2025年安徽省中考数学试卷

2025年安徽省中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。 1．（4分）在﹣2，0，2，5这四个数中，最小的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．5 2．（4分）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（　　） A．521.7×108 B．5.217×109 C．5.217×1010 D．0.5217×1011 3．（4分）“阳马”是由长方体裁得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（　　） A． B． C． D． 4．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a B．a C．a3•（﹣a）2＝a6 D．（﹣a2）3＝a6 5．（4分）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0 6．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若DE，则AC的长是（　　） A．4 B．6 C．2 D．3 7．（4分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点M（1，2），且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（　　） A．（﹣2，2） B．（2，1） C．（﹣1，3） D．（3，4） 8．（4分）在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF＝CH，则下列为定值的是（　　） A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小 C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长 9．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（　　） A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．2b﹣c＜0 D．a﹣b+c＜0 10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（　　） A．EC﹣ED的最大值是2 B．FB的最小值是 C．EC+ED的最小值是4 D．FC的最大值是 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）计算：|﹣5|﹣（﹣1）＝　 　 ． 12．（5分）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为　 　 °． 13．（5分）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为10g，20g，30g，40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 　 　 ． 14．（5分）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为0，则m；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为　 　 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为　 　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3． 16．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（﹣1，﹣3）和（2，6）． （1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．（8分）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°．已知AB＝13.20m，求AD的长（精确到0.1m）． 参考数据：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+4（a≠0）与反比例函数y（k≠0）的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C，D，求△COD的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．（10分）某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区5月份的游客中随机抽取50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下：..． 组别 A B C D E 分组 45≤x＜55 55≤x＜65 65≤x＜75 75≤x＜85 85≤x≤95 人数 3 3 15 a 10 请根据以上信息，完成下列问题： （1）a＝　 　 ； （2）这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在　 　 组； （3）若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好．分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，估计该景区5月份的服务质量是否良好，并说明理由． 20．（10分）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°． （1）求证：OC∥AD； （2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长． 六、（本题满分12分） 21．（12分）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为20cm． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加40cm，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为（40x+10）cm． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加①__个正六边形和②__个正三角形，长度增加③__cm；从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④__cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长7.4m、宽6m的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令40x+10≤600，解得x≤14.75，所以每行可以先拼14块拼接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由40×14+10＝570知，所拼长度为570cm，剩余30cm恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形），最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由5×15+1×28＝103知，方案一每行的成本为103元． 由于每行宽度为20cm（按1.73计算），设拼成s行，则20s≤740，解得s21.34，故需铺21行．由103×21＝2163知，方案一所需的总成本为2163元． 方案二：第一行沿着长度为7.4m的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令40x+10≤740⋯ 方案二每行的成本为⑤__元，总成本为⑥__元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①　 　 ；②　 　 ；③　 　 ；④　 　 ；⑤　 　 ；⑥　 　 ． 七、（本题满分12分） 22．（12分）已知点A′在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA′的垂直平分线，连接A′E，A′B． （1）如图1，若BA′的延长线经过点D，AE＝1，求AB的长； （2）如图2，点F是AA′的延长线与CD的交点，连接CA′． （i）求证：∠CA′F＝45°； （ii）如图3，设AF，BE相交于点G，连接CG，DG，DA′，若CG＝CB，判断△A′DG的形状，并说明理由． 八、（本题满分14分） 23．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣2x上（A，B与原点都不重合）． （i）若a，且x1＝x2，比较y1与y2的大小； （ii）当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 2025年安徽省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A． C． A B D B D C C A 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。 1．（4分）在﹣2，0，2，5这四个数中，最小的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．5 【解答】解：∵﹣2＜0＜2＜5， ∴最小的数是：﹣2． 故选：A． 2．（4分）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（　　） A．521.7×108 B．5.217×109 C．5.217×1010 D．0.5217×1011 【解答】解：521.7亿＝52170000000＝5.217×1010． 故选：C． 3．（4分）“阳马”是由长方体裁得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图水平放置的“阳马”的主视图为． 故选：A． 4．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a B．a C．a3•（﹣a）2＝a6 D．（﹣a2）3＝a6 【解答】解：|a|，则A不符合题意， a，则B符合题意， a3•（﹣a）2＝a3•a2＝a5，则C不符合题意， （﹣a2）3＝﹣a6，则D不符合题意， 故选：B． 5．（4分）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0 【解答】解：A、由根的判别式可知：Δ＝02﹣4×1×0＝0， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； B、由根的判别式可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×1＜0， ∴方程有无实数根，不符合题意； D、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 6．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若DE，则AC的长是（　　） A．4 B．6 C．2 D．3 【解答】解：∵∠A＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C（180°﹣120°）＝30°， ∵ED⊥AC， ∴∠CDE＝90°， ∵tanC＝tan30°， ∴DC＝3， ∵D是AC的中点， ∴AC＝2DC＝6． 故选：B． 7．（4分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点M（1，2），且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（　　） A．（﹣2，2） B．（2，1） C．（﹣1，3） D．（3，4） 【解答】解：根据题意，得k＞0， 把M点和（﹣2，2）代入y＝kx+b得， 解得k＝0， 故A选项不符合题意； 把M点和（2，1）代入y＝kx+b得， 解得k＝﹣1， 故B选项不符合题意； 把M点和（﹣1，3）代入y＝kx+b得， 解得k， 故C选项不符合题意； 把M点和（3，4）代入y＝kx+b得， 解得k＝1， 故D选项符合题意． 故选：D． 8．（4分）在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF＝CH，则下列为定值的是（　　） A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小 C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长 【解答】解：如图，连接EG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E，G分别为边AD，BC的中点， ∴AE＝DE＝BG＝CG， ∴四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形， ∴S△EGFS平行四边形ABGE，S△EHGS平行四边形DEGC， ∴四边形EFGH的面积S平行四边形ABCD， ∴四边形EFGH的面积是定值， 故选：C． 9．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（　　） A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．2b﹣c＜0 D．a﹣b+c＜0 【解答】解：由图象可知抛物线交x轴于点（2，0），另一个交点横坐标在﹣1和0之间， 根据对称性可知对称轴， ∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，故B选项错误； 当x＝﹣1时，可知y＞0，即a﹣b+c＞0，故D选项错误； 观察图象知a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，故A选项错误； 由对称轴的范围可各知b＜﹣a，即b+a＜0， 故4b+4a＜0①， 把点（2，0）代入抛物线中， 得4a+2b+c＝0，故4a＝﹣2b﹣c， 再代入①式中，可得4b﹣2b﹣c＜0， 整理即为2b﹣c＜0，故C选项正确． 故答案为：C． 10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（　　） A．EC﹣ED的最大值是2 B．FB的最小值是 C．EC+ED的最小值是4 D．FC的最大值是 【解答】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF， ∴DE＝DF，∠EDF＝90°， 又∵∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1， 过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH＝AD＝1，延长FH交AB于点I，则四边形ABGD是矩形， ∴∠GDA＝∠ADE+∠EDG＝90°＝∠EDG+∠HDF． ∴∠ADE＝∠HDF， ∴△DHF≌△DAE（SAS）， ∴∠DHF＝∠DAE＝90°， ∴FH⊥DG，即点F在FH上运动， ∴四边形DAIH和四边形BGHI是矩形， ∴HI＝AD＝BG＝1，AI＝DH＝1，BI＝4﹣1＝3， ∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1， ∴，， ∴， ∴BE最大时，EC﹣ED最大， 当点E与点A重合时，F与H重合时，BF最小，此时，ED＝1，，故A错误，符合题意； ，故B正确，不符合题意； 作点D关于AB的对称点M，连接MC，则ED＝EM，AD＝AM＝1，∠BAM＝∠BAD＝90°，过M作MN⊥CB于点N，此时EC+ED≥CM，当C、E、M三点共线时，EC+ED最小， ∵MN⊥CB，∠ABN＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形AMNB是矩形， ∴BN＝AM＝1，CN＝3+1＝4，AB＝MN＝4， ∴EC+ED的最小值，故C正确，不符合题意； 当E与A重合时，， 当E与B重合时，过C作CQ⊥FH，则四边形CQIB是矩形，如图， ∴CQ＝IB＝4﹣1＝3，QI＝BC＝3， ∵△DHF≌△DAE， ∴FH＝AE＝4， ∴QF＝FH+HI﹣QI＝4+1﹣3＝2， ∴， 综上，FC最大值为.故D项正确，不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）计算：|﹣5|﹣（﹣1）＝　6　 ． 【解答】解：原式＝5+1＝6， 故答案为：6． 12．（5分）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为　20　 °． 【解答】解：连接OB， ∵PB与⊙O相切于点B， ∴PB⊥OB， ∴∠OBP＝90°， ∵∠P＝50°， ∴∠POB＝90°﹣∠P＝40°， ∴∠PAB∠POB＝20°， 故答案为：20． 13．（5分）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为10g，20g，30g，40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 　　 ． 【解答】解：由题意可知，20g+50g＝70g，10g+40g＝20g+30g＝50g， 把质量为10g，20g，30g，40g的四件物品分别记为1、2、3、4， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中天平恢复平衡的结果有4种， ∴天平恢复平衡的概率为， 故答案为：． 14．（5分）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为0，则m；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为　2　 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为　11　 ． 【解答】解：（1）∵15÷3＝5...0， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵5÷3＝1…2， ∴15进行二次变换后得到的数为5+1＝6； ∵6÷3＝2…0， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为1×3＝3，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为1﹣1＝0，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则n＝3×3＝9，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则n＝3﹣1＝2，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为2+9＝11， 故答案为：11． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3． 【解答】解：原式•（x+1）（x﹣1） ； 当x＝3时， 原式1． 16．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（﹣1，﹣3）和（2，6）． （1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1． 【解答】解：（1）如图，点D即为所求． 由图可得，点D的坐标为（﹣2，﹣1）． （2）如图，△A1B1C1即为所求． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．（8分）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°．已知AB＝13.20m，求AD的长（精确到0.1m）． 参考数据：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75． 【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E， 由题意得：四边形ABCE为矩形， 所以CE＝AB＝13.20m， 在Rt△ACE中，， 所以（m）， 在Rt△ADE中，， 所以（m）， 因此，AD的长约为37.5m． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+4（a≠0）与反比例函数y（k≠0）的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C，D，求△COD的面积． 【解答】解：（1）由题意得， 解得； （2）由（1）知直线AB对应的一次函数表达式为， 令y＝0，得x＝8，所以OC＝8， 令x＝0，得y＝4，所以OD＝4， 故△COD的面积为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．（10分）某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区5月份的游客中随机抽取50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下：..． 组别 A B C D E 分组 45≤x＜55 55≤x＜65 65≤x＜75 75≤x＜85 85≤x≤95 人数 3 3 15 a 10 请根据以上信息，完成下列问题： （1）a＝　19　 ； （2）这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在　D　 组； （3）若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好．分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，估计该景区5月份的服务质量是否良好，并说明理由． 【解答】解：（1）由题意得，a＝50﹣3﹣3﹣15﹣10＝19， 故答案为：19； （2）把50人对景区的服务质量评分从小到大排列，排在第25和第26个数都在D组， 故这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组， 故答案为：D； （3）由题意知，游客评分的平均数为： （分）， 因为76＞75，所以该景区5月份的服务质量良好． 20．（10分）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°． （1）求证：OC∥AD； （2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB+2∠ABC＝180°． ∴∠DAB+∠AOC＝180°， ∴OC∥AD． （2）解：连接BD，交OC于点E， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC∥AD， ∴， ∵OA＝OB， ∴EB＝DE， ∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线， ∴， 设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1， 在Rt△OEB中，BE2＝OB2﹣OE2＝r2﹣1， 在Rt△CEB中，BE2＝BC2﹣CE2＝12﹣（r﹣1）2， 即r2﹣1＝12﹣（r﹣1）2， 解得r1＝3，r2＝﹣2（舍去）， 故AB＝2r＝6． 六、（本题满分12分） 21．（12分）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为20cm． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加40cm，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为（40x+10）cm． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加①__个正六边形和②__个正三角形，长度增加③__cm；从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④__cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长7.4m、宽6m的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令40x+10≤600，解得x≤14.75，所以每行可以先拼14块拼接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由40×14+10＝570知，所拼长度为570cm，剩余30cm恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形），最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由5×15+1×28＝103知，方案一每行的成本为103元． 由于每行宽度为20cm（按1.73计算），设拼成s行，则20s≤740，解得s21.34，故需铺21行．由103×21＝2163知，方案一所需的总成本为2163元． 方案二：第一行沿着长度为7.4m的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令40x+10≤740⋯ 方案二每行的成本为⑤__元，总成本为⑥__元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①　1　 ；②　6　 ；③　60　 ；④　60y+10　 ；⑤　126　 ；⑥　2142　 ． 【解答】解：项目主题：观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为20cm，观察图4可得 增加的长度为3个边长，即3×20＝60（cm）， 计算y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的10cm，每增加一个拼接单元长度增加60cm，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为（60y+10）cm； 项目分析：计算方案二每行可拼接的单元数量令40x+10≤740， 移项可得40x≤740﹣10，即40x≤730， 两边同时除以40，解得x≤18.25， ∴每行可以先拼18块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量， ∵拼18块拼接单元， ∴共用去18个正六边形和2×18＝36个正三角形组件． 由40×18+10＝730知，所拼长度为730cm， 剩余740﹣730＝10cm，无法再摆放组件． 由5×18+1×36＝90+36＝126知，方案二每行的成本为126元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本126×17＝2142． 方案二所需的总成本为2142元． 项目实施： 两种方案比较可知：2163＞2142． ∴选方案二完成实践活动． 故答案为：①1；②6；③60；④60y+10；⑤126；⑥2142． 七、（本题满分12分） 22．（12分）已知点A′在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA′的垂直平分线，连接A′E，A′B． （1）如图1，若BA′的延长线经过点D，AE＝1，求AB的长； （2）如图2，点F是AA′的延长线与CD的交点，连接CA′． （i）求证：∠CA′F＝45°； （ii）如图3，设AF，BE相交于点G，连接CG，DG，DA′，若CG＝CB，判断△A′DG的形状，并说明理由． 【解答】（1）解：∵BE是线段AA′的垂直平分线， ∴A′E＝AE＝1，BA′＝BA， ∴BE＝BE， ∴△ABE≌△A'BE（SSS）， ∴∠BAE＝∠BA'E＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝45°， ∴△A'DE是等腰直角三角形， ∴A'D＝A'E＝1， ∴DE， ∴AD＝AE+DE1， ∴AB＝AD＝A'B1； （2）（i）证明：由题意知，BA＝BA′＝BC， ∴∠BAA′＝∠BA′A，∠BCA′＝∠BA′C， ∴∠AA'C＝∠AA'B+∠CA'B（180°﹣∠ABA'）（180°﹣∠CBA'）＝180°﹣45°＝135°， ∴∠CA′F＝180°﹣∠AA′C＝45°； （ii）解：△A′DG是等腰直角三角形，理由如下：作CN⊥BG交BG于点M，交AB于点N， ∵CN⊥BG，CG＝CB， ∴M为BG的中点， ∵AA′⊥BE， ∴CN∥AF， ∴MN是△ABG的中位线， ∴， ∵∠ABE＝90°﹣∠CBG＝∠BCN，∠BAE＝∠CBN＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCN（ASA）， ∴， ∵E为AD的中点，AG＝GA′， ∴EG∥A′D， ∴∠DA′G＝∠EGA＝90°， 同理可证△ADA′≌△BAG（ASA）， ∴A′D＝AG＝A′G， ∴△A′DG是等腰直角三角形． 八、（本题满分14分） 23．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣2x上（A，B与原点都不重合）． （i）若a，且x1＝x2，比较y1与y2的大小； （ii）当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 【解答】解：（1）由题意得，将点（4，0）代入y＝ax2+bx得， 16a+4b＝0，即b＝﹣4a， ∴， 故所求抛物线的对称轴是直线x＝2． （2）①由（1）可知，抛物线的解析式为． 又∵x1＝x2， ∴． ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴x1≠0， ∴， 故y2＞y1； ②由题意知，，， ∵， ∴， ∵两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以x1≠0，x2≠0． 故，即x2＝a（x1﹣4）+2． ∴， 依题意知，是与x1无关的定值． 不妨将x1＝1和x1＝2分别代入，可得2﹣3a＝1﹣a， 解得， 经检验，当时，是一个与x1无关的定值，符合题意． ∴，b＝﹣4a＝﹣2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$