复习课第04讲 与三角形有关的角、多边形内角和 暑假讲义2025－2026学年八年级上册数学（人教版2024）

第04讲 与三角形有关的角、多边形内角和 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 三角形的内角和外角 【题型二】 多边形内角和与外角和 【题型三】 正多边形的角度计算 【题型四】 综合性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握三角形的内角和与外角的性质，并会处理一些与之有关角的求值问题； 2.掌握多边形的内角和与外角和，会利用其求解多边形的内角与外角. 1 三角形的内角和 三角形的内角和等于。 2 三角形的外角 三角形的一个外角等于与不相邻的两个内角的和. 3 多边形的内角和 边形的内角和等于. 4 多边形的外角和 多边形的外角和等于. 5镶嵌 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这类问题属于镶嵌问题. 【题型一】三角形的内角和外角 【典题1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，的边、上分别有点、，连接，将沿折叠，使点落在点处，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，先根据折叠的性质得，再根据平行线的性质和三角形内角和定理得，，即可得，最后由可得答案． 【详解】解：∵将沿折叠，使点落在点处， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 变式练习 1（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平分等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理，平角的意义，掌握三角形的内角为是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 2（2025·四川德阳·二模）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产，体现了中国人民的智慧和创造力，它是中华传统文化的重要组成部分，承载着丰富的历史文化内涵．在市区某公园里，小明看到小女孩在抖空竹（如图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，如图，延长交于，先证明，再利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A 3 （24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：在中，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴． 故选：C． 4（2025·安徽淮南·三模）一束光照射到平面镜上的点处后反射到平面镜上的点处，已知入射光线、反射光线与的夹角相等，照射点处的法线（法线与反射面垂直，即），若，则两平面镜的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和的性质，利用题意求得，再根据平行的性质可得，即可解答，熟练运用平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【题型二】多边形内角和与外角和 【典题1】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 变式练习 1（2025·云南楚雄·二模）一个多边形的内角和是外角和的7倍，则这个多边形是（   ） A．十六边形 B．十五边形 C．十四边形 D．九边形 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和．根据多边形的内角和公式与外角和的性质找出等量关系，构建方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得： ， 解得：， 故选：A． 2（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得的和是解题的关键．由外角和内角的关系可求得的和，由多边形的内角和公式求得五边形的内角和，即可求得． 【详解】解：∵的外角和等于， ， ， ∵五边形内角和， ， ， 故选：A． 3（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知中，，将按照如图所示折叠，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”，“四边形的内角和是”，“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键． 利用三角形的内角和定理的推论，先用表示出，再利用邻补角和四边形的内角和定理用表示出，最后再利用三角形的内角和定理求出． 【详解】解：由折叠知． ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【题型三】正多边形的角度计算 【典题1】（2025·安徽合肥·二模）如图，过正五边形的顶点A作射线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，多边形的内角和定理，过点作，根据多边形的内角和定理，求出的度数，根据平行线的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵正五边形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选A. 变式练习 1（2025九年级下·四川巴中·学业考试）正多边形的一个内角的度数为，则这个正多边形的边数为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形的外角和，熟练掌握正多边形的外角和是解题的关键；因此此题可根据正多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n，由题意得：， 故选C． 2（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在正六边形和正方形中，连接并延长交边于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形的内角和与正多边形的性质，熟练掌握多边形的内角和与正多边形的性质是解题的关键．根据多边形的内角和与正多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：正六边形中， ，， 正方形中，， ， ， ． 故选A． 3（河南省洛阳市2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷　）如图，，，是正n边形的三条边，在该正n边形下方以为一边作正六边形．已知，则n的值为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形的内角和，先求解正六边形的1个内角度数，再根据正n边形的一个内角加上正六边形的1个内角度数以及为360度求解即可． 【详解】解：正六边形的内角为， 则， 解得． 则n的值为18， 故选：B 4（2025·江苏宿迁·一模）如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的内角和、多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．设题中的正八边形为正八边形，过点作于点，先求出正八边形的每个内角的度数，再根据五边形的内角和可得的度数，从而可得的度数，同理可得的度数，最后根据五边形的内角和求解即可得． 【详解】解：如图，设题中的正八边形为正八边形，过点作于点， ∵八边形为正八边形， ∴正八边形的每个内角为， ∵， ∴在五边形中，， 由入射角等于反射角得：， ∴，即， ∴在五边形中，， 同理可得：， ∴在五边形中，， 故选：A． 【题型四】平面镶嵌问题 【典题1】（24-25七年级下·全国·单元测试）用正八边形和正方形组合能够铺满地面，每个顶点周围有x个正八边形和y个正方形（x、y为正整数），则的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面镶嵌的知识点，二元一次方程的解，正确列出方程是解题的关键． 根据正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知，位于同一顶点处的几个角的和为，设在一个顶点周围有x个正八边形，y个正方形，则有，求出方程的正整数解即可． 【详解】∵正八边形的一个内角度数为，正方形的一个内角度数为， 设在一个顶点周围有个正八边形和个正方形， 由题意可得：， 整理得， ∵x、y为正整数 ∴，， ∴． 故选：D． 变式练习 1（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）只用下列四种正多边形中的一种，不能铺满地面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和问题，理解题意，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题关键．先求出各个正多边形的每个内角的度数，再找出不能被整除的即可得． 【详解】A、正三角形的每个内角的度数为，且，则能铺满地面，此项不符题意； B、正四边形的每个内角的度数为，且，则能铺满地面，此项不符题意； C、正六边形的每个内角的度数为，且，则能铺满地面，此项不符题意； D、正九边形的每个内角的度数为，且，则不能铺满地面，此项符题意； 故选：D． 2（24-25八年级上·山东威海·期末）璐璐家准备用地砖铺地，已经购买了正八边形地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正八边形地砖在同一顶点处做平面镶嵌．则可以购买的地砖形状是（　　） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】B 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为．正八边形的一个内角为，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为，并以此为依据进行求解． 【详解】解：A、正八边形、正三角形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； B、正四边形、正八边形内角分别为、，由于，故能铺满，选项符合题意； C、正八边形的内角为，正五边形的内角为，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； D、正六边形和正八边形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意． 故选：B． 3（24-25八年级上·重庆丰都·期末）活动探究：有些地板的拼合图案如图所示，它是用正方形的地砖铺成的．用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙不重叠，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．商店出售下列形状的瓷砖（同一形状均是全等的），若只从其中选择一种瓷砖镶嵌地面（墙边墙角需要切割的部分忽略不计），则可以选择的是（   ）       A．只能④ B．只能③或④ C．只能①或②或④ D．只能①或③或④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合内角度数和能整除，任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除，由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数和是否能整除，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能，理解题意是解决问题的关键． 【详解】解：①三角形的内角和是，6个能组成镶嵌； ②四边形的内角和是，4个能组成镶嵌； ③正五边形每个内角是，不能整除，不能密铺； ④正六边形的每个内角是，能整除，3个能组成镶嵌； 综上所述，若只选购题中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖只能①或②或④， 故选：C． 【题型五】综合性问题 【典题1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，平分，，下列结论： ①；②；③；④；⑤若，则， 其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴，即，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， 故④正确； ∵ ， ∴为定值，故⑤正确． 综上所述，正确的选项①②④⑤共4个， 故选：C． 【典题2】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数；（用含的式子表示） (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，直接写出与之间满足的数量关系______； (3)如图③，延长线段交于点，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线定义，三角形内角和定理，外角和性质，多边形内角和等． （1）根据可得，再利用角平分线定义可得，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案； （2）根据角平分线定义得出，再由四边形内角和定理可得结论； （3）先求出，后得到，，，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵作外角，的角平分线交于点， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式练习 1（20-21七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，由题意平分，平分，推出，，设，设，，用含和的代数式表示和即可解决问题． 【详解】解：如图： 平分，平分， ，， 设，，， 由外角的性质得： ， ， ，解得， ， ．     故选：C． 2（2023·河北张家口·三模）如图，甲、乙两位同学用个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正边形，关于的值，甲的结果是，乙的结果是或4，则（    ）    A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【分析】正六边形的一个内角为，根据外角的定义有，，得，再讨论即可得的值． 【详解】解：∵正六边形的一个内角为， ∴， ∵为正边形的一个内角为度数， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 则的值为3或4或5或6． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和．解题的关键是根据周角的定义推得． 3（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，易证明：．应用这个结论解决问题： (1)如图②，在“五角星”形中，求． 分析：在图形中，根据（1）可得，所以_______． (2)如图③，在“七角星”形中，求． (3)如图④，在“八角星”形中，可以求得_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键． （1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案； （2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案． （3）根据三角形外角的性质把8个角转化到一个四边形中可得答案． 【详解】（1）解：如图， 由三角形外角的性质可得，，，， ． （2）解：如图， 由三角形外角的性质可得，，，， ， ． （3）解：如图， 由三角形外角的性质可得，，，，， ，． 4（24-25七年级下·北京·期中）已知：如图，直线，直线与分别交于E、F两点．过F作射线交于点G，且，射线上有一动点P，过P作，交直线于点Q，作的角平分线，交射线于点M． (1)如图1，求证：平分． (2)如图2，当时，求的度数． (3)当点P在运动过程中，试探究与的数量关系，请直接写出你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质定理、角平分线、直角三角形两锐角互余等知识点，熟练运用平行线的性质并进行等量代换是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，再结合以及角平分线的定义即可解答； （2）根据平行线的性质及直角三角形的性质求解即可； （3）根据平行线的性质和角平分线的定义分点Q在线段的延长线上和点Q在线段上两种情况分别根据平行线的性质及直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图1：∵， ∴， ∵， ∴，即平分． （2）解：如图2：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． （3）解：或，理由如下： 如图2：当点Q在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，即； 如图，当点Q在线段上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，整理得：， ∴． 综上，与的数量关系为或． 【A组---基础题】 1（2025·青海西宁·一模）若正多边形的一个外角是，则它的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和公式、外角和性质等知识点．根据多边形内外角和为求得多边形的边数，然后运用多边形的内角和公式即可解答． 【详解】解：依题意可得：多边形的边数， ∴这个正多边形的内角和， 故选：D． 2（2025·四川达州·一模）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，由对顶角相等得出的度数，再由a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补得到，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵与为对顶角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 故选：B． 3（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（   ） A．15 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意可得正五边形的每个内角的度数为，由此可得每个正五边形所对圆心角为，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴正五边形的每个内角的度数为，即， ∴， ∴，即每个正五边形所对圆心角为， ∵， ∴共需要正五边形的个数是10个， 故选：C ． 4（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了三角形与折叠问题、三角形内角和定理，由折叠的性质可得，，进而可得， 再利用三角形内角和定理即可求解，熟练掌握折叠的性质及三角形内角和为是解题的关键． 【详解】解：是由沿折叠得到， ，， ，， ， ，即：， ， 故选C． 5（2025·山西运城·二模）如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是四边形的内角和定理，平行线的性质，先求解，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C 6（2025·山东济宁·一模）如图，正六边形中，直线，分别经过边，上一点；且．则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、多边形外角和、三角形外角的性质，延长交直线于点，根据多边形的外角和是，正多边形的每个外角度数都相等，可以求出，根据平行线的性质可得，根据三角形外角的性质可得． 【详解】解：如图所示，延长交直线于点， ， ， 六边形是正六边形， ， 在中，， ， ． 故选：B． 7（24-25八年级上·四川德阳·期中）关于多边形有以下描述：（    ） ①六边形内角和为； ②十二边形每个外角度数均为； ③边形从一个顶点最多可引出条对角线； ④多边形内角和等于外角和，这个多边形是四边形． ⑤一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原来这个多边形的边数是． 根据描述判断，其中描述正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多边形内角和和外角和综合，多边形对角线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． ①根据多边形内角和公式，可判断①； ②根据，可判断②； ③边形从一个顶点最多可引出条对角线，可判断③； ④设多边形边数为，根据多边形内角和等于外角和即可求出边数，可判断④； ⑤设多边形边数为，由，求解可得多边形的边数为，故一个多边形切去一个角后，形成一个七边形时，原来这个多边形的边数是或或，可判断⑤． 【详解】解：①当多边形边数为六时， ∵， ∴六边形内角和为， ∴①正确； ②多边形外角和360°，但无法确定每个外角的度数 ∴②错误； ③∵边形从一个顶点最多可引出条对角线， ∴③错误； ④设多边形边数为， ∴， 解得， ∴多边形的边数为 ∴④正确； ⑤设多边形边数为， ∴， 解得， ∴多边形的边数为， ∴一个多边形切去一个角后，形成一个七边形时，原来这个多边形的边数是或或． ∴⑤错误； 综上所述，其中描述的描述正确的个数有①④． 故选：B． 8（23-24八年级上·广西河池·期中）已知一个多边形的边数为． (1)若该多边形的内角和的比外角和多，求的值； (2)若该多边形是正多边形，且其中一个内角为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质， （1）根据多边形内角和公式与外角和列式计算即可解答； （2）根据正多边形的性质及多边形内角和公式解答即可； 解题的关键是掌握：①边形的内角和为（且为正整数），外角和为；②正边形的每条边相等、每个内角相等、每个外角相等． 【详解】（1）解：依题意，得： ， 解得：， 即的值为； （2）（2）依题意，得： ， 解得：， 即的值为． 9（24-25八年级下·广西贵港·期中）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【答案】(1)①20；②小东求的是8边形内角和； (2)这个正多边形的一个内角是； (3) 【分析】本题考查了多边形的内角和定理． （1）①由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，用，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ， ∴这个“多加的锐角”是， 故答案为：20； 由题意知，， 解得，， ∴小东求的是8边形内角和； （2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是； （3）解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 【B组---提高题】 1（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，，，平分交于点，点是射线上任一点，连结、，若，，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论：①当点F在线段上时，由平行线的性质和角平分线的定义可得，则可得，进而可得，再结合即可求出的度数．②当点F在线段的延长线上时，延长线段交于G点，由平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，，再结合即可求出的度数． 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①如图，当点F在线段上时， ， ， ∵平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得； ②如图，当点F在线段的延长线上时，延长线段交于G点， ， ， 又，， ， ∵平分， ， ， ， ， 中，， 中，， 又， 解得． 故选：C． 2（24-25七年级下·四川绵阳·期中）（1）如图1，在中，已知，点E在线段的延长线上，和的角平分线交于点D，则 ； （2）如图2，，且，和的平分线交于点F，则等于多少（用α，β表示）？ （3）如图3，，且，和的平分线交于点F，则等于多少（用α，β表示）？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可得，即可求解； （2）由三角形外角的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，再由四边形内角和定理，即可求解； （3）由三角形外角的性质可得，再由对顶角相等可得，然后由角平分线的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）如图1， ∵分别平分和， ∴． ∵是的一个外角， ∴． ∵是的一个外角， ∴． ∴． 故答案为：． （2）由题意，如图2， ∵是的一个外角， ∴． 又∵分别平分和， ∴． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． （3）由题意，如图3， ∵是的一个外角， ∴． 又∵， ∴． 又∵分别平分和， ∴． ∴． 又∵， ∴ 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，多边形的内角和定理，角平分线的定义等知识的综合，掌握多边形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 与三角形有关的角、多边形内角和 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 三角形的内角和外角 【题型二】 多边形内角和与外角和 【题型三】 正多边形的角度计算 【题型四】 综合性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握三角形的内角和与外角的性质，并会处理一些与之有关角的求值问题； 2.掌握多边形的内角和与外角和，会利用其求解多边形的内角与外角. 1 三角形的内角和 三角形的内角和等于。 2 三角形的外角 三角形的一个外角等于与不相邻的两个内角的和. 3 多边形的内角和 边形的内角和等于. 4 多边形的外角和 多边形的外角和等于. 5镶嵌 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这类问题属于镶嵌问题. 【题型一】三角形的内角和外角 【典题1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，的边、上分别有点、，连接，将沿折叠，使点落在点处，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平分等于（   ）． A． B． C． D． 2（2025·四川德阳·二模）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产，体现了中国人民的智慧和创造力，它是中华传统文化的重要组成部分，承载着丰富的历史文化内涵．在市区某公园里，小明看到小女孩在抖空竹（如图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3 （24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4（2025·安徽淮南·三模）一束光照射到平面镜上的点处后反射到平面镜上的点处，已知入射光线、反射光线与的夹角相等，照射点处的法线（法线与反射面垂直，即），若，则两平面镜的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型二】多边形内角和与外角和 【典题1】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025·云南楚雄·二模）一个多边形的内角和是外角和的7倍，则这个多边形是（   ） A．十六边形 B．十五边形 C．十四边形 D．九边形 2（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知中，，将按照如图所示折叠，若，则（   ） A． B． C． D． 【题型三】正多边形的角度计算 【典题1】（2025·安徽合肥·二模）如图，过正五边形的顶点A作射线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025九年级下·四川巴中·学业考试）正多边形的一个内角的度数为，则这个正多边形的边数为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 2（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在正六边形和正方形中，连接并延长交边于，则（   ） A． B． C． D． 3（河南省洛阳市2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷　）如图，，，是正n边形的三条边，在该正n边形下方以为一边作正六边形．已知，则n的值为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 4（2025·江苏宿迁·一模）如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（ ） A． B． C． D． 【题型四】平面镶嵌问题 【典题1】（24-25七年级下·全国·单元测试）用正八边形和正方形组合能够铺满地面，每个顶点周围有x个正八边形和y个正方形（x、y为正整数），则的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 变式练习 1（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）只用下列四种正多边形中的一种，不能铺满地面的是（    ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·山东威海·期末）璐璐家准备用地砖铺地，已经购买了正八边形地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正八边形地砖在同一顶点处做平面镶嵌．则可以购买的地砖形状是（　　） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 3（24-25八年级上·重庆丰都·期末）活动探究：有些地板的拼合图案如图所示，它是用正方形的地砖铺成的．用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙不重叠，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．商店出售下列形状的瓷砖（同一形状均是全等的），若只从其中选择一种瓷砖镶嵌地面（墙边墙角需要切割的部分忽略不计），则可以选择的是（   ）       A．只能④ B．只能③或④ C．只能①或②或④ D．只能①或③或④ 【题型五】综合性问题 【典题1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，平分，，下列结论： ①；②；③； ④；⑤若，则， 其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典题2】如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数；（用含的式子表示） (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，直接写出与之间满足的数量关系______； (3)如图③，延长线段交于点，若，求的度数． 变式练习 1（20-21七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为(　　) A． B． C． D． 2（2023·河北张家口·三模）如图，甲、乙两位同学用个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正边形，关于的值，甲的结果是，乙的结果是或4，则（    ）    A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 3（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，易证明：．应用这个结论解决问题： (1)如图②，在“五角星”形中，求． 分析：在图形中，根据（1）可得，所以_______． (2)如图③，在“七角星”形中，求． (3)如图④，在“八角星”形中，可以求得_______． 4（24-25七年级下·北京·期中）已知：如图，直线，直线与分别交于E、F两点．过F作射线交于点G，且，射线上有一动点P，过P作，交直线于点Q，作的角平分线，交射线于点M． (1)如图1，求证：平分． (2)如图2，当时，求的度数． (3)当点P在运动过程中，试探究与的数量关系，请直接写出你的结论． 【A组---基础题】 1（2025·青海西宁·一模）若正多边形的一个外角是，则它的内角和是（    ） A． B． C． D． 2（2025·四川达州·一模）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（   ） A．15 B．12 C．10 D．8 4（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D．以上都不对 5（2025·山西运城·二模）如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（   ） A． B． C． D． 6（2025·山东济宁·一模）如图，正六边形中，直线，分别经过边，上一点；且．则的值是（   ） A． B． C． D． 7（24-25八年级上·四川德阳·期中）关于多边形有以下描述：（    ） ①六边形内角和为； ②十二边形每个外角度数均为； ③边形从一个顶点最多可引出条对角线； ④多边形内角和等于外角和，这个多边形是四边形． ⑤一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原来这个多边形的边数是． 根据描述判断，其中描述正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 8（23-24八年级上·广西河池·期中）已知一个多边形的边数为． (1)若该多边形的内角和的比外角和多，求的值； (2)若该多边形是正多边形，且其中一个内角为，求的值． 9（24-25八年级下·广西贵港·期中）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【B组---提高题】 1（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，，，平分交于点，点是射线上任一点，连结、，若，，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 2（24-25七年级下·四川绵阳·期中）（1）如图1，在中，已知，点E在线段的延长线上，和的角平分线交于点D，则 ； （2）如图2，，且，和的平分线交于点F，则等于多少（用α，β表示）？ （3）如图3，，且，和的平分线交于点F，则等于多少（用α，β表示）？ 10 学科网（北京）股份有限公司 $$