专题四 数与形结合的规律-【通成学典】2025年四年级数学暑期升级训练（北师大版）

华罗庚为中国数学发展作出了卓越贡献,被誉为“中国现代数学之父”。 采蜜角 27 专题四 数与形结合的规律 数与形有密切的联系,在数学学习中,很多“形”可以用“数”来概括,“数”也可 以用“形”来表示。探究“形”中包含的数学规律,要认真观察“形”的特点,从特殊 到一般,可以用含有字母的式子表示“形”的规律,再用探索出的规律进一步解决 数与形结合的问题。 类型一 简单图形覆盖现象中的规律 问题 例1 把从1到100的自然数按下面的 方式排列,用如图所示的平行四边形去 圈数,圈出的6个数的和为84。若用这 个平行四边形圈出的数的和为432,则 圈出的最大数为多少? 点拨:观察圈出的6个数,可以看出:若 上面一行第一个数为a,则上面一行的 第二、三个数分别为a+1 􀪍􀪍􀪍 ,a+2 􀪍􀪍􀪍 ,下面一 行从左到右依次为a+6 􀪍􀪍􀪍 ,a+7 􀪍􀪍􀪍 ,a+8 􀪍􀪍􀪍 , 由此将6个数相加求和。当圈出的数的 和为432时,求出a 的值,再求出圈出 的最大数a+8的值。 解答: 运用观察法探究覆盖现象中的等量关系 解答此类题的关键是找出数的排列规 律,然后根据规律分析等量关系,再根据等 量关系解决问题。 类型二 数与形结合的规律 例2如图所示为一组有规律的图案,第 1个图案由5个基本图形组成,第2个 图案由8个基本图形组成,第3个图案 由13个基本图形组成……第5个图案 由多少个基本图形组成? 第10个图案 由多少个基本图形组成? 点拨:观察前3个图案,可以找到规律: 第1个图案由12+4=5(个)基本图形 组成,第2个图案由22+4=8(个)基本 图形组成,第3个图案由32+4= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆28 13(个)基本图形组成……所以第n个 图案由(n2+4)个基本图形组成。 解答: 运用“由特殊到一般”的方法探索规律 探索图案中的规律时,可以根据给出的 图案找出规律,并用含有字母的式子表示出 一般规律,从而解决问题。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 下图中框出的3个数的和是72,在图中移动这个框,可以使每次框出的3个数的 和各不相同。 (1) 每次框出的3个数的和是中间的数的 ( )倍。 (2) 如果框出的3个数的和是210,那么这 3个数分别是( ),( ),( )。 (3) 一共可以框出( )个不同的和。 2. 小明有许多截面是六边形的铅笔,有一天他在做围铅笔游戏。如图,中间有1支 铅笔,周围需要用6支铅笔把它围住。 (1) 照这样的围法,你知道围第2圈需要多少支铅笔吗? 围第3圈、第4圈呢? 围一围,填写下表。 次 序 围第1圈 围第2圈 围第3圈 围第4圈 需要的铅笔支数 (2) 观察上表,你发现了什么规律? 根据这个规律,你能推算出围第5圈、第 8圈、第10圈分别需要多少支铅笔吗? 数学(北师版)四年级 82 可知第一排的两摞碗,每摞有4只,第二排的 一摞碗有2只,所以桌子上一共放了4+4+ 2=10(只)碗。 专题四 数与形结合的规律 [例题导引] 例1 解答:设圈出的上面一行的第一个数为 a,则圈出的6个数的和为a+(a+1)+(a+ 2)+(a+6)+(a+7)+(a+8)=6a+24。当 圈出的数的和为432时,6a+24=432,解得 a=68。圈出的最大数为68+8=76 例2 解答:52+4=29(个) 102+4= 104(个) [提优训练] 1. (1) 3 (2) 48 70 92 (3) 24 2. (1) 6 12 18 24 解析:由题图可知,围 第1圈需要6支铅笔,围第2圈需要12支铅 笔,可以尝试画一画,确定出围第3圈和围第 4圈需要的铅笔支数。 (2) 规律:围第n 圈需要6n 支铅笔 围第 5圈:6×5=30(支) 围第8圈:6×8=48(支) 围第10圈:6×10=60(支) 解析:由(1)中表 格里的数据可知,多围1圈,围的这一圈就比 围里面一圈多用6支铅笔,因此围第n圈需要 6n支铅笔。据此即可求出围第5圈、第8圈、 第10圈分别需要的铅笔支数。 专题五 竖 式 谜 [例题导引] 例1 解答: 1 0 .2 8 - 9 .6 5 0 .6 3 例2 解答: 3 .5 3 × 2 .8 2 8 2 4 7 0 6 9 .8 8 4 或 3 .0 3 × 2 .8 2 4 2 4 6 0 6 8 .4 8 4 [提优训练] 1. 答案不唯一,如 6 .0 9 + 8 .9 2 1 5 .0 1 7 .0 9 + 7 .9 2 1 5 .0 1 2. 3 6 .3 × 0 .1 2 7 2 6 3 6 3 4 .3 5 6 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)四年级