28.4 《垂径定理》（教学课件）2025—2026学年冀教版数学九年级上册

28.4 垂径定理 2. 同圆或等圆中圆心角、弧、弦的关系 1.圆对称性 轴对称图形 中心对称图形 复习引入 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 对称轴是任意一条过圆心的直线. 对称中心为圆心. 圆心角相等 弧 相等 弦 相等 知识回顾 1.什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形. 2.圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？ 情境引入 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 任意一条直径都是圆的对称轴的一部分 新课导入  赵州桥是世界上现存最古老，跨度最大的石拱桥。建于隋朝，是由我国著名的匠师李春主持建造。 赵州桥隐藏的秘密？ 　用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 探究新知1 将圆形纸片记为⊙O，在纸片上作图 （2）画直径CD，使CD⊥AB，垂足为E (1)画⊙O的一条弦AB O A C D B E 折一折：你能发现图中有哪些相等的线段和弧？ 探究新知2 ⌒ ⌒ AD =BD. AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, O A C D B E 已知：⊙O的直径CD， CD⊥AB，垂足为E AB是⊙O的一条弦， 求证：AE=BE 解题思路：连接AO,BO 得到AE=BE 等腰△AOB三线合一的性质 点A和点B关于CD对称 验证猜想 垂径定理 · O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是直径， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 几何语言： 归纳定理 CD⊥AB 证明线段相等，弧相等的 重要依据 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳总结 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索 D O A B E C 举例证明其中一种组合方法 已知: 求证： ① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E ③ AE=BE ④ AC=BC ⑤ AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明猜想 AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） · O A B C D E ⌒ ⌒ （2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （1）连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. 证明举例 ⌒ ⌒ 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 随堂演练 1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条 B.垂直于弦的直径必平分弦 C.平分弦的直径必垂直于弦 D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴 B 随堂演练 2.下列说法中正确的是( ) A.过弦中点的直线平分弦所对的弧 B.过弦中点的直线必过圆心 C.弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦,且过圆心 D.弦的垂线平分弦所对的弧 C 3.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( ) A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BC 随堂演练 C 例1.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C,D. (1)求证：AC=BD. (2)若大圆半径R=10，小圆的半径r=8， 且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长。 o A C D B E 例题讲解 1.如图,在⊙O中， 直径CD⊥AB于E, 弦AB＝6, OE＝4, 则圆的半径长为 AB＝10, 则圆的半径长为 CE=1, A C B E O 解题思路： 垂径定理 构造直角三角形 勾股定理计算（方程思想） 变式训练 圆的半径长为5， 则AB＝ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（结果保留小数点后一位） 学以致用 A B C D O 小结 解：由题意，得AB＝37m，CD=7.23m 课堂小结 返回引例 回忆本节课，你学习了圆的哪些数学知识？ $$