任意角的三角函数- 河南省2026年对口招生一轮复习《数学考点双析卷》第40卷 学生练习卷（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建“讲练结合”的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。 本卷是河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第40卷，主要考查三角函数章节中任意角的三角函数的掌握情况。 河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第40卷 任意角的三角函数 学生练习卷 考试时间：45分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。) 1．一艘轮船从港口出发，先向东航行40海里，接着向北航行30海里，此时轮船与港口连线和正东方向夹角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 2．已知角的终边经过点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若角的终边过点，则等于（    ）． A． B． C． D． 4．式子的值的符号为（    ） A．正 B．负 C．0 D．不确定 5．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 6．若，，则角是第（   ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 7．已知角为第四象限角，则下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 8．已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 9．若是第三象限角，则（    ） A．–2 B．–1 C．1 D．2 10．三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比，则图中角满足（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。） 11． . 12．已知角终边上一点，则 ． 13．已知角的终边经过点，则与单位圆的交点坐标为 . 14．在内，使成立的x的取值范围是 ． 15．秋千绳索长8m，从水平位置顺时针摆动，此时秋千座位距离初始水平位置的竖直距离为 m. 三、解答题（第16、17题各8分，第18题9分，要求写出必要的解题过程） 16．一个钟摆长度为 20 厘米，初始位置垂直向下，摆动后与垂直方向夹角为 α. (1)若，求钟摆端点距离初始垂直位置的水平距离. (2)若钟摆端点距离初始垂直位置的水平距离为 10 厘米，求的值. 17．一艘轮船在海上航行，从 A 处沿北偏东 方向行驶了 200 海里到达 B 处. (1)求轮船在 B 处相对于 A 处的正东方向的距离. (2)若轮船继续沿南偏东 方向行驶 100 海里到达 C 处，求 BC 与正北方向夹角的正弦值. 18．为了进行坡面绿化，要在与水平面夹角为 的坡面上种植树木，坡面长度为米.（参考数据.） (1)求树木种植区域在垂直方向上的高度. (2)若要在坡面上铺设水管，水管长度与坡面长度相等，求水管在水平方向上的投影长度. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建“讲练结合”的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。 本卷是河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第40卷，主要考查三角函数章节中任意角的三角函数的掌握情况。 河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第40卷 任意角的三角函数 学生练习卷 考试时间：45分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。) 1．一艘轮船从港口出发，先向东航行40海里，接着向北航行30海里，此时轮船与港口连线和正东方向夹角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理以及余弦函数，即可求解. 【详解】向东航行的距离为邻边，向北航行的距离为对边， 根据勾股定理可得轮船与港口的距离（斜边）为海里， 根据余弦函数定义，余弦值邻边斜边 . 故选：B. 2．已知角的终边经过点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义即可得解. 【详解】 故选:. 3．若角的终边过点，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由角的终边上一点套公式求角的三角函数值即可. 【详解】因为角的终边过点， 所以，，，所以． 故选：. 4．式子的值的符号为（    ） A．正 B．负 C．0 D．不确定 【答案】A 【分析】利用角的范围判断三角函数的符号，从而得解. 【详解】因为， 所以1弧度在第一象限，2弧度在第二象限，3弧度在第二象限， 所以，，，三者相乘符号为正. 故选：A. 5．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边上点的坐标求解三角函数余弦值即可解得. 【详解】由题可知角过点，则与原点的距离为， 由余弦函数的定义， 故选：C 6．若，，则角是第（   ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】根据各象限的三角函数值的符号即可求解. 【详解】解：因为，则在第二或第三象限或的负半轴上， 又因为，则在第一或第三象限. 所以，，则角是第三象限角. 故选：C 7．已知角为第四象限角，则下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】由三角函数值在各象限的符号即可得解. 【详解】因为角为第四象限角，所以. 故选：A. 8．已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据终边上的点求三角函数值即可解得. 【详解】由题，角终边上的点为， 则到原点的长度为， 则， 故选：A 9．若是第三象限角，则（    ） A．–2 B．–1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用三角函数在各象限的符号即可得解. 【详解】因为是第三象限角，所以，，， 所以 . 故选：B. 10．三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比，则图中角满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设大正方形边长为5，小正方形边长为1，设四个全等的直角三角形的直角边长分别为和（），则，解出和，得出答案. 【详解】如图，因为，不妨取大正方形边长为5，小正方形边长为1， 设四个全等的直角三角形的直角边长分别为和（）， 易得，解得（舍）或，所以， 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。） 11． . 【答案】1 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】因为,所以. 故答案为：1. 12．已知角终边上一点，则 ． 【答案】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求值即可. 【详解】已知角终边上一点，， 故答案为：. 13．已知角的终边经过点，则与单位圆的交点坐标为 . 【答案】 【分析】根据任意角的三角函数定义求解即可. 【详解】设角的终边与单位圆的交点坐标为， 因为终边经过点，, 所以， 所以交点坐标为. 故答案为： 14．在内，使成立的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据三角函数图像和特殊角对应的函数值进行求解. 【详解】在同一个坐标系中画出在内的函数图像，如图所示， 则使成立的x的取值范围是. 故答案为：. 15．秋千绳索长8m，从水平位置顺时针摆动，此时秋千座位距离初始水平位置的竖直距离为 m. 【答案】 【分析】根据题意结合三角函数的定义即可得解. 【详解】绳索长，顺时针旋转，则秋千与竖直方向夹角为， 则秋千座位距离初始水平位置的竖直距离为， 故答案为：. 三、解答题（第16、17题各8分，第18题9分，要求写出必要的解题过程） 16．一个钟摆长度为 20 厘米，初始位置垂直向下，摆动后与垂直方向夹角为 α. (1)若，求钟摆端点距离初始垂直位置的水平距离. (2)若钟摆端点距离初始垂直位置的水平距离为 10 厘米，求的值. 【答案】(1)10 厘米 (2) 【分析】（1）根据题意，结合正弦函数的定义即可求解. （2）先根据勾股定理求得对应边长，再根据余弦函数的概念，即可求解. 【详解】（1） 依题意，厘米，, 根据正弦函数定义，钟摆端点距离初始垂直位置的水平距离为 厘米. （2）已知钟摆长度厘米， 钟摆端点距离初始垂直位置的水平距离为厘米， 根据勾股定理求出邻边为厘米, 再根据余弦函数定义，可得. 17．一艘轮船在海上航行，从 A 处沿北偏东 方向行驶了 200 海里到达 B 处. (1)求轮船在 B 处相对于 A 处的正东方向的距离. (2)若轮船继续沿南偏东 方向行驶 100 海里到达 C 处，求 BC 与正北方向夹角的正弦值. 【答案】(1)100 海里 (2). 【分析】（1）根据正弦函数的定义结合特殊角三角函数值即可求解. （2）根据题意，作出图形，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】（1）由题意得，在直角三角形中，轮船在 B 处相对于 A 处的正东方向的距离为海里. （2）如图所示，由题意得，BC与正北方向夹角为，所以其正弦值为. 18．为了进行坡面绿化，要在与水平面夹角为 的坡面上种植树木，坡面长度为米.（参考数据.） (1)求树木种植区域在垂直方向上的高度. (2)若要在坡面上铺设水管，水管长度与坡面长度相等，求水管在水平方向上的投影长度. 【答案】(1) 米 (2)米. 【分析】（1）由正弦函数定义即可求解； （2）由余弦函数定义即可求解； 【详解】（1）根据正弦函数定义，树木种植区域在垂直方向上的高度为米. （2）根据余弦函数定义，水管在水平方向上的投影长度为米. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$