任意角的三角函数- 河南省2026年对口招生一轮复习《数学考点双析卷》第39卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。 本卷是河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第39卷，主要考查三角函数章节中任意角的三角函数的掌握情况。 河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第39卷 任意角的三角函数 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。) 1．建筑工人要测量一座古塔的高度，在距离古塔底部 80 米处，测得塔顶仰角为，则古塔的高度为（    ）. A．40 米 B．米 C．米 D．160 米 2．若角满足，则角必不在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．汽车在斜坡上行驶，斜坡长度为 50 米，垂直上升高度为 25 米，则斜坡与水平面夹角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 4．已知是第三象限角，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知角a的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 6．下列语句正确的是（    ） A．如果，则是第三或第四象限角 B．是第二象限角 C．如果，那么 D．第一象限角都是锐角 7．若角的终边在直线上，则等于（    ） A． B． C． D． 8．“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 9．中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为，太阳光线通过顶部投影到“圭”上的点为．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的，记甲地中直线与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为（   ） A．10千里 B．12千里 C．14千里 D．16千里 10．如图，为的边上的一点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D．4 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。） 11．计算： ． 12．计算： ． 13．设角的终边经过点，则 ． 14．若角的终边上有一点，且，则a的值为 ． 15．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么 . 三、解答题（第16、17题各8分，第18题9分，要求写出必要的解题过程） 16．安装太阳能板时，太阳能板与水平面夹角为，已知太阳能板的宽度米. (1)若，求太阳能板最高点比最低点高出的垂直距离. (2)若要使太阳能板最高点比最低点高出的垂直距离为米，的余弦值应为多少？ 17．摩天轮半径为 8 米，圆心O距离地面高度为10米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，摩天轮上的座椅P初始位置与水平方向夹角为. (1)当摩天轮转动时，求座椅 P 距离地面的高度. (2)当座椅 P 距离地面高度为14米时，求OP与初始位置水平方向夹角. 18．学校操场有一旗杆，在某一时刻，旗杆影子与地面夹角为，影子长度米. (1)求旗杆的高度. (2)过了一段时间，影子与地面夹角变为，此时影子长度变为多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。 本卷是河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第39卷，主要考查三角函数章节中任意角的三角函数的掌握情况。 河南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第39卷 任意角的三角函数 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。) 1．建筑工人要测量一座古塔的高度，在距离古塔底部 80 米处，测得塔顶仰角为，则古塔的高度为（    ）. A．40 米 B．米 C．米 D．160 米 【答案】B 【分析】根据正切函数的定义即可求解. 【详解】在直角三角形中，设古塔高度为对边，距离古塔底部的 80 米为邻边， 所以古塔高度 米. 故选：B. 2．若角满足，则角必不在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据三角函数的符号与角的象限的关系，根据特殊情况，进而求解 【详解】当为第一象限角时，， 此时 故选：A 3．汽车在斜坡上行驶，斜坡长度为 50 米，垂直上升高度为 25 米，则斜坡与水平面夹角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理和余弦函数的定义即可得解. 【详解】斜坡长度为 50 米，垂直上升高度为 25 米， 根据勾股定理求出水平距离为米， 由余弦函数定义，斜坡与水平面夹角的余弦值为. 故选：B. 4．已知是第三象限角，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由是第三象限角,知,由此能判断出点在第几象限. 【详解】解:已知是第三象限角,,所以在第二象限. 故选:B 5．已知角a的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角的概念求出的值，进而求出的值. 【详解】依题意可知，∴，∴. 故选：D. 6．下列语句正确的是（    ） A．如果，则是第三或第四象限角 B．是第二象限角 C．如果，那么 D．第一象限角都是锐角 【答案】B 【分析】当，的终边可能在y轴的负半轴，故A错误；若，那么 与有可能终边相同，故C错误；如第一象限角，但不是锐角，故D错误；由象限角的定义可判断B正确. 【详解】对选项A，如果，的终边可能在y轴的负半轴，故错误； 对B选项，角是射线绕原点逆时针旋转形成的，终边落在第二象限，故正确； 对C选项，如果，那么 与不一定相等，有可能终边相同，故错误； 对D选项，例如第一象限角，但不是锐角，故错误. 故选：B 7．若角的终边在直线上，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为直线经过第二、四象限，所以需要对角终边位置分类讨论，分别在角的终边上取点后，按任意角的三角函数定义求解即可. 【详解】易知直线经过第二和第四象限. ①当角在第二象限时，取点，则 ，故； ②当角在第四象限时，取点，则 ，故. 综上，. 故选：C 8．“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【分析】由正切函数的定义判断充分性及必要性即可. 【详解】充分性：若，不存在，充分性不成立， 必要性：若，则，所以不一定相等，必要性不成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：. 9．中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为，太阳光线通过顶部投影到“圭”上的点为．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的，记甲地中直线与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为（   ） A．10千里 B．12千里 C．14千里 D．16千里 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出甲地、乙地的日影长，即可计算甲、乙两地的距离作答. 【详解】依题意，甲地中线段AB的长为寸，则甲地的日影长为寸，于是乙地的日影长为寸，甲、乙两地的日影长相差12寸，所以甲、乙两地之间的距离是12千里. 故选：B 10．如图，为的边上的一点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】利用任意角的三角函数定义和勾股定理，先在中求出, 再在中求即可. 【详解】,，， 中， ，即，. 故选: A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。） 11．计算： ． 【答案】1 【分析】由绝对值的意义、零指数幂和特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】原式． 故答案为：1. 12．计算： ． 【答案】0 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】， 故答案为：0 13． 设角的终边经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】根据任意三角函数的定义即可求出 【详解】因为点， 所以，，，所以. 故答案为： 14．若角的终边上有一点，且，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据三角函数的定义结合已知条件列式即可求解. 【详解】因为角的终边上有一点， 则， 又因为， 整理得， 解得：或. 故答案为：或. 15．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么 . 【答案】 【分析】根据三角函数与单位圆的定义求值即可. 【详解】由角α，β的终边分别与单位圆交于点和， 可得，， 所以， 故答案为：. 三、解答题（第16、17题各8分，第18题9分，要求写出必要的解题过程） 16．安装太阳能板时，太阳能板与水平面夹角为，已知太阳能板的宽度米. (1)若，求太阳能板最高点比最低点高出的垂直距离. (2)若要使太阳能板最高点比最低点高出的垂直距离为米，的余弦值应为多少？ 【答案】(1)米 (2) 【分析】（1）结合题意，根据正弦函数的概念即可求解. （2）先根据勾股定理得到邻边，再根据余弦函数的概念即可求解. 【详解】（1）    如图，太阳能板最高比最低点高出的垂直距离为, 根据正弦函数定义，米. （2）已知太阳能板宽度（斜边）为米，垂直距离（对边）为米， 根据勾股定理求出邻边为米, 再根据余弦函数定义，的余弦值为. 17．摩天轮半径为 8 米，圆心O距离地面高度为10米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，摩天轮上的座椅P初始位置与水平方向夹角为. (1)当摩天轮转动时，求座椅 P 距离地面的高度. (2)当座椅 P 距离地面高度为14米时，求OP与初始位置水平方向夹角. 【答案】(1)米； (2)或. 【分析】（1）由题意，结合正弦函数的定义求解即可； （2）由正弦函数的定义求出正弦值，再求出夹角即可. 【详解】（1）由题意，摩天轮半径为 8 米， 当摩天轮转动 90° 时，座椅P在垂直方向上相对圆心的高度为米， 又因为圆心O距离地面高度为10米，所以距离地面高度为米. （2）当座椅 P 距离地面高度为 14 米时，因为圆心O距离地面高度为10米， 即座椅 P 在垂直方向上相对圆心的高度为 4 米， 设 OP 与水平方向夹角为 ，根据正弦函数定义，其正弦值为. 所以OP与初始位置水平方向夹角或. 18．学校操场有一旗杆，在某一时刻，旗杆影子与地面夹角为，影子长度米. (1)求旗杆的高度. (2)过了一段时间，影子与地面夹角变为，此时影子长度变为多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）由正切函数定义即可求解. （2）由正切函数定义即可求解. 【详解】（1）旗杆影子与地面夹角为，根据正切函数定义（为旗杆高度），已知米，所以旗杆高度米. （2）旗杆高度不变仍为米，此时影子与地面夹角为，根据正切函数定义，则此时影子长度米 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$