几何变换与图形探究-折叠·动点·中点2024-2025学年人教版数学八年级下册

几何变换与图形探究—折叠·动点·中点 专项练习（一） ——折叠专题 填空 0. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则，CD=____________. 如图，△ABC是一张纸片，∠C=90°，AC=6，BC=8，现将其折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为____________. 如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长是_________． 如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E事BC上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B’处，当△CEB’为直角三角形时，BE的长为____________. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将∠A与∠B向内折起，点A，B恰好落在CD变得点F处，若AD=3，BC=5,则EF的值为__________. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在直线折叠∠B，使点B的对应点B’始终落在边AC上.若△MB’C为直角三角形，则BM的长为________________. 如图，AD使△ABC的中线，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，若∠ADC=45°，BC=4，则BC’的长为__________________. 已如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为________________. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5，折叠纸片，使点A落在BC边的点A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上移动的最大距离为_______________. 解答 0. 如图，长方形ABCD中，将△DBC沿BD对折至△DBC’的位置，BC’与AD交于点E. 试说明：BE=DE; 如果AB=6，BC=8，求△EBD的面积. 如图，把长方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD=6，求AF长度. 如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系.点D的坐标. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC上的一点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，AN的延长线交DC于点M，当AB=2CF时，求MN的长. 如图，一张矩形纸片，其中AD=8，AB=6，先沿对角线BD折叠，点落在C’的位置，BC’交AD于点G． 求证：BG=DG； 求C’G的长； 如图2，再折叠一次，使点D与A重合，折痕EN交AD于M，求EM的长． 专项训练（二） ——中点四边形的探究及应用 观察探究，完成证明和填空． 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G， H得到的四边形EFGH叫做中点四边形． 求证：四边形EFGH是平行四边形． 请你探究并填空： 当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是________； 当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是________； 当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是________． 根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么决定的． 如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是(　　) A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是　 　． 已知：如图，分别以BM，CM为边，向△BMC外作等边三角形ABM和CDM，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点． 猜测四边形EFGH的形状； 证明你的猜想； △BMC形状的改变是否对上述结论有影响？ 如图，点O是△ABC内一点，连结OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连结，得到四边形DEFG． 求证：四边形DEFG是平行四边形； 若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度． 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点． 求证：MN与PQ互相垂直平分； 连接MP，MQ，NP，NQ，若PQ＝6，MN＝8，求四边形MPNQ的面积和AB的长． 专项练习（三） ——动点问题 0. 如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤ 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动（　　）秒时，以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形． A．2 B．3 C．3或5 D．4或5 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到点D处即停止运动. 点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到点B处即停止运动，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）. 使四边形CDPQ为平行四边形的t值是（ ） A．3s B．3.5s C．4s D．5s 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E为CD中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当四边形APQE周长最小时，BP的长为 ．    如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为　 　． 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点(点F不与点A，D重合)．将△AEF沿EF所在直线翻折，点A的对应点为A’，连接A’D，A’C．当△A’DC是等腰三角形时，AF的长为 ． 在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度1cm/s向C，A运动． 四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由． 若BD=12cm，AC=16cm，当运动时间t为何值时，四边形DEBF是矩形? .如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x． 当x的值为____________时，以点P，A，D，E为顶点的四边形为平行四边形； 点P在BC边上运动的过程中，以点P，A，D，E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由． 如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点M，N分别是边BC，CD上的两个动点，∠MAN=60°，连接MN． △AMN是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． 在M，N运动的过程中，△CMN的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存在，请说明理由． 如图①，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3分别与x轴和y轴交于点A，点B，四边形OACB为矩形． 如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C’重合． 求点F的坐标； 求直线FC’的解析式. 答案 专项练习（一） 1. （1）证明：连接AC, ∵ E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点， ∴ EF=HG=AC,EF∥HG∥AC． ∴ EF平行且等于HG． ∴ 四边形EFGH是平行四边形． （2） 矩形；菱形；正方形． （3） 由原四边形对角线的数量关系和位置关系决定的． 2. D. 3. 11. 4. （1）四边形EFGH是菱形； （2） 证明：连接AC,BD, ∵ △ABM和△CDM是等边三角形， ∴ MA=MB，MC=MD，∠AMB=∠CMD=60°． ∴ ∠AMB+∠BMC=∠CMD+∠BMC，即∠AMC=∠BMD． ∴ △AMC≌△BMD（SAS）． ∴ AC=BD． ∵ E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点， ∴ EF=HG=AC,EF∥HG∥AC，EH=BD． ∴ EF平行且等于HG，EH=HG． ∴ 四边形EFGH是菱形． （3） 没影响． 0. （1）证明∵ E,F,G,D分别是边OB,OC,CA,CB的中点， ∴ EF=DG=BC,EF∥DG∥BC． ∴ EF平行且等于DG． ∴ 四边形EFGD是平行四边形． 3. ∵∠OBC和∠OCB互余， ∴∠COB=90°. ∵M是EF中点， ∴EF=2OM=6. ∵四边形EFGD是平行四边形， ∴DG=EF=6. （1）证明：连接MQ，QN，NP，PM. ∵M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点， ∴MQ=PN=CD，QN=PM=AB，MQ∥PN∥CD. ∴四边形MPNQ是平行四边形. ∵AB=CD， ∴MQ=NQ. ∴MPNQ是菱形. ∴MN与PQ互相垂直且平分. 3. 设MN，PQ交于点O. ∵菱形MPNQ， ∴菱形MPNQ=MN·PQ=24，MN⊥PQ，OQ=PQ，ON=MN. ∴NQ==5. ∴AB=2NQ=10. 专项练习（二） 1. 填空 2.3.75 3. 4.3或1,5 5. 6.或1 7. 8.6 9.2 10.（1）证明：由折叠可知：∠EBD=∠DBC ∵ABCD是长方形 ∴AD∥BC ∴∠EDB=∠DBC ∴∠EBD=∠EDB ∴BE=DE. （2）解：设DE=BE=x，则AE=8-x 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE2=AB2+AE2 即x2=62+(8-x)2 解得x=. ∴△EBD的面积为×DE×AB=. 11.解：由折叠可知：∠BAF=∠FAE，AB=AE ∵E是CD中点 ∴AE=CD=2DE ∴∠DAE=30° ∴∠BAF=∠FAE=30° 设BF=x，则AF=2x 在Rt△ABF中，由勾股定理得AF2=AB2+BF2 即(2x)2=62+x2 解得x= ∴AF=2x=. 12.解：由折叠可知：BD=DE，BC=CE=5 ∵OC=AB=4 ∴在Rt△OCE中，由勾股定理得：OE==3 ∴AE=OA-OE=2 设AD=x，则BD=DE=4-x 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2 即x2+22=(4-x)2 解得x= ∵D点在第三象限，所以D（，） 13.解：由折叠可知：∠MAF=∠BAF ∵ABCD为正方形 ∴AB∥DF ∴∠BAF=∠F ∴∠MAF=∠F ∴AM=MF ∵AB=2CF=6 ∴CF=3，DF=9 在Rt△ADM中，设DM=x，则AM=9-x 由勾股定理得：AD2+DM2=AM2 即62+x2=（9-x）2 解得x=2.5,AM=6.5 MN=AM-AN=0.5 14. (1)证明见解析 (2) （3） 详细证明： （1）证明：∵折叠 ∴∠A=∠C’=90°，AB=C’D 在△GAB和△GC’D中， ∴△GAB≌△GC’D ∴BG=DG. （2）解：∵ △GAB≌△GC’D，AD=8，AB=6 ∴AG=C’G 设C’G=AG=x，则GD=GB=8-x 在Rt△ABG中，AG2+AB2=BG2 即x2+62=（8-x）2 解得：x= 即C’G= （3）解：∵再折叠 ∴DM=AD=4，即点M是AD的中点， 在Rt△ABD中， ∵EN⊥AD，AB⊥AD ∴EN∥AB ∴点N是BD的中点， ∴MN是△ABD的中位线， ∴DN=BD=5，MN=AB=3 由折叠的性质可知∠NDE=∠NDC 在矩形ABCD中，AB∥CD， ∴EN∥CD ∴∠END=∠NDC， ∴∠END=∠NDE， ∴EN=ED 设EM=y，则ED=EN=y+3， 在Rt△EMD中，ED2=EM2+MD2， 即（y+3）2=y2+42 解得：x= 即EM= 专项练习（三） 1. B. 2.C. 3C. 4.4. 5. 1. 或或1. 分析：首先根据翻折，可知△AFE≌△A’FE，则A’E=AE，所以A’的运动轨迹位于以E为圆心，AE为半径的圆上的部分。其次本题需要根据△A’DC是等腰三角形进行分类讨论，当A’D=A’C时，可知A’在线段CD中垂线上，再结合翻折，以及∠A为直角，即可得知此时A’F⊥AF，且AFA’E为正方形，所以AF=1；当A’D=CD时，A’在以D为圆心，CD为半径的圆上，两圆交点即为A’，因为AD=2，AE=1，连接ED，可得ED=3，AD=EA’+DA’，所以，A’在线段ED上，FA’垂直ED，再利用△FA’D列式，即可求出AF=;当A’C=CD时同理. （1）是，理由如下： ∵在平行四边形ABCD中 ∴AO=CO，DO=BO 又∵E，F以相同速度运动 ∴AE=CF ∴AO-AE=CO-CF 即EO=FO ∴四边形DEBF是平行四边形 （2）2或14. 若DEBF为矩形，则EF=BD=12,又因为E，F以相同的速度1cm/s向C，A运动，所以AE=CF=2或者AE=AF=14,所以t的值为2或14 （1）1或11； 分析：若以点P，A，D，E为顶点的四边形为平行四边形，则AD平行且等于PE，因为AD//BC，所以AD∥PE，因为AD=5，所以PE=5,当P在E点左侧时，则x=1，当P在E右侧时，x=11. （2）可以，当x=11时，四边形为菱形. 当x=11时，过点D作DH⊥BC于H，连接DP 可得，PC=1. ∵∠C=45°，CD= ∴HC=DH=4 ∵PC=1 ∴PH=CH-CP=3 ∵∠DHP=90° ∴DP==5 ∴DP=AD ∴平行四边形ADPE为菱形. （1）是。分析：可以连接AC，证明△AMC≌△AND（ASA），进而说明AM=AN，再通过等边三角形的判定定理即可证明. （2）存在，最大值为。分析：可以旋转△AND至△ABE，使AD与AB重合，在连接EM，证明△AEM≌ANM（SAS），进而退出△EBM≌△MCN（SSS），则有S△MCN=SABCD-S△AMN，即当△AMN面积最小时，△MCN面积最大，即AM垂直BC时，即可求出最大值. （1）F；（2）; 学科网（北京）股份有限公司 $$