指数函数与对数函数的应用- 河南省2026年对口招生一轮复习《数学考点双析卷》第35卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。 本卷是河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第35卷，主要考查指数函数与对数函数章节中指数函数与对数函数的应用的掌握情况。 河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第35卷 指数函数与对数函数的应用 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。) 1．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数定义得到，排除的情况得到答案. 【详解】由指数函数的概念得，解得或． 当时，底数是1，不符合题意，舍去；当时，符合题意. 故选：C． 2．已知函数是奇函数，当时，，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用奇函数的定义将转化为，结合的解析式求解即可. 【详解】当时，，则； 因为函数是奇函数，则. 故选：. 3．下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A选项，函数不满足单调性；B选项，定义域不关于原点对称，B错误；C选项，满足函数为偶函数且在上单调递增；D选项，函数不满足为偶函数. 【详解】A选项，在上单调递减，A错误； B选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数，B错误； C选项，的定义域为R，又，故为偶函数， 且时，在上单调递增，满足要求，C正确； D选项，的定义域为R，且，故， 不是偶函数，D错误. 故选：C 4．已知函数，则函数的图象和的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】在的图象上任取一点，可得点在的图象上，从而得解. 【详解】在的图象上任取一点，则， 因为， 所以点在的图象上， 则函数的图象和的图象关于轴对称． 故选：B． 5．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中间量，可判断最小，将换底后，根据对数函数的单调性可比较，从而求解. 【详解】， 且， 故选：D 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数式的真数大于0,分式的分母不为0联立不等式组求解即可. 【详解】解：根据题意得解得即且, 所以函数的定义域为. 故选：A 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根号里具有非负性，分母不能等于零，对数函数真数大于零，列出不等式组求出定义域. 【详解】函数的定义域满足， 解得，所以函数定义域为. 故选：D 8．某地区的森林面积原来为，由于保护措施得当，每年以的增长率增加，则年后该地区森林面积与的函数关系为（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出函数关系即可得解. 【详解】森林面积增长率，所以年后森林面积， 故选：. 9．某品牌汽车购买时的价格为万元，每年的折旧率为，则年后该汽车的价值（万元）与的函数关系为（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的应用模型，建立函数关系即可. 【详解】汽车购买时的价格为万元，每年折旧率， 则年后价值. 故选：B. 10．某理财产品的本金为万元，年利率为，按照复利计算，年后的本息和（单位：万元）与的函数关系为.若年利率，则年后的本息和约为（    ）（参考数据：） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】C 【分析】将代入函数的关系式求解即可. 【详解】把，代入，得万元. 故选：C. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。） 11．某地区的人口数量 y（万人）与年份 x 满足指数函数（2020 年为初始年份）.2020 年该地区人口为 100 万人，2022 年人口为 121 万人，则 2024 年该地区人口 y = 万人. 【答案】146.41 【分析】将2020年和2022年的数据代入，从而求出参数A、B，最后将2024代入函数解析式，从而计算2024年的人口数量. 【详解】将和代入， 可得，解得，， 所以函数为， 当时，万人. 故答案为：. 12．某公司的利润（单位：万元）与广告投入（单位：万元）符合指数函数.当广告投入为万元时，利润为万元；当广告投入为万元时，利润为万元.则当广告投入为万元时，利润 万元. 【答案】 【分析】根据题意求出函数的解析式，令求值即可. 【详解】由题意，公司的利润（单位：万元）与广告投入（单位：万元）符合指数函数. 把和代入，有. 由第一个方程得，代入第二个方程：， 即，，.则，函数为. 当时，万元. 故答案为：12. 13．某理财产品的年利率为 3%，按复利计算，初始投资 1000 元，x 年后资金总额 y（元）与 x 的函数关系是 . 【答案】 【分析】根据题意结合复利的计算方式是每一期的利息都计入下一期即可得解. 【详解】年利率为 3%，初始投资 1000 元，经过 x 年，资金总额. 故答案为：. 14．某种植物的高度（单位：厘米）与生长时间（单位：月）满足，当生长个月时，植物高度 厘米. 【答案】 【分析】根据题意将代入中即可得解. 【详解】因为植物的高度与生长时间满足， 将代入， 得， 故答案为：. 15．一种产品的年产量原来是500件，在今后的几年内，计划使年产量比上一年增加，则三年后该产品的年产量为 （列出式子即可）. 【答案】 【分析】根据题意，结合指数函数的应用，即可求解. 【详解】由题意，一年后的年产量为，两年后的年产量为， 三年后的产量为. 故答案为：. 三、解答题（第16、17题各8分，要求写出必要的解题过程） 16．某企业的投资回报率与投资项目的运营时长（年）满足. (1)当投资项目运营时长为年时，求投资回报率. (2)若要使投资回报率达到，求投资项目运营时长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合对数的运算性质，即可求解. （2）根据题意建立对数方程，即可求解. 【详解】（1）因为投资回报率与投资项目的运营时长满足， 当时，， 因为，所以. （2）由题意知，投资回报率达到时，， 即， 化简得， 即，解得. 17．某家庭每月的天然气使用量（立方米）与气温（）的关系近似为. (1)当气温为 时，求天然气使用量（保留两位小数）；（参考数据：） (2)若天然气使用量为立方米，求此时的气温.(参考数据：) 【答案】(1)（立方米） (2) 【分析】（1）根据题意，代入气温计算天然气使用量； （2）根据天然气使用量列方程，通过对数运算求解气温. 【详解】（1）由题意，每月的天然气使用量（立方米）与气温（）的关系近似为， 当时，（立方米）. （2）已知，即， 即，， 两边取对数， 解得， 故此时的气温. 四、证明题（本题9分，要求写出必要的证明过程） 18．已知，判断函数的单调性并证明. 【答案】为上的增函数，证明见解析. 【分析】利用证明函数单调性的定义法，直接证明即可. 【详解】， 函数为上的严格增函数，证明如下： 任取、，且， ， ，，，即， 因此，函数为上的增函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。 本卷是河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第35卷，主要考查指数函数与对数函数章节中指数函数与对数函数的应用的掌握情况。 河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第35卷 指数函数与对数函数的应用 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。) 1．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 2．已知函数是奇函数，当时，，则（    ） A．1 B． C． D．3 3．下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则函数的图象和的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 5．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．某地区的森林面积原来为，由于保护措施得当，每年以的增长率增加，则年后该地区森林面积与的函数关系为（     ）. A． B． C． D． 9．某品牌汽车购买时的价格为万元，每年的折旧率为，则年后该汽车的价值（万元）与的函数关系为（     ）. A． B． C． D． 10．某理财产品的本金为万元，年利率为，按照复利计算，年后的本息和（单位：万元）与的函数关系为.若年利率，则年后的本息和约为（    ）（参考数据：） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。） 11．某地区的人口数量 y（万人）与年份 x 满足指数函数（2020 年为初始年份）.2020 年该地区人口为 100 万人，2022 年人口为 121 万人，则 2024 年该地区人口 y = 万人. 12．某公司的利润（单位：万元）与广告投入（单位：万元）符合指数函数.当广告投入为万元时，利润为万元；当广告投入为万元时，利润为万元.则当广告投入为万元时，利润 万元. 13．某理财产品的年利率为 3%，按复利计算，初始投资 1000 元，x 年后资金总额 y（元）与 x 的函数关系是 . 14．某种植物的高度（单位：厘米）与生长时间（单位：月）满足，当生长个月时，植物高度 厘米. 15．一种产品的年产量原来是500件，在今后的几年内，计划使年产量比上一年增加，则三年后该产品的年产量为 （列出式子即可）. 三、解答题（第16、17题各8分，要求写出必要的解题过程） 16．某企业的投资回报率与投资项目的运营时长（年）满足. (1)当投资项目运营时长为年时，求投资回报率. (2)若要使投资回报率达到，求投资项目运营时长. 17．某家庭每月的天然气使用量（立方米）与气温（）的关系近似为. (1)当气温为 时，求天然气使用量（保留两位小数）；（参考数据：） (2)若天然气使用量为立方米，求此时的气温.(参考数据：) 四、证明题（本题9分，要求写出必要的证明过程） 18．已知，判断函数的单调性并证明. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$