函数的单调性 - 河南省2026年对口招生一轮复习《数学考点双析卷》第21卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。 本卷是河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第21卷，主要考查函数章节中函数的单调性的掌握情况。 河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第21卷 函数的单调性 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。) 1．若函数，的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，总有成立，则函数一定是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 3．定义在上的偶函数在区间上是单调递减的，且，则的范围是（       ） A． B． C． D． 4．偶函数在区间上单调递减，则有（   ） A． B． C． D． 5．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）． A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，图像关于原点对称，部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的单调递增区间为 D． 7．若函数在区间上是减函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若函数在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．下列函数中，在内为减函数的是（    ）． A． B． C． D． 10．如果二次函数对任意实数都有，那么（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。） 11．函数是上的减函数，且，则的取值范围是 ． 12．二次函数的对称轴为，比较 （填：、或）； 13．若是定义在R上的减函数，则的取值范围是 ． 14．已知函数在上是减函数，m的取值范围为 15．若函数在区间上单调递减，则a的取值范围为 . 三、证明题（本题8分，写出必要的论述过程） 16．用定义证明函数在区间上单调递减. 四、解答题（17题8分，18题9分，写出必要的解题过程） 17．已知函数． (1)写出函数图像的对称轴方程、顶点坐标以及函数的单调递减区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 18．如图所示，在边长为2的等边中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，且BDEF为平行四边形，设，四边形BDEF的面积为S. (1)求当时S的值； (2)将S表示为x的函数式，并求当x为何值时S取最大值，最大值为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。 本卷是河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第21卷，主要考查函数章节中函数的单调性的掌握情况。 河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第21卷 函数的单调性 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。) 1．若函数，的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用函数最值在函数图象的表现即可得解. 【详解】函数最值是函数图象最高点的纵坐标（最大值）和最低点的纵坐标（最小值）， 由图象可知，最高点对应，即最大值为；最低点对应，即最小值为 故选：C. 2．已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，总有成立，则函数一定是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C 【分析】根据函数的单调性的定义求解即可. 【详解】对于任意两个不相等的实数，总有成立，即对于任意两个不相等的实数，总有． 所以函数一定是增函数． 故选：C. 3．定义在上的偶函数在区间上是单调递减的，且，则的范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性结合已知条件即可求解. 【详解】因为函数是在上的偶函数，且在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增，因为，若，则，解得，若，则，所以，解得，所以的取值范围是. 故选：D. 4．偶函数在区间上单调递减，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质及减函数的性质比较大小即可. 【详解】已知为偶函数，所以，且该函数在区间上单调递减，由，得，即， 故选：A. 5．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数和反比例函数的性质判断即可. 【详解】对于A，在区间上为减函数，故A错误， 对于B，在区间上为减函数，故B错误， 对于C，在区间上为增函数，故C正确， 对于D，在区间上为减函数，故D错误. 故选：C. 6．已知函数的定义域为，图像关于原点对称，部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的单调递增区间为 D． 【答案】A 【分析】根据图像关于原点对称，结合图像确定对称区间的单调性和最值即可. 【详解】已知函数的定义域为，且图像关于原点对称。 由图可知，函数在和上单调递减，在区间上单调递增，故C错误； 因为，所以，故A正确，D错误； 由图可知在区间上，函数的最大值为，则在区间上，函数有最小值为，故B错误。 故选：A. 7．若函数在区间上是减函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案. 【详解】开口向下，对称轴为，要使函数在区间上是减函数，则.（区间在对称轴的右侧） 故选：C. 8．若函数在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在上是增函数，所以，故的取值范围是，因此选项A正确. 故选：A. 9．下列函数中，在内为减函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过一次函数和反比例函数单调性判断依据判断即可. 【详解】对于反比例函数，时函数在和上单调递减，时函数在和上单调递增，则在内是增函数； 对于一次函数，时函数在上单调递增，时函数在上单调递减，则和在内是增函数， 在内是减函数. 故选：. 10．如果二次函数对任意实数都有，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数对称性式子得到二次函数对称轴，再根据二次函数单调性，结合对称性，判断函数值大小即可. 【详解】由可得：，即函数关于对称，且函数的图象开口向上，即在上单调递减，在上单调递增， ，且由对称性可知：， . 故选：. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。） 11．函数是上的减函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数的单调性列出不等式求解即可. 【详解】是上的减函数，且， ，， 的取值范围是． 故答案为：． 12．二次函数的对称轴为，比较 （填：、或）； 【答案】 【分析】根据对称轴及开口方向确定其增减性即可求解. 【详解】因为二次函数开口向上，对称轴为，所以当时，单调递减，因为，所以 . 故答案为：. 13．若是定义在R上的减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性列出式子，解不等式组即可求解． 【详解】由题意知，分段函数在各分段上递减，且在处左端点不小于右端点， 可得， 解得，所以． 故答案为：. 14．已知函数在上是减函数，m的取值范围为 【答案】 【分析】根据一次函数为减函数，由此列不等式求解即可. 【详解】已知函数为一次函数，由其在上是减函数，得，解得，所以m的取值范围为， 故答案为：. 15．若函数在区间上单调递减，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据函数的单调区间求解即可. 【详解】函数的对称轴为，又因为函数在区间上单调递减，所以，即a的取值范围为. 故答案为：. 三、证明题（本题8分，写出必要的论述过程） 16．用定义证明函数在区间上单调递减. 【答案】证明见解析 【分析】利用函数的单调性的定义进行证明即可. 【详解】任取，且， 则. 因为，所以，，，， 所以，即， 故在区间上单调递减. 四、解答题（17题8分，18题9分，写出必要的解题过程） 17．已知函数． (1)写出函数图像的对称轴方程、顶点坐标以及函数的单调递减区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)对称轴方程，顶点坐标，单调递减区间 (2)最大值为0，最小值为 【分析】（1）将原二次函数化简，根据二次函数性质即可得到函数图像的对称轴方程、顶点坐标以及函数的单调递减区间； （2）将，，带入函数解析式中即可求出最大值和最小值. 【详解】（1）解：（1）    由函数画出如上图像，由上图及二次函数性质可知， 对称轴方程，顶点坐标，单调递减区间. （2）（2）因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，，， 所以最大值，最小值. 18．如图所示，在边长为2的等边中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，且BDEF为平行四边形，设，四边形BDEF的面积为S. (1)求当时S的值； (2)将S表示为x的函数式，并求当x为何值时S取最大值，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)时取最大值，最大值为 【分析】（1）先作出平行四边形的高，之后根据平行四边形的面积公式列出式子，代入数据即可； （2）根据第一问列出的面积公式得出该式子为二次函数，找出对称轴根据单调性即可求解． 【详解】（1） 过作,垂足为， 四边形BDEF为平行四边形， ， ， 又， 是等边三角形，为中点， ，，， ， ， 当时，； （2）是开口向下的二次函数，对称轴为， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而减小， 所以当时，取最大值，最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$