机器人每天搬运的货物量为80吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 6．我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里．              根据题意得：．                解得：．                            经检验，是原方程的根，且符合题意．                    答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． 题型四 分式方程的和差倍分问题 1．今年大年初一，《哪吒之魔童闹海》横空出世．某影院大年初二这天一共售出2400张电影票，由于观影人数太多，该影院采取增加场次的办法满足消费群众，大年初三上映场次是大年初二的1.2倍，每场售出的电影票数比大年初二多20张，一共售出了3600张票．问：该影院大年初二上映了多少场《哪吒之魔童闹海》？ 【答案】该影院大年初二上映了30场《哪吒之魔童闹海》 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，准确理解题意是解题的关键． 设该影院大年初二上映了场《哪吒之魔童闹海》，则大年初三上映了场，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设该影院大年初二上映了场《哪吒之魔童闹海》，则大年初三上映了场． 由题意得，． 解得． 经检验为原方程的解，且符合题意． 答：该影院大年初二上映了30场《哪吒之魔童闹海》． 2．伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 【答案】该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设该车每次换电池服务的时间是分钟，根据“花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设该车每次换电池服务的时间是分钟，则完成加油服务的时间是分钟， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， （分钟）， 答：该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 3．2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (3)市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？ 【答案】(1)主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； (2)制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个 (3)最多可生产85套机器人 【分析】本题主要考查分式方程和二元一次方程组的应用，读懂题意是解答本题的关键． （1）设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片列分式方程求解即可； （2）设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是列出二元一次方程组求解即可； （3）采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人． 【详解】（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴主控芯片单价为（元） 答：主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； （2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据题意得， 解得：， 故制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个， 答：制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个； （3）解：采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块， 主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人． 答：最多可生产85套机器人． 4．宇树公司设计的人形机器人亮相年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的倍．一项分拣件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．问这两种型号的数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】件，件 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是正确列出方程． 设B型数控机器人每小时分拣x件快递，先用x表示出A型数控机器人每小时分拣快递的数量，再根据“一项分拣件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成”列出分式方程求解，并检验根． 【详解】解：设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型数控机器人每小时分拣件快递，B型数控机器人每小时分拣件快递． 题型一 分式方程的经济问题 1．某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价． 【答案】16元 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确列方程是解题关键．设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为元，根据“用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同”，即可列方程求解． 【详解】解：设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲商店硬面笔记本的单价为16元． 2．近年来中国潮玩与动漫产业蓬勃发展，有分析人士预计2026年中国潮玩市场总价值将达到1101亿元．某小店老板非常看好这个用情绪价值撬动的千亿市场，购进了A型和B型两种潮玩玩具，每套A型玩具的进价比每套B型玩具的进价多2.5元，已知用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的． (1)求A型、B型玩具的进价分别是多少元； (2)老板以原进价再次购进这两种型号的玩具共100套，恰好用了950元，则购进A型玩具多少套？ 【答案】(1)A型玩具的进价是10元，B型玩具的进价是7.5元 (2)购进A型玩具80套 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设A型玩具的进价是x元，则B型玩具的进价是元，根据用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进A型玩具a套，则购进B型玩具套，根据恰好用了950元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设A型玩具的进价是x元，则B型玩具的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型玩具的进价是10元，B型玩具的进价是7.5元； （2）解：设购进A型玩具a套，则购进B型玩具套， 由题意得：， 解得：， 答：购进A型玩具80套． 3．某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动． (1)第一周，该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？ (2)第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？ 【答案】(1)食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件 (2)食品加工厂第二周采购A种食材30件 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件，根据该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，根据食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件 解得： 答：食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件． （2）解：设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，则 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：食品加工厂第二周采购A种食材30件． 4．为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)，； (2)每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 【分析】本题考查了分式方程的应用，掌握分式方程的应用是解题的关键． （1）根据方程形式，可判断变量表示的含义； （2）根据表示的含义，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解： 由题意可得：解法一中的表示每只乙型号节能灯每个月的用电量，解法二中的表示乙型号节能灯的数量， 故答案为：，； （2）解：解法一，设每只乙型号节能灯每个月的用电量为，则每只甲型号节能灯每个月用电量为，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为； 解法二，设甲、乙型号节能灯的数量为只，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴乙型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴甲型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 5．某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用A，B两种型号的无人机运送．已知每台A型无人机的单次最高载货量比每台B型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货，B型无人机共载货． (1)每台A型无人机和B型无人机的单次最高载货量分别是多少？ (2)该公司决定使用台A型无人机（）和台B型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送： ①求满足条件的，值； ②若A型无人机运费为40元／次，B型无人机运费为30元／次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？ 【答案】(1)每台A型号无人机单次最高载货量为，每台B型号无人机单次最高载货量为 (2)①或；②该公司应使用4台A型号无人机，4台B型号无人机 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用． （1）设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则B型无人机的单次最高载货量为，根据“用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货，B型无人机共载货”列出分式方程求解即可； （2）①根据题意得，，再根据m的取值范围求解即可； ②根据①的结论，分别求出两种方案的总费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则 ， 解得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ∴， 答：每台A型号无人机单次最高载货量为，每台B型号无人机单次最高载货量为； （2）解：∵， ∴， ∵，m、n为整数， ∴或； ②当，时，（元）， 当，时，（元）， ∵， ∴该公司应使用4台A型号无人机，4台B型号无人机． 6．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，称为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少30万元，花2220万元购进甲种机器人的数量是花1780万元购进乙种机器人数量的1.5倍． (1)求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ (2)某公司开展科技学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种机器人共30个，且经费预算不超过5000万元，则该公司最少可以购进甲种机器人多少个？ 【答案】(1)购买一个甲种机器人需148万元，购买一个乙种机器人需178万元 (2)该公司最少可以购进甲种机器人12个 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设购买一个甲种机器人需x万元，则购买一个乙种机器人需万元，根据题意列分式方程，求出解后进行检验即可； （2）设可以购进甲种机器人a个，则可以购进乙种机器人个，根据题意列一元一次不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【详解】（1）解：设购买一个甲种机器人需x万元，则购买一个乙种机器人需万元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时，， 答：购买一个甲种机器人需148万元，购买一个乙种机器人需178万元． （2）解：设可以购进甲种机器人a个，则可以购进乙种机器人个， 根据题意可得：， 解得：， 为正整数， 的最小整数解为12， 答：该公司最少可以购进甲种机器人12个． 7．“低空经济”激活了无人机产业，新型无人机不断面世．某科研公司研发生产了型、型两种新型无人机对外销售，已知型无人机比型无人机的单价少万元，用10万元购买型无人机与用14万元购买型无人机的数量相等． (1)求型、型无人机的单价各是多少万元； (2)某商家决定购买型、型无人机共50个，且花费不超过28万元，则至少购买型无人机多少个？ 【答案】(1)A型无人机的单价为万元，则B型无人机的单价为万元 (2)35个 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设A型无人机的单价为x万元，则B型无人机的单价为万元，根据用10万元购买型无人机与用14万元购买型无人机的数量相等建立方程求解即可； （2）设购买A型无人机m个，则购买B型无人机个，根据花费不超过28万元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A型无人机的单价为x万元，则B型无人机的单价为万元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型无人机的单价为万元，则B型无人机的单价为万元； （2）解：设购买A型无人机m个，则购买B型无人机个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为35， 答：至少购买型无人机35个． 8．2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用两种材料生产吉祥物．已知使用材料的吉祥物比材料每个贵50元，用4500元购买用材料生产吉祥物的数量是用3000元购买材料生产吉祥物数量的3倍． (1)求购买一个材料、一个材料的吉祥物各需多少元？ (2)一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过4200元到该工厂购买两种材料的吉祥物共60个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用材料的吉祥物的价格按原售价的九折出售，使用材料的吉祥物比原售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用材料的吉祥物？ 【答案】(1)购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元 (2)学校此次最多可购买20个B材料的吉祥物 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设使用材料生产的吉祥物的单价为元个，则使用材料生产的吉祥物的单价为元个，利用数量总价单价，结合用4500元购买用材料生产吉祥物的数量是用3000元购买材料生产吉祥物数量的3倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出使用材料生产的吉祥物的单价，再将其代入中，即可求出使用材料生产的吉祥物的单价； （2）设该学校此次购买m个使用材料生产的吉祥物，则购买个使用材料生产的吉祥物，利用总价单价数量，结合总价不超过4200元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买一个A材料的吉祥物需x元，则购买一个B材料的吉祥物需元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元； （2）解：设该学校此次购买m个B材料的吉祥物，则购买个A材料的吉祥物， 依题意，得：， 解得：． ∴m的最大值为20， 答：该学校此次最多可购买20个B材料的吉祥物． 9．某文具商店计划售卖哪吒卡片．调查发现：每盒A款哪吒卡片的进货单价比B款哪吒卡片少5元，花500元购进A款哪吒卡片的数量与花750元购进B款哪吒卡片的数量相同． (1)A、B两款的进货单价分别是每盒多少元？ (2)商店准备将售卖A、B两款卡片的利润每盒分别定为3元和5元，计划一共购买100盒哪吒卡片，A款哪吒卡片的盒数不得超过B款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元．在全部售完的情况下，请通过计算说明采用何种购买方案才能使获利最大？ 【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 (2)购进A款48盒、B款52盒时获得的利润最大 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款盒，则购进A款盒，根据题意求得求解即可． 【详解】（1）解：设A款的进货单价是x元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； （2）解：设购进B款n盒，则购进A款盒， 款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数， ，解得：， 根据题意得：，解得：， ，n取整数为50，51，52， 当时，，获利为：（元）； 当时，，获利为：（元）； 当时，，获利为：（元）． 因为，所以购进A款48盒、B款52盒时获得的利润最大． 10．夏布是荣昌非遗产品．夏布小镇某夏布营销店最畅销的是A，B两种夏布产品，已知A产品的单价比B产品的单价高30元，经测算，用600元购买A产品的数量与用480元购买B产品的数量相同． (1)求A，B两种夏布产品的单价分别是多少？ (2)今年“五一”期间，该商店生意爆火，仅A，B两种夏布产品销售额就达到万元．在“五一”假期结束盘点商店货品时发现，这两种产品共售出件．则这个“五一”假期，该店销售了A，B两种夏布产品各多少件？ 【答案】(1)A种夏布产品的单价是元，则B种夏布产品的单价是元； (2)销售了A种夏布产品件，则销售了B种夏布产品件． 【分析】此题考查了分式方程和一元一次方程的应用，准确列出方程是关键． （1）设A种夏布产品的单价是x元，则B种夏布产品的单价是元，用600元购买A产品的数量与用480元购买B产品的数量相同，据此列方程并解方程和检验即可得到答案； （2）设销售了A种夏布产品件，则销售了B种夏布产品件，A，B两种夏布产品销售额就达到万元，据此列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设A种夏布产品的单价是x元，则B种夏布产品的单价是元， 则 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意； ∴ 答：A种夏布产品的单价是元，则B种夏布产品的单价是元； （2）设销售了A种夏布产品件，则销售了B种夏布产品件， 则 解得， 则 答：销售了A种夏布产品件，则销售了B种夏布产品件． 11．为了让学生充分了解西夏文明的发展过程，增加民族自豪感，银川市中关村中学九年级全体师生去往西夏王陵博物馆研学．博物馆设计了，两种纪念品，已知种纪念品的单价比种纪念品的单价贵3元，用元全部购买种纪念品的数量与用元全部购买种纪念品的数量相同． (1)求，两种纪念品的单价分别是多少元？ (2)该校计划购买，两种纪念品共个来作为西夏知识问答挑战的奖品，总费用不超过元，则最多购买种纪念品多少个？ 【答案】(1)种纪念品的单价为元，种纪念品的单价为元； (2)最多购买种纪念品个 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式组． （1）设种纪念品的单价为元，根据“A种纪念品的单价比B种纪念品的单价贵3元，用180元全部购买B种纪念品的数量与用225元全部购买A种纪念品的数量相同”列分式方程解题即可； （2）根据题意，设购买种纪念品个，则购买种纪念品个，可以写出相应的不等式，求出最大整数解即可求解． 【详解】（1）解：设种纪念品的单价为元，则种纪念品的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：种纪念品的单价为元，种纪念品的单价为元； （2）解：设购买种纪念品个，则购买种纪念品个， 由题意得：， 解得：， ∴最大整数解为， 答：最多购买种纪念品个． 12．2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． (1)求每个A种挂件的价格； (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【答案】(1)每个A种挂件的价格为25元 (2)该游客最多购买11个A种挂件 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元． 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元； （2）解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件， 由（1）得每个B种挂件的价格为（元）， 根据题意，得， 解得， 由于y为正整数， 故该游客最多购买11个A种挂件． 题型二 分式方程的其他实际问题 1．下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程． 分式方程 某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗．计划由八年级（1）班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？ 冰冰：， 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的表示________，庆庆同学所列方程中的表示________； (2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题． 【答案】(1)每个小组学生的人数；原计划每名学生做的彩旗数 (2)每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗 【分析】本题主要考查了利用分式方程解决实际问题，解题的关键是准确找出等量关系，列出方程． （1）根据所列出方程结合题意和等量关系即可判定未知数所表示的量； （2）选择一个方程进行求解即可． 【详解】（1）解：冰冰同学所列方程为，则表示每个小组学生的人数； 庆庆同学所列方程为，则原计划每名学生做的彩旗数； 故答案为：表示每个小组学生的人数； 表示原计划每名学生做的彩旗数； （2）解：方法一：解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴（个）， 答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗； 方法二：解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴（人）， 答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗． 2．“你好！我是，很高兴见到你！我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某创作公司自使用后，每小时比原来多完成件作品，且使用完成件作品所用时间与原来完成件作品所用时间相等．问该公司使用后每小时能完成多少件作品？ 【答案】件 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该公司使用后每小时能完成件作品，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该公司使用后每小时能完成件作品， 依题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该公司使用后每小时能完成件作品． 3．2024年8月，以“共育新质生产力，共享智能新未来”为主题的世界机器人大会在北京召开，某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求乙种机器人每小时运送多少物品？ 【答案】甲种机器人每小时运送物品，乙种机器人每小时运送物品 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品，根据每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲种机器人每小时运送物品，乙种机器人每小时运送物品． 4．某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用、两种型号的无人机运送．已知每台型无人机的单次最高载货量比每台型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，某次用相同数量的无人机一次性运送货物，型无人机共载货，型无人机共载货． (1)每台型无人机和型无人机的单次最高载货量分别是多少？ (2)该公司决定使用台型无人机（）和台型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送： ①求满足条件的、值； ②若型无人机单次运费为型无人机单次运费的倍．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？ 【答案】(1)每台型号无人机单次最高载货量为，每台型号无人机单次最高载货量为； (2)①或；②该公司应使用4台A型号无人机，5台B型号无人机． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用． （1）设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则B型无人机的单次最高载货量为，根据“用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货，B型无人机共载货”列出分式方程求解即可； （2）①根据题意得，，再根据m的取值范围求解即可； ②根据①的结论，分别求出两种方案的总费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则每台B型号无人机的单次最高载货量为， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ∴， 答：每台A型号无人机单次最高载货量为，每台B型号无人机单次最高载货量为； （2）解：①∵， ∴， ∵，m、n为整数， ∴或； ②设B型无人机单次运费为元，则A型无人机单次运费为元， 当，时，（元）， 当，时，（元）， ∵， ∴该公司应使用4台A型号无人机，5台B型号无人机． 5．臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 【答案】(1)大蒜元每市斤 (2)安排名工人加工汤料包 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设大蒜元每市斤，列方程求解即可； （2）设安排名工人加工汤料包，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大蒜元每市斤， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：大蒜元每市斤； （2）解：设安排名工人加工汤料包， 根据题意得：， 解得：， 答：安排名工人加工汤料包． 6．某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用的材料． (1)求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？ (2)如果制作甲、乙两种边框的材料共米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的倍，求应最多安排制作甲种边框多少个不计材料损耗？ 【答案】(1)制作甲种边框需用材料米，制作一个乙种边框需用材料2米 (2)最多安排制作甲种边框100个 【分析】题目主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，理解题意，根据题意列出方程和不等式是解题关键． （1）设制作一个乙种边框需用材料米，根据题意列出方程求解即可； （2）设应安排制作甲种边框个，根据题意列出一元一次不等式求解即可得出结果． 【详解】（1）解：设制作一个乙种边框需用材料米，则制作一个甲种边框需用材料米， 由题意得： 解得：， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 当时，， 答：制作一个甲种边框需用材料米，制作一个乙种边框需用材料2米； （2）解：设应安排制作甲种边框个，由题意得： 解得：， 答：最多安排制作甲种边框100个． 1．在校园创客空间建设中，学校需采购两类智能设备用于3D打印和编程控制实验．以下是采购信息，探索解决任务： 智能设备采购方案设计 信息1 类设备单价比类设备单价高150元 信息2 用3000元购买类设备的数量与用1500元购买类设备的数量相同 信息3 学校计划采购类设备共80套，总预算不超过21000元． 问题解决 任务1 确定智能设备单价 类设备，类设备的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要类设备尽可能的多，求满足条件的购买方案． 【答案】任务1：类设备单价是300元，类设备单价是150元；任务2：购买类设备60套，类设备20套 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出分式方程和一元一次不等式成为解题的关键． 任务1：设类设备单价是元，类设备单价是元，然后根据题意列分式方程求解即可； 任务2：设购买类设备套，购买类设备套，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：任务1：设类设备单价是元，类设备单价是元， 根据题意得：， 解得： 经检验，是原方程的根， ∴ 答：类设备单价是300元，类设备单价是150元； 任务2：设购买类设备套，购买类设备套， ∴， 解得：， 又∵类设备尽可能的多， ∴取最大值60，此时， 答：满足条件的购买方案是：购买类设备60套，类设备20套． 2．为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 【答案】(1)中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，根据小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍．然后列分式方程即可求解． （2）分阶段求出总收入=元、总成本元，根据总利润=总收入−总成本元，依题意列不等式即可作答． 【详解】（1）解：设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，依题意： ∴， 解并检验得：， 大果每千克进价为元， 答：中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； （2）解：已知中果购进（千克），大果购进 （千克），总成本 （元）． 第一阶段销售： 中果售价比进价高，售价（ 元/千克）． 售出量 （千克），收入 （元）． 大果在进价基础上加价元，售价元/千克．售出量（千克），收入元． 剩余：中果（ 千克），大果 （千克）． 第二阶段促销（降价销售）： 中果每千克降价 元，新售价 )元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量为（千克），收入 元． 大果每千克降价 元，新售价 元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量千克，收入 元． 总收入)元， 总利润=总收入−总成本元， 由要求总利润不少于 5980 元，得：，解得 ， 因此，，最小值为 ． 3．在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作，两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，制作一个A，分子模型需要的小球、塑料管数量分别为与，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个，分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：“每购买3个小球赠送1根塑料管，清货库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．”我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个模型和一个模型为一套，至少需要制作65套才够用．要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题） 【答案】(1)制作一个 A 分子模型需要小球 10 个，塑料管 8 根，制作一个 B 分子模型要小球 12 个，塑料管 10 根 (2)共有四种方案可选择 【分析】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用等知识，解题的关键是)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准数量关系正确列出分式方程、一元一次不等式以及一元一次不等式组． （1）设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，根据用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设塑料管的价格是元/根，则小球的价格是元/个，根据花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多80，列出方程式得出塑料管的单价，小球的单价；设采购材料能制作出套模型，则需要用去个小球，根塑料管，根据向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，列出一元一次不等式，再由题意列出一元一次不等式组，解不等式组进而得出，即可解决问题． 【详解】（1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，由题意，得 解得 答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根． （2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个根据题意得 解得． 经检验：是原方程的解． 塑料管的单价是元/根，小球的单价是1元/个． 设采购材料能制作出套模型，需要用去个小球，根塑料管． 根据促销活动内容，每购买3个小球赠送1根塑料管， ， 解得． ，， 解得，． 至少需要制作65套才够用， ． 综上，． 购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套， 是整数且是正整数， 是正整数， ，69，72，75． 共有四种方案可选择． 4．某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题． (1)若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶万千米后报废， ①用含有的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量； ②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求的值； (2)若型号轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，安装在后轮行驶万千米后报废，其中，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式： 【答案】(1)①该型号轮胎安装在前轮上每万千米的损耗量为，安装在后轮上每万千米的损耗量为；② (2)在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废．理由见解析；该型号新轮胎应行驶万千米后，前后轮胎对调可使得前后轮胎同时报废． 【分析】本题考查分式的运算的应用，分式方程的应用． （1）①把轮胎完好到报废的损耗量看成单位1，根据每万千米的损耗量等于损耗量除以里程即可解答； ②根据“安装在前轮的损耗量＋安装在后轮的损耗量＝1”列出方程，求解并检验即可； （2）B型轮胎在前轮每万千米的损耗量为，在后轮每万千米的损耗量为，当行驶万千米后将前后轮对调，原来在前轮的轮胎还可以行驶路程为万千米，原来在后轮的轮胎还可以行驶路程为万千米，若它们同时报废，则，得到，不合题意，即可解答．设行驶m千米后互换，再行驶n万千米后，两条轮胎同时报废，列出方程组，求解即可． 【详解】（1）解：①该型号轮胎安装在前轮上每万千米的损耗量为， 安装在后轮上每万千米的损耗量为． ②根据题意，得， 解得， 经检验，是该方程的解，且符合题意． （2）解：在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废．理由如下： B型轮胎在前轮每万千米的损耗量为，在后轮每万千米的损耗量为， 当行驶万千米后将前后轮对调， 原来在前轮的轮胎还可以行驶路程为（万千米）， 原来在后轮的轮胎还可以行驶路程为（万千米）， 若它们同时报废，则， 整理，得， ∴，不合题意， ∴在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废． 设行驶m千米后互换，再行驶n万千米后，两条轮胎同时报废，则 解得：， ∴该型号新轮胎应行驶万千米后，前后轮胎对调可使得前后轮胎同时报废． 5．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$