精品解析：湖南省邵阳市邵东市2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题

2025年上学期高一年级期末考试（数学）试题卷 班级：___________姓名：___________考号：___________ 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 为了了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大．则下列抽样方法最合理的是（ ） A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 按性别或学段分层抽样都行 【答案】C 【解析】 【详解】因为已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，所以为了了解该地区中小学生的视力情况，应按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理． 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的乘法化简，再利用复数的相关概念求解. 【详解】解：， 复数的虚部为． 故选：． 3. 设是一个平面，、是两条直线，则正确的命题为（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：如果，，那么与平行、相交或异面，故A错误； 对于B：如果，，那么或，故B错误； 对于C：如果，，那么或或与相交，相交也不一定垂直，故C错误； 对于D：如果，，根据线面垂直的性质可得，故D正确． 故选：D． 4. 已知在中，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合三角形的性质和余弦定理，求得和，即可得到答案. 【详解】因为，且，可得, 由余弦定理，可得， 所以，即，解得， 所以为等边三角形. 故选：B. 5. 已知平面向量，若与垂直，则（ ） A. B. C. D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积的坐标运算求得，进而利用向量的模的坐标运算求得. 【详解】因为与垂直，所以，又，所以， 解得，所以，所以. 故选：B. 6. 小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用事件相互独立性，互斥，根据恰好射中两个靶子的概率是建立等式，求出x，再利用事件相互独立性乘法公式进行求解． 【详解】记小明射中三个靶子分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且，， 恰好能射中两个靶子为事件，且两两互斥， 所以 ， 整理得，三个靶子都没射中为事件， 故， 故选：C． 7. 在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D 8. 在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三棱锥中的对棱相等模型将三棱锥补成长方体，求出半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球等价于长方体的外接球， 设长方体的长宽高分别为， 则，可得， 所以长方体的外接球半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：. 二､选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分. 9. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法错误的是（ ） A. 与C是互斥事件，也是对立事件 B. 与D是互斥事件，也是对立事件 C. 与是互斥事件，但不是对立事件 D. A与是互斥事件，也是对立事件 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用互斥事件与对立事件的定义逐项判断即可. 【详解】因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与C也互斥， 但是，又， 所以与C不是对立事件，故A错误； 因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与D也互斥， 但是，， 所以与D不是对立事件，故B错误； 因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与也互斥， 又因为，， 又因为，所以与是对立事件，故C错误； 因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A与也互斥， 又因为， 所以，所以A与也是对立事件，故D正确． 故选：ABC. 10. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角三角形 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，，，则满足这组条件的三角形有两个 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理化角为边可得，结合余弦定理可得为钝角，由此可判断 A，根据条件可得，，，结合正弦函数性质及诱导公式判断B，根据正弦定理解三角形求，根据结果判断C，由条件结合余弦定理可得，根据正弦定理化边为角，化简可得，判断D. 【详解】设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，，， 对于A，因为，所以， 由余弦定理可得，又， 所以为钝角，为钝角三角形，A正确， 对于B，因为是锐角三角形， 所以，，， 所以，，， 因为函数在上单调递增， 所以，B正确； 对于C， 由正弦定理可得， 又，，， 所以，化简可得， 所以满足条件的角不存在， 所以满足这组条件的三角形不存在，C错误， 对于D，由余弦定理可得，又， 所以，故， 所以，又， 所以， 所以， 所以，故， 所以或，， 即或，， 又，，故， 所以，所以，D正确； 故选：ABD. 11. 正方体的棱长为，是侧面上的一个动点含边界；点在棱上，；则下列结论正确的有（ ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为 B. 三棱锥的外接球表面积为 C. 若，则点的运动轨迹长度为 D. 平面被正方体截得截面面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，将两平面展开到同一平面，得到最短距离；B选项，求出外接圆半径，进而求出外接球半径，得到B正确；C选项，作出辅助线，证明线面垂直，得到线线垂直，点的轨迹为线段，求出轨迹长度；D选项，作出辅助线，平面即为平面被正方体截得截面，求出截面面积. 【详解】对于A，将正方体的面和面展开可得如下图形，连接，  则从点到点的最短距离，故A错误； 对于B，因为， 所以中，， 取的中点，连接，则⊥，且， 则， 设外接圆半径为， 则由正弦定理知：，则， 又平面， 设三棱锥的外接球半径为， 则， 所以三棱锥的外接球表面积，故B正确； 对于C，如图所示： ，，，，分别为对应边的中点， 可得，，，，，， 即，，，，，六点共面， 六边形为边长为的正六边形，且平面平面， 因为，平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可得， ，平面，且， 所以平面， 又平面平面， 所以平面， 又因为，是侧面上的一个动点含边界， 所以的轨迹为平面与平面上的交线， 所以点的轨迹为线段， 所以点的运动轨迹长度为，故C正确； 对于D，取中点，连接，，，， 因为，， 所以， 所以平面即为平面被正方体截得截面， 易知，，， 所以截面为等腰梯形， 所以此等腰梯形的高， 所以截面面积，故D正确． 故选：BCD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为：109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为__________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据四分位数的定义分别求出上四分位数与下四分位数，再计算它们的差值． 【详解】计算下四分位数，已知数据个数，下四分位数即第分位数，此时，则． 由于1.75不是整数，将1.75向上取整得到，所以下四分位数是排序后第个数据，即． 计算上四分位数，上四分位数即第分位数，此时，则． 由于5.25不是整数，将5.25向上取整得到，所以上四分位数是排序后第个数据，即． 上四分位数与下四分位数的差为． 故答案为：18． 13. 已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点在内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可. 【详解】 如图所示，取的中点，以为坐标原点，所在的直线 分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，的边长为2， 则，， 设，则，， 因为，且， 所以，且， 即，可得. 因为，点在内部，所以， 可得，所以. 所以， 所以， 所以当时， 取最小值. 故答案为： 14. 在三棱锥中，，点P在平面ABC上的投影O是的垂心，平面PBC，若，则三棱锥的体积的最大值为 __________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】设BC的中点为D，先证，可得，由线面垂直得到线线垂直，再由射影定理得，从而知，然后结合等体积法与基本不等式，求解即可． 【详解】设BC的中点为D， 因为，所以， 因为O是的垂心， 所以，， 所以， 所以， 所以，即， 所以， 因为平面PBC，平面PBC，所以， 由题意知，平面ABC， 因为平面ABC， 所以， 在Rt中，由射影定理得，， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以三棱锥体积的最大值为． 故答案为：． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，三棱锥的各顶点都在球的表面上，底面中，，，侧棱底面ABC. （1）求三棱锥的表面积； （2）求球的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据余弦定理求出，然后求出底面三角形的面积，然后根据垂直关系求出其它三角形的面积，进而得到三棱锥的表面积. （2）首先求出球的半径，然后根据球的体积公式进而可求出球的体积. 【小问1详解】 在底面中，由，可得， 又，由余弦定理可得，， 所以，即， 故. 又，侧棱底面， 所以， . 又，且， 则为等腰三角形，设边上的高为， 则， 所以三棱锥的表面积为. 【小问2详解】 设球的半径为.因为，，， 所以三棱锥外接球与以为棱的长方体的外接球是同一个球， 即球O的直径恰好是以为棱的长方体的体对角线， 故，故球的半径， 所以球的体积为. 16. 如图，在中，，，与交于O，若， （1）求的值； （2）设的面积为S，的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三点共线，结合已知条件可得，同理由三点共线，可得，从而可得，解方程组可求出的值，进而可求得答案； （2）延长与交于点，由三点共线，可得，由，得，结合（1）可得，所以，求出的值，从而可求出的值. 【小问1详解】 ，， 因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 同理，因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 根据平面向量基本定理，可得，解得， 所以. 【小问2详解】 延长与交于点，因为三点共线， 所以， 又因为，且，所以， 即， 所以，解得，所以，则. 所以. 17. 学校组织全校学生进行了一次“交通安全知识知多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的众数和平均分；（同一组中的数据取该组区间的中点值） （2）我校2025年全力推进校园信息化建设.为了更好的帮助同学们了解学校的信息化建设情况，学校政教处利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成“信息化建设”宣讲团. ①求应从和学生中分别抽取的学生人数； ②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件的概率. 【答案】（1）；众数约为75；平均数为74.5 （2）①5人，2人；② 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1，即可求得的值，由频率分布直方图直接得出众数，根据平均数的计算方法即可求得答案； （2）①根据两组的频率之比，即可求得每组抽取人数；②依题意即可写出样本空间；根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得； 由频率分布图可知众数约为75； 估算这40名学生测试成绩的平均数为； 【小问2详解】 ①由图可得和这两组的频率之比为， 故应从学生中抽取的学生人数为（人）， 应从学生中抽取的学生人数为（人）； ②设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2， 则这个试验的样本空间为， 共有21个基本事件； 事件“至少有1人测试成绩位于区间”，事件的个数有11个，即， 故. 18. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的值； （2）若． ①求a的值； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，利用正弦定理以及两角和的正弦公式即可求解； （2）①根据已知条件以及(1)中结论，利用正弦定理和余弦定理求出，②结合均值不等式即可求解面积的最大值. 【小问1详解】 ， ， 化简可得： ， , ， 【小问2详解】 ①， ， ． ②由①得， ，当且仅当时等号成立， 面积的最大值为． 19. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，E为AC的中点，，且. （1）证明：平面ABC； （2）求二面角的余弦值； （3）若F为线段DB上的动点，当的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由是等边三角形得出，再由线面垂直的判定定理可得平面，从而得到，再由勾股定理逆定理可得，最后由线面垂直的判定定理即可证明 （2）过点作,垂足为,连接,利用垂直关系构造二面角的平面角，即可求解； （3）首先根据几何关系，确定平面⊥平面，并说明（或其补角）是是 与平面所成的角，根据余弦定理求角 【小问1详解】 因为为中点，是等边三角形，所以, 又,,平面, 所以平面,则，已知,则 又,,在等边中，，所以， 由勾股定理逆定理，所以，因为,平面, 所以平面 【小问2详解】 过点作,垂足为,连接, 由(1)知平面,平面，所以, 因为, , 平面,所以平面, 平面,所以, 所以为二面角的平面角. 因为, ,所以, , 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 连接，由（1）知平面,平面，所以， 所以，所以当的面积最小时，最小， 在 中，若最小，则， 此时， ， 因为，，，所以 平面， 又平面，所以平面平面， 过点作，垂足为， 因为平面平面，所以平面， 所以（或其补角）是与平面所成的角。 在中，由余弦定理可得 ， 所以，即与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期高一年级期末考试（数学）试题卷 班级：___________姓名：___________考号：___________ 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 为了了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大．则下列抽样方法最合理的是（ ） A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 按性别或学段分层抽样都行 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 设是一个平面，、是两条直线，则正确的命题为（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 4. 已知在中，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 5. 已知平面向量，若与垂直，则（ ） A. B. C. D. 14 6. 小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9 8. 在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分. 9. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法错误的是（ ） A. 与C是互斥事件，也是对立事件 B. 与D是互斥事件，也是对立事件 C. 与是互斥事件，但不是对立事件 D. A与是互斥事件，也是对立事件 10. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角三角形 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，，，则满足这组条件的三角形有两个 D. 若，则 11. 正方体的棱长为，是侧面上的一个动点含边界；点在棱上，；则下列结论正确的有（ ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为 B. 三棱锥的外接球表面积为 C. 若，则点的运动轨迹长度为 D. 平面被正方体截得截面面积为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为：109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为__________． 13. 已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________. 14. 在三棱锥中，，点P在平面ABC上的投影O是的垂心，平面PBC，若，则三棱锥的体积的最大值为 __________________ ． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，三棱锥的各顶点都在球的表面上，底面中，，，侧棱底面ABC. （1）求三棱锥的表面积； （2）求球的体积. 16. 如图，在中，，，与交于O，若， （1）求的值； （2）设的面积为S，的面积为，求的值． 17. 学校组织全校学生进行了一次“交通安全知识知多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的众数和平均分；（同一组中的数据取该组区间的中点值） （2）我校2025年全力推进校园信息化建设.为了更好的帮助同学们了解学校的信息化建设情况，学校政教处利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成“信息化建设”宣讲团. ①求应从和学生中分别抽取的学生人数； ②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件的概率. 18. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的值； （2）若． ①求a的值； ②求面积的最大值． 19. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，E为AC的中点，，且. （1）证明：平面ABC； （2）求二面角的余弦值； （3）若F为线段DB上的动点，当的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $