复习课第03讲 与三角形有关的线段 暑假讲义2025－2026学年八年级上册数学（人教版2024）

第03讲 与三角形有关的线段 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 三角形三边关系 【题型二】 与三角形的高有关的计算问题 【题型三】 根据三角形中线求长度 【题型四】 根据三角形中线求面积 【题型五】三角形的角平分线 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握三角形的三边关系； 2.掌握三角形的高、中线、角平分线的概念，会处理与之有关的几何问题. 1 三角形 (1)概念 由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形. (2)分类 ① 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； ② 按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形. 2 三角形三边的关系 三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边； 3 与三角形有关的线段 (1)高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。 (2)中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。 三角形的三条中线相交于一点，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心. (3)角平分线，三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 【题型一】 三角形三边关系 【典题1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：∵米，米， ∴， 即， ∴， ∴、间的距离可能是米， 故选：． 变式练习 1 （24-25七年级下·河北石家庄·期中）将周长为的三角形的三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形的较短两边之和大于第三边是解题的关键．由三角形的较短两边之和大于第三边可得答案． 【详解】解：A、由，此选项不符合题意； B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项不符合题意； D、由，此选项符合题意； 故选：D． 2（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知的两边长分别为2和，则能使得第三边长取到10的最小正整数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理； 根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由题意得到，即可得到答案 【详解】解：设三角形的第三边长是， 由三角形三边关系定理得： ， ， 第三边长取到10， ， ， 能使得第三边长取到10的最小正整数是． 故选：C． 3（24-25八年级上·山东济宁·期末）一个三角形的三边长分别是，，，且满足，则此三角形的边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，二元一次方程组的应用以及三角形三边关系定理，根据非负数的性质得，求解后再根据三角形三边关系定理即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得：， ∵一个三角形的三边长分别是，，， ∴，即， ∴此三角形的边的取值范围是． 故选：B． 【题型二】 与三角形的高有关的计算问题 【典题1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键． 根据是的中线得出，根据三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的高线， ∴，即， 解得， 故选：B． 变式练习 1（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，于C，于D，于E，以下线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的高的定义容易得出结论． 本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的高的定义是关键． 【详解】解：由三角形高的定义可知， 在中，于C， ∴是中边上的高． 故选：C． 2（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段的性质，三角形中的等面积法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【详解】解：作于点，如图， ，垂足为，，，， ，即， ， 是线段上的任意一点，连接， 当点与点重叠时取得最小值，最小值为12， 的长不可能是11， 故选：A． 3（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在上，，垂足为，垂足为F，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形的面积公式，连接，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 故选C． 4（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，中，为中线，于于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，根据三角形的中线平分面积，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵中，为中线， ∴， ∵于于， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【题型三】根据三角形中线求长度 【典题1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 变式练习 1（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则中边上的中线是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的定义，根据，可得中边上的中线是，即可求解． 【详解】解：∵， ∴中边上的中线是， 故选：C． 2（24-25八年级上·广东广州·期末）在中，，，是边上的中线，若的周长为41，那么的周长是（    ） A．39 B．41 C．43 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为41，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解： 的周长为41， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 的周长是． 故选：A． 3（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，分别是边的中线、高线，过点D作于点F，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的中线和高，熟记它们的定义是解题的关键． 根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，点是的重心，连接并延长交于点，，的周长比的周长大，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心和中线性质，三角形的周长，由点是的重心，可得是得中线，即得，进而由周长可得，据此即可求解，掌握三角形的重心的定义是解题的关键． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是得中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型四】 根据三角形中线求面积 【典题1】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线平分三角形的面积是正确解答此题的关键． 根据三角形中线平分三角形面积得到，进而得到，同理可得． 【详解】解：∵点是的中点， 的面积为， ∴， ∵点是的中点， ∴，同理可得， 同理可得，． 故选B． 变式练习 1（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，点D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两份成为解题的关键． 根据点E分别是的中点可得，同理可得即可解答． 【详解】解：∵点E分别是的中点， ∴， ∵点D分别是的中点， ∴． 故选C． 2（24-25七年级下·安徽·期中）如图，是的中线，是上的一点，连接，．若的面积为6，则图中阴影部分的面积为（    ） A．2 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线把三角形分成面积相同的两部分成为解题的关键． 根据是的中线得，同理可得，然后根据，据此即可解答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是上的一点， ∴， ∴． 故选C． 3（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，，是的两条中线，，交于点G．的面积是2，则阴影部分面积和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，连接，根据三角形中线平分三角形面积可得，，再根据图形面积之间的关系可得，，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，是的两条中线， ∴， ∴， ∴， ∵，是的两条中线， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型五】三角形的角平分线 【典题1】（24-25七年级下·吉林·期中）如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由，得，根据两直线平行内错角相等，即可求解； （2）由得，由，得，进而得，根据，，可得平分． 本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即平分． 变式练习 1（24-25八年级上·广东江门·期中）如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，三角形其中一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 2（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 3（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式是解题的关键． 分别根据三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式判断即可． 【详解】解：是上的高线， ， 正确，不符合题意； 是的平分线， ， 错误，符合题意； 是上的中线， ， ， 正确，不符合题意． 故选：B． 4（23-24七年级下·河南许昌·期末）如图，直线a、b被直线c所截，交点分别为B、C，且直线，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 5（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则 ，若，则 度． 【答案】 12 36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键．根据三角形中线将线段分成相等的两部分，可求出的长，根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是中线，， ∴， ∴， ∵是角平分线，， ∴， ∴， 答案：12，36． 6（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点、分别在线段、上，连接、、，过点作分别交、于点、，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）根据平行线的性质和已知条件证明，据此可证明； （2）先由平行线的性质得到，，再由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：，， ， ， 平分， ． 【A组---基础题】 1（24-25八年级上·云南临沧·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、， 长度为，，的三条线段能组成三角形，符合题意； 故选：D． 2（2025·江苏无锡·二模）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C． 3（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，，，，点是线段上一点，则线段的长度不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂线的性质，三角形面积，熟练掌握垂线段最短是解题的关键； 利用三角形面积关系求出的长度，利用垂线段最短即可求解； 【详解】解：如图，过C作交于点， ， ， ， ， 根据垂线段最短，可得， 线段的长度不可能是； 故选：A． 4（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，过点作于点，过点作于点，若，则的高与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查与高有关的计算，根据等积关系求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 5（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线分别交于点B，D，连接，若平分，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握对顶角相等，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，由，可证，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形边中点，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握三角形中线的定义，等高（或底）的两个三角形面积之比等于底边（高）之比．因为点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高，可得的面积等于的面积的一半；同理，、、分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：，，分别为边，，的中点， 的底是，的底是，即 ，而高相等， ， 是的中点， ， ， ， ， ，即阴影部分的面积为． 故选：C． 7（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若 ，则 ． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为 ，则 ． 【答案】 /80度 3 【分析】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可； （2）由是边上的中线，可得，由题意知，的周长为，的周长为，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是边上的中线， ， ∴， 故答案为：，3； （2）解：∵是边上的中线， ∴， 由题意知，的周长为，的周长为， ∴，， 故答案为： ． 8（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)中线 (4)30 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）根据点到直线的距离的定义求解即可； （3）由题意可得，则线段是的中线； （4）由题意可得，则进而可得， ， 则 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （3）解：如图， ∴线段是的中线， 故答案为：中线； （4）解： ， ， 故答案为：． 9（24-25八年级上·山西朔州·期中）阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查三角形中线性质、三角形的面积，熟知等高三角形的面积关系是解答的关键． （1）根据题干证明过程，结合三角形的面积公式求解即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）由（2）可得，，再结合已知求解即可． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ． ，， ． 故答案为：，； （2）证明：如图3，过点作于点． ，， ∴； （3）解：同理（2）得，， ∵的面积为，是边上靠近点的三等分点， ∴， ∴， ∵是边上靠近点的四等分点， ∴， ∴， 故答案为：12． 【B组---提高题】 1（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【分析】本题考查三角形的面积及三角形的中线和高，掌握三角形面积计算公式、“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．连接，利用三角形面积公式求出的面积，再根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”求出的面积即可． 【详解】解：如图，连接． ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴． 故选：C． 2（2025·江西吉安·一模）如图梯形中，，对角线与交于点，点为的中点．已知、的面积分别为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据题意得出的面积为，进而得出则，根据平行线之间的距离相等得出的面积为，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵点为的中点． 、的面积分别为， ∴的面积为 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴的面积 的面积 ∴ ∴ ∴的面积为 故答案为：． 3（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 与三角形有关的线段 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 三角形三边关系 【题型二】 与三角形的高有关的计算问题 【题型三】 根据三角形中线求长度 【题型四】 根据三角形中线求面积 【题型五】三角形的角平分线 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握三角形的三边关系； 2.掌握三角形的高、中线、角平分线的概念，会处理与之有关的几何问题. 1 三角形 (1)概念 由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形. (2)分类 ① 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； ② 按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形. 2 三角形三边的关系 三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边； 3 与三角形有关的线段 (1)高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。 (2)中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。 三角形的三条中线相交于一点，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心. (3)角平分线，三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 【题型一】 三角形三边关系 【典题1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式练习 1 （24-25七年级下·河北石家庄·期中）将周长为的三角形的三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知的两边长分别为2和，则能使得第三边长取到10的最小正整数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3（24-25八年级上·山东济宁·期末）一个三角形的三边长分别是，，，且满足，则此三角形的边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型二】 与三角形的高有关的计算问题 【典题1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 变式练习 1（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，于C，于D，于E，以下线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 3（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在上，，垂足为，垂足为F，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，中，为中线，于于，则 ． 【题型三】根据三角形中线求长度 【典题1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则中边上的中线是（   ） A． B． C． D．无法确定 2（24-25八年级上·广东广州·期末）在中，，，是边上的中线，若的周长为41，那么的周长是（    ） A．39 B．41 C．43 D．无法确定 3（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，分别是边的中线、高线，过点D作于点F，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 4（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，点是的重心，连接并延长交于点，，的周长比的周长大，则 ． 【题型四】 根据三角形中线求面积 【典题1】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，点D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 2（24-25七年级下·安徽·期中）如图，是的中线，是上的一点，连接，．若的面积为6，则图中阴影部分的面积为（    ） A．2 B．4 C．3 D． 3（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，，是的两条中线，，交于点G．的面积是2，则阴影部分面积和是 ． 【题型五】三角形的角平分线 【典题1】（24-25七年级下·吉林·期中）如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 变式练习 1（24-25八年级上·广东江门·期中）如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 4（23-24七年级下·河南许昌·期末）如图，直线a、b被直线c所截，交点分别为B、C，且直线，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则 ，若，则 度． 6（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点、分别在线段、上，连接、、，过点作分别交、于点、，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【A组---基础题】 1（24-25八年级上·云南临沧·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2（2025·江苏无锡·二模）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 3（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，，，，点是线段上一点，则线段的长度不可能是（　　） A． B． C． D． 4（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，过点作于点，过点作于点，若，则的高与的比是（   ） A． B． C． D． 5（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线分别交于点B，D，连接，若平分，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若 ，则 ． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为 ，则 ． 8（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 9（24-25八年级上·山西朔州·期中）阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 【B组---提高题】 1（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 2（2025·江西吉安·一模）如图梯形中，，对角线与交于点，点为的中点．已知、的面积分别为，则的面积为 ． 3（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 10 学科网（北京）股份有限公司 $$