数列的综合应用- 河南省2026年对口招生一轮复习《数学考点双析卷》第68卷 学生练习卷（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。 本卷是河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第68卷，主要考查数列章节中数列的综合应用的掌握情况。 河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第68卷 数列的综合应用 学生练习卷 考试时间：45分钟 满分：100分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。) 1．黑白两种颜色的正六边形地面砖块按如图所示的规律拼成若干个图案，则第5个图案中有白色地面砖（    ）    A．21块 B．22块 C．20块 D．23块 【答案】B 【分析】分析白色地面砖数是等差数列，根据首项和公差，即可得到第5个图案中有白色地面砖. 【详解】由题意可知，图案中的白色地面砖数构成等差数列， 其中，，则，即第5个图案中有白色地面砖22块. 故选：B. 2．2与8的等比中项为（    ） A．4 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据等比中项的性质求解. 【详解】设等比中项为G，则. 故选：C. 3．某中职学生毕业后自主创业做数码产品销售，第1年获得利润2万元，预期从第2年起，每年获得的利润是上一年的两倍，按照这一趋势，该同学实现累积利润不少于100万元至少需要的年数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意每年获得的利润是上一年的两倍，可知利润成等比数列，再根据累积利润不少于100万元以及等比数列前项和公式求解. 【详解】由题意可知，每年获得的利润构成以2为首项，2为公比的等比数列， 则，即，解得. 又 ，，，该同学实现累积利润不少于100万元至少需要6年. 故选：C. 4．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，同日增几何?”该问题中，善走男每天多走（    ）. A．10里 B．100里 C．140里 D．20里 【答案】A 【分析】先判断每天行走里数为等差数列，再利用等差数列的前项和公式求解. 【详解】由题意可知，善走男每天走的里数构成等差数列，其中，，， 所以，所以，即善走男每天多走10里. 故选：. 5．中国古代数学中有一个问题：从冬至之日起，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的晷影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的晷影长之和是37.5尺，芒种的晷影长是4.5尺，则冬至的晷影长是（    ） A．9.5尺 B．10.5尺 C．12.5尺 D．15.5尺 【答案】D 【分析】根据题意即可求解出该数列的首项和公差，从而求得冬至的晷影长. 【详解】从冬至起，晷影长依次记为，，，， ，根据题意，有， 根据等差数列的性质，有，而，设数列的公差为d， 则有，解得，故冬至的晷影长为15.5尺，因此选项D正确． 故选：D. 6．在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数成等差数列，问每人各分多少斤.”那么，甲所分小米的斤数是（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质列式求解即可. 【详解】设该等差数列为，其公差为. 由已知得,即, 即，解得，所以甲所分小米的斤数是8. 故选：C. 7．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（    ） A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文 C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质设定每人所分钱数，再分析计算. 【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为 ，，，a，，，， 则，解得， 所以乙分得（文），丁分得（文）. 故选：A. 8．一个弹性小球从10米高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去，则小球第五次落地时经过的路程为（    ） A．29.375米 B．19.375米 C．38.75米 D．28.75米 【答案】D 【分析】分别求出每次落地经过的路程，相加即可求解. 【详解】前五次落地经过的路程分别为10米、10米、5米、2.5米、1.25米，其和为28.75米， 故选：D 9．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份的量为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的通项公式和性质，即可求解. 【详解】由题意，设每个人所得构成等差数列，公差为，且， 则，， 所以，即， 所以，所以， 所以，解得， 所以. 故选：A. 10．2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加30万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（    ） A．4041万元 B．3492万元 C．3005万元 D．2993万元 【答案】B 【分析】根据等差数列和等比数列的前n项和公式，结合题意即可求解. 【详解】因为2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加30万元， 所以2014年至2019年每年的投资额成等差数列，首项为160，公差为30， 故2014年至2019年的投资总额为万元， 2019年的投资额为万元， 又2020年开始每年投入资金比上一年增加， 则2020年的投资额为万元， 故2020年至2024年每年的投资额成等比数列，首项为，公比为， 所以2020年至2024年的投资总额为万元， 所以到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为万元. 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。） 11．原来衣服上的污渍为a，换水洗一次能去污30%，问第2次换水洗后，衣服上的污渍还剩多少?这一问题可转化成 数列问题.（填“等差”或“等比”） 【答案】等比 【分析】由题意，根据等比数列的定义判断即可. 【详解】由题意可知，衣服上的污渍可视为首项，公比为的等比数列，原来衣服上的污渍为第一项，第1次换水洗后的污渍为，则第2次换水洗后，衣服上的污渍可表示为，所以这一问题可转化成等比数列问题. 故答案为：等比. 12．第1届现代奥林匹克运动会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥林匹克运动会如因故不能举行，届数照算﹒那么2008年北京奥林匹克运动会是第 届. 【答案】29 【分析】根据题意可得举行奥林匹克运动会的年份构成等差数列，利用通项公式即可求解. 【详解】由题意得，举行奥林匹克运动会的年份构成等差数列.其中，首项为1896，公差为4，则，解得. 故答案为：29. 13．张先生有一辆小型货车可以出租，4月份以1000元的价格出租给别人，如果每月的租金依次递减a%，则到8月份的租金为 . 【答案】 【分析】分析每月的租金构成等比数列，根据首相和公比，即可求8月的租金. 【详解】由题意可知，每月的租金构成等比数列，其中，， 则到8月份的租金为. 故答案为： 14．有一座七层塔，若每层所点灯的盏数都是上面一层的两倍，一共点381盏，则底层所点灯的盏数是 . 【答案】192 【分析】每次灯的盏数是等比数列，根据等比数列的和以及公比，得到首项，即可求底层灯的盏数. 【详解】由题意可知，从上往下每层灯的盏数构成等比数列，其中，，， 故，解得，则. 故答案为：192. 15．在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健､剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i=1，2，…，7）匹马的最长日行路程是第i+1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路程之和为 里.（取1.18=2.14） 【答案】4560 【分析】直接利用等比数列求和公式计算得到答案. 【详解】第8匹马､第7匹马､……､第1匹马的最长日行路程里数依次成等比数列，且首项为400，公比为1.1， 故这8匹马的最长日行路程之和为里. 故答案为：4560. 3、 解答题（第16、17题各8分，第18题9分，要求写出必要的解题过程） 16．数字9在《易经》中是阳数的最高位，代表尊贵之意，所以在我国古代皇家建筑中包含着许多与9有关的设计．如北京天坛圜丘的地面是由扇环形的石板铺成，中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈（如图所示），这样每一圈的石板数依次构成了等差数列． (1)求这个数列的公差； (2)求第3圈铺了多少块石板； (3)求第1圈到第9圈总共铺了多少块石板． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合公差的定义即可求解. （2）根据等差数列的通项公式即可求解. （3）根据等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块， 每一圈的石板数依次构成了等差数列，所以这个数列的公差为. （2）由题意得，令第一圈石板块数为，又， 则第三圈铺了块石板. （3）由题意得，， 所以第1圈到第9圈总共铺了块石板. 17．某种商品进行过两次调价，单价由原来的500元降到320元，求这种商品平均每次降价的百分率． 【答案】20% 【分析】设自变量，根据题意列出数量关系的方程，即可求解. 【详解】设这种商品平均每次降价，根据题意得， ，即，， 解得或（舍去）. 化为百分率是20%. 故，这种商品每次降价的百分率是20%. 18．某公司今年年初用万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为万元.该公司第年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图. （1）设年纯收入与年数的关系为，求的最大值； （2）引进这种设备后，试求有哪几年该公司开始获利． 【答案】（1）最大值万元；（2）从第年该公司开始获利． 【分析】（1）由题意知，每年的费用是以为首项，为公差的等差数列，从而可求出，进而可表示出，再根据二次函数的性质可求出的最大值， （2）由可求出的范围，从而可得结论 【详解】（1）由题意知，每年的费用是以为首项，为公差的等差数列，求得：． 设纯收入与年数的关系为，则： ， 因为， 所以当或时，取得最大值万元． （2）由得，解得， 又因为， 所以从第年该公司开始获利． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。 本卷是河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第68卷，主要考查数列章节中数列的综合应用的掌握情况。 河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第68卷 数列的综合应用 学生练习卷 考试时间：45分钟 满分：100分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。) 1．黑白两种颜色的正六边形地面砖块按如图所示的规律拼成若干个图案，则第5个图案中有白色地面砖（    ）    A．21块 B．22块 C．20块 D．23块 2．2与8的等比中项为（    ） A．4 B． C． D．0 3．某中职学生毕业后自主创业做数码产品销售，第1年获得利润2万元，预期从第2年起，每年获得的利润是上一年的两倍，按照这一趋势，该同学实现累积利润不少于100万元至少需要的年数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，同日增几何?”该问题中，善走男每天多走（    ）. A．10里 B．100里 C．140里 D．20里 5．中国古代数学中有一个问题：从冬至之日起，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的晷影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的晷影长之和是37.5尺，芒种的晷影长是4.5尺，则冬至的晷影长是（    ） A．9.5尺 B．10.5尺 C．12.5尺 D．15.5尺 6．在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数成等差数列，问每人各分多少斤.”那么，甲所分小米的斤数是（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（    ） A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文 C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文 8．一个弹性小球从10米高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去，则小球第五次落地时经过的路程为（    ） A．29.375米 B．19.375米 C．38.75米 D．28.75米 9．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份的量为 （　　） A． B． C． D． 10．2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加30万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（    ） A．4041万元 B．3492万元 C．3005万元 D．2993万元 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。） 11．原来衣服上的污渍为a，换水洗一次能去污30%，问第2次换水洗后，衣服上的污渍还剩多少?这一问题可转化成 数列问题.（填“等差”或“等比”） 12．第1届现代奥林匹克运动会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥林匹克运动会如因故不能举行，届数照算﹒那么2008年北京奥林匹克运动会是第 届. 13．张先生有一辆小型货车可以出租，4月份以1000元的价格出租给别人，如果每月的租金依次递减a%，则到8月份的租金为 . 14．有一座七层塔，若每层所点灯的盏数都是上面一层的两倍，一共点381盏，则底层所点灯的盏数是 . 15．在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健､剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i=1，2，…，7）匹马的最长日行路程是第i+1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路程之和为 里.（取1.18=2.14） 3、 解答题（第16、17题各8分，第18题9分，要求写出必要的解题过程） 16．数字9在《易经》中是阳数的最高位，代表尊贵之意，所以在我国古代皇家建筑中包含着许多与9有关的设计．如北京天坛圜丘的地面是由扇环形的石板铺成，中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈（如图所示），这样每一圈的石板数依次构成了等差数列． (1)求这个数列的公差； (2)求第3圈铺了多少块石板； (3)求第1圈到第9圈总共铺了多少块石板． 17． 某种商品进行过两次调价，单价由原来的500元降到320元，求这种商品平均每次降价的百分率． 18．某公司今年年初用万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为万元.该公司第年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图. （1）设年纯收入与年数的关系为，求的最大值； （2）引进这种设备后，试求有哪几年该公司开始获利． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$