集合、充要条件与不等式综合 - 河南省2026年对口招生一轮复习《数学考点双析卷》第15卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。 本卷是河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第15卷，主要考查集合、充要条件与不等式章节知识综合掌握情况。 河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第15卷 集合、充要条件与不等式综合 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。) 1．不等式的解集用区间表示为（    ） A． B． C． D． 2．与不等式同解的不等式是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题中，正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．设，那么（ ） A． B． C． D． 5．“函数的图像关于原点对称”是“函数是奇函数”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 6．为丰富学生的课外活动，学校开展了“数学建模选修课”和“语文素养选修课”，两项选修课都参与的有30人，两项选修课都没有参与的有20人，全校共有317人.问只参与一项活动的同学有多少人？（    ） A．237 B．297 C．277 D．267 7．已知集合满足，则可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，若集合，则的（    ） A． B． C． D． 9．下列四个命题： ①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。） 11．设，，是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 12．关于的不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是 ． 13．某小区有一块长为米，宽为 6 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地如下图，它们的面积之和为不超过 平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.设人行通道的宽度为米，则的取值范围是 .    14． 集合，，若集合满足A，这样的集合共有 个. 15．若集合，则的取值范围为 . 三、解答题（本大题共3小题，16、17小题各8分，18小题9分，共25分。） 16．求下列不等式的解集。 (1)； (2) 17．物业公司为提高居民参与垃圾分类投放的积极性，在小区开展垃圾分类积分激励活动，以垃圾分类正确投放次数来兑换月积分． (1)求业主每月至少正确投放多少次垃圾才能有积分； (2)若某业主建立了每月至少分的积分目标，请问他至少要完成多少次正确垃圾投放？ 18．设. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。 本卷是河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第15卷，主要考查集合、充要条件与不等式章节知识综合掌握情况。 河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第15卷 集合、充要条件与不等式综合 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。) 1．不等式的解集用区间表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解含绝对值不等式的方法即可求解. 【详解】不等式分别解两个不等式即可， 求解，可得，所以. 用区间表示为. 故选：C. 2．与不等式同解的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解题干的不等式的解集，再依次求解选项的不等式的解集判断即可. 【详解】不等式可化为， 所以有，即解集为， 对A：不等式，解得，解集为，故A错误； 对B：不等式，解得，解集为，故B正确； 对C：不等式可化为，所以有，即解集为，故C错误； 对D：不等式，解得，解集为，故D错误. 故选：B. 3．下列命题中，正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】利用不等式的性质即可判断选项的正误，采用特例法即可判断选项、、的正误，进而可得答案. 【详解】选项：特例法：当时,满足,,但不能推出,所以选项错误; 选项：因为,,根据不等式的同向可加性得:,所以选项正确; 选项：特例法：当,满足，,但不能推出,所以选项错误; 选项：特例法：当时，满足,,但不能推出,所以选项错误. 故选：. 4．设，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的意义，结合代入具体数值（特殊值法）验证，即可求解. 【详解】因为，所以异号，可令代入得 ， 所以三项错误； 因为，所以， 两边同时加上得， 即， 所以，所以选项B正确. 故选：B. 5．“函数的图像关于原点对称”是“函数是奇函数”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的概念和函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】设函数表达式为， 充分性：若函数图像关于原点对称，设为图像上任意一点，则关于原点的对称点为，该点仍在图像上，因此，符合奇函数的定义，即函数为奇函数； 必要性：若函数为奇函数，设为图像上任意一点，则关于原点的对称点为，因为为奇函数，所以，即仍在图像上，因此，函数图像关于原点对称. 综上所述：“函数的图像关于原点对称”是“函数是奇函数”的充要条件. 故选：. 6．为丰富学生的课外活动，学校开展了“数学建模选修课”和“语文素养选修课”，两项选修课都参与的有30人，两项选修课都没有参与的有20人，全校共有317人.问只参与一项活动的同学有多少人？（    ） A．237 B．297 C．277 D．267 【答案】D 【分析】应用Venn图求解即可. 【详解】画出Venn图.全集表示全校学生， 分别用集合表示参与“数学建模选修课”和“语文素养选修课”的学生，则表示两项选修课都参与的学生，表示两项选修课都没有参与的学生则可用表示，即.由题意可知，全集元素的个数为317，元素的个数为30，元素的个数为20， 则阴影部分表示只参与一项活动的学生，设有人，则， 故只参与一项活动的学生数为, 故选：D. 7．已知集合满足，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得集合的包含关系，进而判断即可. 【详解】由则,进而,由于，所以可能是， 故选：B 8．已知，，若集合，则的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合相等，结合元素的互异性求解. 【详解】左边集合中， ∵，∴，即，有. 故，解得或. ①当时，集合为，不符合集合中元素的互异性，故舍去； ②当时，集合为}. ∴，. ∴. 故选：C 9．下列四个命题： ①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空集的定义和性质判断即可. 【详解】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0. 答案：A. 10．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的交集运算解答即可. 【详解】， 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。） 11．设，，是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意转化为集合间的包含关系可得. 【详解】解：假设，由题意，是B的真子集， 所以必有成立. 故答案为：. 12．关于的不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分类讨论思想及一元二次不等式恒成立求参数求解即可. 【详解】当时，不等式为恒成立，所以符合题意； 当时，不等式显然不成立； 当时，不等式恒成立则有 即即. 综合上述，若不等式对任意实数恒成立，则. 故答案为：. 13．某小区有一块长为米，宽为 6 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地如下图，它们的面积之和为不超过 平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.设人行通道的宽度为米，则的取值范围是 .    【答案】 【分析】由题意表示出一块绿地的长和宽，再由矩形面积公式列不等式，并由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】一块绿地的长为米，宽为米， 那么两块绿地面积和为. 由， 展开得， 整理得， 由于方程， 根据求根公式可得 ， 则该不等式，解得， ， 又因为且，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14． 集合，，若集合满足A，这样的集合共有 个. 【答案】255 【分析】根据A可知，求集合的非空子集的个数即可. 【详解】因为集合满足A， 则可知集合M里的元素需要满足必须有元素1和2，但不能只有元素1和2， 即集合M的个数为集合的真子集个数， 所以非空子集个数为：个. 故答案为：255. 15．若集合，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得，一元二次方程没有实数根，即判别式，求解即可得的取值范围. 【详解】因为集合， 所以一元二次方程没有实数根， 即， 解得， 故答案为：. 三、解答题（本大题共3小题，16、17小题各8分，18小题9分，共25分。） 16．求下列不等式的解集。 (1)； (2) 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）由绝对值不等式求解，再将解集用区间表示即可. （2）由一元二次不等式求解，再将解集用区间表示即可 【详解】（1）由原不等式，可得． 所以或． 由解得． （2）由得， 解得， 所以原不等式的解集为. 17．物业公司为提高居民参与垃圾分类投放的积极性，在小区开展垃圾分类积分激励活动，以垃圾分类正确投放次数来兑换月积分． (1)求业主每月至少正确投放多少次垃圾才能有积分； (2)若某业主建立了每月至少分的积分目标，请问他至少要完成多少次正确垃圾投放？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法，求出满足的最小整数，即可求解； （2）利用一元二次不等式的解法，求出满足的最小整数，即可求解. 【详解】（1）由题意得， 所以，即， 所以，解得或（舍去）， 故业主每月至少正确投放次垃圾才能有积分. （2）由题意得，即， 所以，解得或（舍去）， 所以至少要完成次正确垃圾投放. 18．设. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）先求出集合，从而求出集合的所有子集； （2）根据分是否为0讨论即可. 【详解】（1）， 所以集合的所有子集为； （2）当时，，符合题意； 当时，要使，需满足或， 即或； 综上所述，或或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$