第十四章 全等三角形 综合能力测评卷2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十四章 全等三角形综合能力测评卷 【人教版2024】 时间：80分钟 满分100分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四个选项中，不是全等图形的是（  ） A． B． C． D． 2．如图，已知，若，，则的长为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（    ） A． B． C． D． 4．如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 6．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答符号代表的内容． 如图，已知，，，，求的度数． 解：在和中，， 所以， 所以，◎．（全等三角形的★相等） 因为，， 所以， 所以(※)． 则回答正确的是（   ） A．★代表对应边 B．※代表 C．@代表 D．◎代表∠DCA 7．一个三角形的三边长分别为3，5，a，另一个三角形的三边长分别为5，4，b，若这两个三角形全等，则（    ） A．0 B．1 C．7 D．9 8．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（    ） A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm 9．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，BC=6,当长度最小时，的面积是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分,其中正确的结论个数有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，，，则 ． 12．如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是 （填写一个即可）． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在AB的延长线上．过点C作，与y轴交于点D，且．若点D的坐标为，则线段AC的长度为 ． 14．如图，中，，，，线段，点、分别在线段和与垂直的射线上移动，当 时，和全等．    15．如图，在中，，点C的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共55分） 16．如图，在中，点D是上一点，，过点D作，且．求证：． 17．如图，已知，，．    (1)尺规作图： 在边上求作一点，使； 在求作一点，使得平分（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（）的条件下求的大小． 18．如图，中，平分，且于E． (1)求证：； (2)如果，求的长． 19．如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． 求证： (1)， (2)与的位置关系如何． 20．小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案： （本题可能用到的知识：直角三角形中，如果有一个锐角是度，那么度所对直角边等于斜边的一半） (1)先在池塘外的空地上任取一点，连接，，并分别延长至点，点，使 ，连接，如图1，求证：； (2)请设计与（1）不同方案，测量，画出图形并直接叙述设计方案； (3)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点，使，过点作的平行线，延长至点，连接，测得，，请求出池塘宽度． 21.阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日    星期日    晴 巧用中线构造全等数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 在和中， 因为，，， 所以．所以． 解后反思： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： (1)小亮判断的依据是_________； (2)请你根据小亮的思路求出边的长度：_________（写出一个即可）； (3)迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为_________°． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形综合能力测评卷 【人教版2024】 时间：80分钟 满分100分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四个选项中，不是全等图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等图形的概念判断即可． 【详解】解：A、两个图形是全等图形，不符合题意； B、两个是全等图形，不符合题意； C、两个图形大小不同，不是全等图形，符合题意； D、两个图形是全等图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查全等图形问题，关键根据全等图形的定义判断． 2．如图，已知，若，，则的长为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 故选：C． 3．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案． 【详解】解：∵在△ABO和△DCO中，， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键． 4．如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求． 【详解】A. ．根据SSS一定符合要求； B. ．根据SAS一定符合要求； C. ．不一定符合要求； D. ．根据ASA一定符合要求． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，ASA三个判定定理． 5．如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．证明，得到，，即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故选：A． 6．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答符号代表的内容． 如图，已知，，，，求的度数． 解：在和中，， 所以， 所以，◎．（全等三角形的★相等） 因为，， 所以， 所以(※)． 则回答正确的是（   ） A．★代表对应边 B．※代表 C．@代表 D．◎代表∠DCA 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等．证，得出，，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：在和中，， 所以， 所以，．（全等三角形的对应角相等） 因为，， 所以， 所以． 故可得：代表；◎代表；★代表对应角；※代表， 故选：B． 7．一个三角形的三边长分别为3，5，a，另一个三角形的三边长分别为5，4，b，若这两个三角形全等，则（    ） A．0 B．1 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据已知条件分清对应边，结合全等三角形的性质可得出答案． 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为3，5，a，另一个三角形的三边长分别为5，4，b，这两个三角形全等， ∴， ∴． 故选：C． 8．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（    ） A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据是的中点可求的长度，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求解，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：过点作，垂足为点，   是的中点，， ， ，，射线是的平分线， ， 故选：． 9．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，BC=6，当长度最小时，的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，根据勾股定理求出，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，熟练掌握角平分线性质是解题的关键． 10．如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确； 根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴平分，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据，可得，再由可得结果． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是 （填写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 要使得．由条件可得到，，再加条件，可以用证明其全等． 【详解】解：添加条件； 即：， ， ， ， ， 在和中， 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在AB的延长线上．过点C作，与y轴交于点D，且．若点D的坐标为，则线段AC的长度为 ． 【答案】 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵点D的坐标为 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，证明是解题的关键． 14．如图，中，，，，线段，点、分别在线段和与垂直的射线上移动，当 时，和全等．    【答案】或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形全等的判定方法可知，分两种情况：当运动到时，，当运动到与重合时，，分别进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：， 根据三角形全等的判定方法可知， 当运动到时，，此时， 当运动到与重合时，，此时， 综上所述， 或时，和全等， 故答案为：或． 15．如图，在中，，点C的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】作轴于点E，轴于点F，则，所以，即可证明，得，从而得到，则A． 【详解】解：作轴于点E，轴于点F，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点C的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共55分） 16．如图，在中，点D是上一点，，过点D作，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先证明，再证明即可得到答案. 【详解】证明：， ∴， 在和中，， ∴ ∴. 17．如图，已知，，．    (1)尺规作图： 在边上求作一点，使； 在求作一点，使得平分（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（）的条件下求的大小． 【答案】(1)作图见解析；作图见解析； (2)． 【分析】（）根据作一个角等于已知角的方法作，与交于点， 则点即为所求； 过点作的平分线，与的交点即为点； ()根据三角形内角和定理可得， 则， 根据角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可得答案； 本题考查作图-复杂作图、 三角形内角和定理和角平分线的有关计算，熟练掌握角平分线的作图方法、作一个角等于已知角的方法以及三角形内角和定理是解题的关键. 【详解】（1）如图，点即为所求； 如图，点即为所求，    （2）∵，， ∴， ∵ ∴ ∵平分 ∴， ∴． 18．如图，中，平分，且于E． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】（1）由角平分线的性质知，利用证得得到，根据即可得证； （2）证得，由知，根据得，据此可得，继而可得的长． 【详解】（1）证明：如图所示，过点D作交延长线于F， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：∵平分， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 19．如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． 求证： (1)， (2)与的位置关系如何． 【答案】(1)证明见解析 (2)垂直 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及垂直定义、对顶角相等、三角形全等的判定定理、三角形全等的性质、三角形外角性质、垂直判定等知识、熟练掌握判定与性质是解本题的关键． （1）由垂直于，垂直于，利用垂直的定义得，由得对顶角相等得，所以．再由，，利用可得出与全等，由全等三角形的对应边相等可得出； （2）利用全等得出，再利用三角形的外角性质得到，又，利用等量代换可得出，即与垂直． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ， 在和中 ， ， （全等三角形的对应边相等）； （2）解：位置关系是， 理由如下： ， ， 又，， ， ． 20．小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案： （本题可能用到的知识：直角三角形中，如果有一个锐角是度，那么度所对直角边等于斜边的一半） (1)先在池塘外的空地上任取一点，连接，，并分别延长至点，点，使 ，连接，如图1，求证：； (2)请设计与（1）不同方案，测量，画出图形并直接叙述设计方案； (3)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点，使，过点作的平行线，延长至点，连接，测得，，请求出池塘宽度． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)作图见详解 (3)池塘宽度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意，运用边角边证明，即可求解； （2）根据全等三角形的性质作图即可； （3）根据题意，延长交于点，由图形可得，则，由直角三角形中，如果有一个锐角是度，那么度所对直角边等于斜边的一半得到，再证明，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 在池塘外取一点，连接，使得，延长到点使得，，过点作，交延长线于点， 运用角边角可证，则， ∴测得的长即可求解； （3）解：如图所示，延长交于点， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴池塘宽度． 21.阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日    星期日    晴 巧用中线构造全等数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 在和中， 因为，，， 所以．所以． 解后反思： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： (1)小亮判断的依据是_________； (2)请你根据小亮的思路求出边的长度：_________（写出一个即可）； (3)迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为_________°． 【答案】(1)边角边（或） (2)1（或3） (3)88 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点． （1）根据过程可得已知“两边一夹角”，故为； （2）由，得到，则，再由即可求解； （3）先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 所以小亮判断的依据是“”， 故答案为：； （2）解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以， 所以 因为的长度为奇数， 所以可以为1或3； （3）解：延长至点，使得，连接， 同上可证明：， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，， 所以， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$