平面向量的概念及线性运算- 河南省2026年对口招生一轮复习《数学考点双析卷》第69卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。 本卷是河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第69卷，主要考查平面向量章节中平面向量的概念及线性运算的掌握情况。 河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第69卷 平面向量的概念及线性运算 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。) 1．等于（    ） A． B． C． D． 2．已知向量不共线，向量，则（ ） A． B． C． D．12 3．下列关于零向量的说法正确的是（   ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 4．对于非零向量， “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设，而是一非零向量，则下列各结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 6．如图所示，在中，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知平行四边形中，M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，若，，则等于（    ）．    A． B． C． D． 8．平行四边形中，（   ） A． B． C． D． 9．在中，，点E在上，若，则（   ） A． B． C． D． 10．下列结论中正确的是（    ）． A．若和都是单位向量，则 B．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 C．两个相等向量的模相等 D．模相等的两个平行向量是相等的向量 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。） 11．已知向量，，若平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合，则实数的取值范围是 . 12．向量与非零向量共线，当且仅当有唯一实数，使 . 13．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，，，，则 .    14．若，则共线的三点是 . 15．已知等边三角形的边长为2，，则的模为 三、解答题（第16、17题各8分，第18题9分，要求写出必要的解题过程） 16．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，试求：.    17．如图，在中，是边上的中线，为的中点．    (1)用，表示； (2)用，表示． 18．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使||＝4，点A在点O北偏东45°； （2），使＝4，点B在点A正东； （3），使＝6，点C在点B北偏东30°. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。 本卷是河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第69卷，主要考查平面向量章节中平面向量的概念及线性运算的掌握情况。 河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第69卷 平面向量的概念及线性运算 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。) 1．等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加法运算法则即可得解. 【详解】. 故选：B. 2．已知向量不共线，向量，则（ ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】根据平面向量共线向量定理，得出，再由对应向量系数相等，即可求出. 【详解】因为不共线，， 所以，即，即，解得. 故选：B. 3．下列关于零向量的说法正确的是（   ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 【答案】D 【分析】根据零向量的概念与性质逐项分析即可. 【详解】零向量的长度为0，故A错误， 零向量的方向是任意的，故B错误， 两个反方向向量之和不一定为零向量， 只有相反向量之和才是零向量，故C错误， 零向量与任何向量都共线，故D正确， 故选：D. 4．对于非零向量， “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量共线的相关知识直接判断. 【详解】对于非零向量，当时，，一定成立，即充分性成立； 当时，，不一定满足，即必要性不成立. 所以对于非零向量， “”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．设，而是一非零向量，则下列各结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据平面向量加法运算法则得到，即可判断. 【详解】因为， 又是一非零向量，所以，故①正确； ，故②错误，③正确； 又，所以，故④错误. 故选：D 6．如图所示，在中，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算法则求解即可. 【详解】由图结合，可得，∴， ∴， 故选：A. 7．已知平行四边形中，M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，若，，则等于（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，由求解. 【详解】解：因为在平行四边形中，M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，且，，所以 ，所以， 故选：C 8．平行四边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量加法的运算法则结合相等向量的定义即可求解. 【详解】在平行四边形中， 有，所以. 故选：B. 9．在中，，点E在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线的性质即可得解. 【详解】因为，所以，    则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C. 10．下列结论中正确的是（    ）． A．若和都是单位向量，则 B．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 C．两个相等向量的模相等 D．模相等的两个平行向量是相等的向量 【答案】C 【分析】根据向量的相关概念判断即可. 【详解】对于选项A：若和都是单位向量，但是两向量的方向可能不一致，则不一定满足，故A错误； 对于选项B：向量是可以平移的，若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定分别重合，故B错误； 对于选项C：两个相等向量的模一定相等，故C正确； 对于选项D：两个向量相等，则它们的模长相等且方向相同，两个平行向量方向不一定相同，故D错误. 故选：C. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。） 11．已知向量，，若平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合，则实数的取值范围是 . 【答案】，，． 【分析】由平面向量基本定理以及基底的定义，可知与为不共线的非零向量，由此求解即可． 【详解】解：因为平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合， 则与为平面向量的一组基底，故与为不共线的非零向量， 所以，所以， 故实数的取值范围是，，． 故答案为：，，． 12．向量与非零向量共线，当且仅当有唯一实数，使 . 【答案】 【解析】略 13．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，，，，则 .    【答案】 【分析】根据几何图形，利用相等向量转化，结合向量的加减运算公式，即可求解. 【详解】由已知，则. 故答案为： 14．若，则共线的三点是 . 【答案】 【分析】根据已知条件结合共线向量定理分析判断即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以与共线，因为与有公共端点， 所以三点共线. 故答案为： 15．已知等边三角形的边长为2，，则的模为 【答案】 【分析】由向量的模和内积的计算公式即可得解. 【详解】由题意知，且与的夹角为， 所以， 所以 . 故答案为：. 三、解答题（第16、17题各8分，第18题9分，要求写出必要的解题过程） 16．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，试求：.    【答案】2 【分析】利用相等向量转化，再求，再求模. 【详解】作，连结，则，而，所以，且， 所以. 17．如图，在中，是边上的中线，为的中点．    (1)用，表示； (2)用，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据图形，利用向量的线性运算即可. 【详解】（1）因为是边上的中线，所以. （2）因为为的中点， 所以. 18．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使||＝4，点A在点O北偏东45°； （2），使＝4，点B在点A正东； （3），使＝6，点C在点B北偏东30°. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】（1）由点A在点O北偏东45°处和||＝，可得出点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量； （2）由点B在点A正东方向处，且＝4，得出在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，可作出向量； （3）由点C在点B北偏东30°处，且＝6，再由勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，作出向量． 【详解】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示． （2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示． （3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$