精品解析：山东省济南外国语学校2025届高考考前保温卷数学试题

高三数学高考前保温题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 2. 设向量, ,若表示向量的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量等于(　　) A. B. C. D. 3. 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ） A. 511个 B. 512个 C. 1023个 D. 1024个 4. 设，则的展开式中的系数不可能是（ ） A. 10 B. 40 C. 50 D. 80 5. 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（ ） A. B. C. D. 8. 数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为（　　） A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 的子集个数为2 10. 已知函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 在上的值域为 11. 如图（1）所示，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，，将沿BE翻折，使点A到达点P的位置，如图（2）所示，点F为PC的中点，且，则（ ） A. 平面平面BCDE B. 直线PC与平面BCDE所成的角为30° C. 平面PBE D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两圆和相交于两点，则直线的方程是_____． 13. 甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______． 14. 如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为． （1） 求等差数列的通项公式； （2）若成等比数列，求数列的前项和 16. 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； （Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望. 17. 已知函数，，且对任意的实数t均有，． （1）求函数的解析式； （2）若对任意的，恒有，求x的取值范围． 18. 如图,在三棱锥中,侧面是全等的直角三角形,是公共的斜边,且,另一个侧面是正三角形. （1）求证:; （2）求二面角的大小; （3）在直线上是否存在一点F,使与平面成角？若存在,确定F的位置;若不存在,说明理由. 19. 对于椭圆E：，定义其“椭圆值函数”.对于平面上的点，以及，，若，则称A，B关于点P“-共轭”，它们互为“-共轭点”；如果A，B还满足同时在椭圆E上，则称A，B为点P的“-共轭点对”，对于椭圆：. （1）已知点，，若A，B关于点P“-共轭”，求点B的坐标； （2）对椭圆外任意点P，证明：点P的“-共轭点对”必存在； （3）若点P在直线上运动，，且A，B为点P的“-共轭点对”，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学高考前保温题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的周期公式即可求解. 【详解】由题意可知，，所以函数的最小正周期为. 故选：B. 2. 设向量, ,若表示向量的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为对应有向线段首尾相接,所以, 故有. 故选：D． 3. 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ） A. 511个 B. 512个 C. 1023个 D. 1024个 【答案】B 【解析】 【分析】先算出分裂的次数，即可求得总个数. 【详解】20分钟分裂一次，经过3个小时，总共分裂了九次， 也就是29=512个， 故选：B． 4. 设，则的展开式中的系数不可能是（ ） A. 10 B. 40 C. 50 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】得到展开式的通项公式，求出时的系数，选出答案. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，系数为1， 当时，，系数为10， 当时，，系数为40， 当时，，系数为80， 当时，，系数为80， 故系数不可能是50. 故选：C 5. 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点，根据到两坐标轴距离相等得到，得到答案. 【详解】设点，则到两坐标轴距离相等，即，即. 故选：D 6. 在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，异面直线与所成的角是或其补角，由正方体性质即可得结论. 【详解】如图，连接， 由题意， 所以异面直线与所成的角是或其补角， 由正方体性质知是等边三角形，， 所以异面直线与所成的角是. 故选：B. 7. 定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数的图象关于直线对称可得，再根据当时，单调递减可得答案. 【详解】定义在上的函数的图象关于直线对称， 所以，所以， 因为当时，为单调递增函数， 定义在上的函数的图象关于直线对称， 所以当时，单调递减， 因为，所以，即. 故选：B. 8. 数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为（　　） A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830 【答案】D 【解析】 【详解】由于数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5， a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97． 从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，… 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2， 从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列． {an}的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830， 故选D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 的子集个数为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】解对数不等式及绝对值不等式，结合集合的交集、并集运算及子集的定义计算即可. 【详解】对于A项，由题意知，，，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，因为，所以的子集为、共2个，故D项正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 在上的值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简，即可判断A，再根据余弦函数的性质判断B、C、D. 【详解】对于A：因为，故A错误． 对于B：函数的定义域为， 又，所以为偶函数，故B正确． 对于C：由，得，因为在上单调递减， 所以在上单调递减，故C错误． 对于D：由，得，所以， 故在上的值域为，故D正确． 故选：BD 11. 如图（1）所示，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，，将沿BE翻折，使点A到达点P的位置，如图（2）所示，点F为PC的中点，且，则（ ） A. 平面平面BCDE B. 直线PC与平面BCDE所成的角为30° C. 平面PBE D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理即可判断A，由线面角的定义代入计算，即可判断B，由线面平行的判定定理即可判断C，结合选项C，即可判断D. 【详解】 连接EC，则，因为，，所以， 即， 又因为，所以， 所以，又PE，平面PBE，. 所以平面PBE，又平面BCDE，所以平面平面BCDE，故A正确； 取线段BE的中点为G，连接PG，CG，则， 因为平面平面，平面PBE，所以平面BCDE， 则为直线PC与平面BCDE所成的角， ，故B错误； 取线段PB的中点为H，连接FH，HE，则，且， 又因为，且，所以，， 即四边形DEHF为平行四边形，所以， 又因为平面PBE，平面PBE，所以平面PBE，故C正确； 由C知，，故HE与PB所成的角即为DF与PB所成的角， 因为，所以EH与PB不垂直，所以PB与DF不垂直，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两圆和相交于两点，则直线的方程是_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：两圆为①，②，可得，所以公共弦所在直线的方程为． 考点：相交弦所在直线的方程 13. 甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：事件“甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种”包含的基本事件有（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）共9个；记“他们选择相同颜色运动服”为事件A,则事件A包含的基本事件有（红，红），（白，白），（蓝，蓝）共3个；所以. 考点：古典概型. 14. 如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________． 【答案】（，） 【解析】 【详解】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）. 考点：正余弦定理；数形结合思想 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为． （1） 求等差数列的通项公式； （2）若成等比数列，求数列的前项和 【答案】 （1），或. （2） 【解析】 【详解】考察等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算． （Ⅰ）设等差数列的公差为，则，， 由题意得解得或 所以由等差数列通项公式可得，或. 故，或. （Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列； 当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件. 故 记数列的前项和为. 当时，；当时，； 当时， . 当时，满足此式. 综上， 【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解；有时需要利用等差数列的定义：（为常数）或等比数列的定义：（为常数，）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 16. 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； （Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【详解】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则 （Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 （Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则， 由于与互斥，故 所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 （Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故 ， ． 所以ξ的分布列是 ξ 0 2 4 P 随机变量ξ的数学期望 考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.相互独立事件的概率乘法公式；3.离散型随机变量及其分布列． 17. 已知函数，，且对任意的实数t均有，． （1）求函数的解析式； （2）若对任意的，恒有，求x的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，根据题意转化为对任意的实数，都有；对任意的实数，都有列不等式求出，即可得到的解析式；（2）转换主元，令，列不等式组，即可求解. 【小问1详解】 因为函数，所以. 对任意的实数t均有，，所以可转化为： 对任意的实数，都有；对任意的实数，都有， 所以，即，解得：. 所以. 【小问2详解】 可化为，记. 对任意的，恒有， 只需，即，解得：， 即. 所以实数x的取值范围为. 18. 如图,在三棱锥中,侧面是全等的直角三角形,是公共的斜边,且,另一个侧面是正三角形. （1）求证:; （2）求二面角的大小; （3）在直线上是否存在一点F,使与平面成角？若存在,确定F的位置;若不存在,说明理由. 【答案】（1）证明:取中点,连接,如图所示: 是正三角形, 为中点, , ,为中点, , 平面,平面, 平面, 得证. （2） （3）存在,或 【解析】 【分析】(1)取中点,连接,通过证明平面,进而证明; (2)以为原点建立空间直角坐标系,通过长度找到A点坐标,求出平面和平面的法向量,求出法向量夹角的余弦值的绝对值,即二面角的大小的余弦值的绝对值,求出其角即可; (3)根据点F直线上,设出点F的坐标,根据与平面成角,求出具体F点的坐标即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知平面, 平面, 平面平面, , 以为原点,方向为轴,方向为轴,过作垂直于平面的线为轴建立如图所示直角坐标系, 则, 不妨设, , , 解得, , 设平面法向量为, 即, 取, 则, 设平面法向量为, 即, 取, 则 二面角的大小为 【小问3详解】 是上一点,设, 令, 则, ,, 由(2)可知,平面的法向量为, 与平面成角, , , 解得, 或 当或时,与平面成角. 19. 对于椭圆E：，定义其“椭圆值函数”.对于平面上的点，以及，，若，则称A，B关于点P“-共轭”，它们互为“-共轭点”；如果A，B还满足同时在椭圆E上，则称A，B为点P的“-共轭点对”，对于椭圆：. （1）已知点，，若A，B关于点P“-共轭”，求点B的坐标； （2）对椭圆外任意点P，证明：点P的“-共轭点对”必存在； （3）若点P在直线上运动，，且A，B为点P的“-共轭点对”，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明：设，，，并记， 则，因此， 即， 于是，即， 因此只要证明方程组有解即可，令，，，， 则只要证明方程组有解即可，而点P在椭圆外，则，即， 圆的圆心到直线的距离， 因此直线和圆相交，即方程组有解， 所以存在点A，B使得它们关于点P构成“-共轭点对”. （3） 【解析】 【分析】（1）利用A，B关于点P“-共轭”的定义计算得解. （2）利用A，B为点P的“-共轭点对”的定义列出方程组，再判断方程组有解即可. （3）利用（2）的信息求出直线方程，再与椭圆方程联立，利用韦达定理、结合三角形面积公式求出函数关系，借助对勾函数单调性求出最大值. 【小问1详解】 依题意，， 则，，而， 因此，，所以点. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，，由（2）知直线的方程为， 由消去得，， 又，则 ，令，函数在上单调递增， 当时，，即当时，， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $