专题二 差倍问题-【通成学典】2025年三年级数学暑期升级训练（北师大版）

白日依山尽,黄河入海流。欲穷千里目,更上一层楼。 ———[唐]王之涣《登鹳雀楼》 采蜜角 23 专题二 差倍问题 已知两个数的差与两个数之间的倍数关系,求这两个数,这样的问题叫作差 倍问题。解决差倍问题,可以根据题意画出示意图,从而帮助我们正确列式解答。 解决差倍问题的关键是要找出两数的差以及与其对应的倍数,从而求出1倍数, 再求出几倍数。 类型一 简单的差倍问题 例1 花坛里月季花的数量是牡丹花的 4倍,比牡丹花多78棵。花坛里的月季 花和牡丹花各有多少棵? 点拨:根据题意,可以画出下面的示 意图。 将牡丹花的数量看作1份,月季花的数 量就是这样的4份,78棵被平均分成 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 4-1=3(份) 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,其中的1份就是牡丹花的 数量。牡丹花的数量确定后,即可根据 倍数关系求出月季花的数量。 解答: 运用画图法解决差倍问题 解决差倍问题可以通过画示意图,使题 中的数量关系一目了然。差倍问题中的数 量关系:差÷(倍数-1)=较小数,较小数× 倍数=较大数。 类型二 稍复杂的差倍问题 例2一个两层书架,上层放书的数量是 下层的5倍。从上层取出30本放到下 层,上层放书的数量还比下层多12本, 原来下层放了多少本书? 点拨:根据“从上层取出30本放到下层, 上层放书的数量还比下层多12本”,可 以画出下面的示意图。 从图中可以清楚地看出,原来上层放书 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆24 的数量比下层多30×2+12=72(本) 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 , 这样将题中的“从上层取出30本放到下 层,上层放书的数量还比下层多12本” 转化成原来上层比下层多72本。由“上 层放书的数量是下层的5倍”可知,原来 上层比下层多的数量是下层的5-1= 4倍,把72本平均分成4份,其中的 1份就是原来下层放书的数量。 解答: 运用转化法解决差倍问题 对于数量关系比较复杂的差倍问题,可 以通过转化法将复杂条件转化为两个数的 差,从而使问题得以解决。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 某小学三(1)班开展了“保护环境,回收废电池”活动。男生回收的废电池数量是 女生的3倍,比女生多回收98节。男生和女生各回收废电池多少节? 2. 原来甲仓库的货物的质量比乙仓库的多560吨,如果两个仓库分别运走货物 9吨,那么甲仓库剩下的货物的质量是乙仓库剩下的3倍。甲、乙两个仓库原来 各有货物多少吨? 3. 甲、乙两人原有的图书本数一样多,后来,甲又买了74本新图书,乙从自己的图 书中选出96本送给甲,这时甲的图书本数正好是乙的3倍。甲原有图书多 少本? 数学(北师版)三年级 81 80>78>76 方案三最省钱 (2) 租20条小 船和2条大船最省钱 2 整合提优(三年级全学年) 专题一 和倍问题 [例题导引] 例1 解答:小宇:56÷(1+3)=14(本) 小 美:14×3=42(本) 例2 解答:240+40=280(本) 童话书: 280÷(3+1)=70(本) 连环画:240-70= 170(本) [提优训练] 1. 弟弟:36÷(1+2)=12(个) 哥哥:12×2= 24(个) 2. 2×2=4 1+2+4=7 丙修路队:1400÷ 7=200(米) 乙修路队:200×2=400(米) 甲修路队:400×2=800(米) 解析:根据题意 可知,甲修路队修的长度是丙修路队的2×2= 4倍,全长相当于丙修路队修的长度的1+2+ 4=7倍,用除法求出丙修路队修的长度,再进 一步求出乙修路队和甲修路队修的长度。 3. 320+40=360(棵) 梨树:360÷(1+3)= 90(棵) 桃 树:90×3-40=230(棵) 解析:假设桃树的棵数正好是梨树棵数的 3倍,此时两种果树的总棵数是320+40= 360,运用和倍问题的数量关系求出梨树的棵 数,再根据桃树与梨树实际的倍数关系求出桃 树的棵数。 4. 被减数:120÷2=60 减数:60÷(3+1)= 15 解析:被减数=减数+差,已知被减数、减 数与差的和是120,即被减数是120÷2=60,也 就是差与减数的和是60。因为差是减数的 3倍,所以减数与差的和就是减数的(3+1)倍。 由此用60÷(3+1)可求得减数是多少。 专题二 差倍问题 [例题导引] 例1 解答:牡丹花:78÷(4-1)=26(棵) 月 季花:26×4=104(棵) 例2 解答:30×2+12=72(本) 72÷(5- 1)=18(本) [提优训练] 1. 女生:98÷(3-1)=49(节) 男生:49×3= 147(节) 2. 乙仓库:560÷(3-1)=280(吨) 280+9= 289(吨) 甲仓库:289+560=849(吨) 解析:因为两个仓库运走的货物质量相同,所 以两个仓库的货物质量的差不变。已知此时 两个仓库的货物质量的倍数关系,用差倍问题 中的数量关系先求出此时乙仓库的货物质量, 再加上运走的货物质量就是原来乙仓库的货 物质量,最后根据原来两个仓库的货物质量差 求出原来甲仓库的货物质量。 3. 74+96×2=266(本) 266÷(3-1)= 133(本) 133+96=229(本) 解析:因为甲、 乙两人原有的图书本数一样多,所以甲又买了 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析 82 74本新图书,乙从自己的图书中选出96本送 给甲后,甲比乙多74+96×2=266(本)。已知 这时两人图书数量的倍数关系,用差倍问题中 的数量关系求出这时乙的图书的数量,再加上 送给甲的96本,求出乙原有图书的数量,也就 是甲原有图书的数量。 专题三 和差问题 [例题导引] 例1 解答:方法一:120+32=152(棵) 杨 树:152÷2=76(棵) 柳树:76-32=44(棵) 方法二:120-32=88(棵) 柳树:88÷2= 44(棵) 杨树:44+32=76(棵) 例2 解答:5×2+3=13(千克) 甲筐:(85+ 13)÷2=49(千克) 乙筐:85-49=36(千克) [提优训练] 1. 上 衣:(560+80)÷2=320(元) 裤 子:560-320=240(元) 2. 6+8×2=22(张) 芳芳:(60-22)÷2= 19(张) 冬冬:60-19=41(张) 解析:冬冬 和芳芳原来共有60张画片,根据“冬冬给了玲 玲6张画片,又给了芳芳8张画片后,冬冬和芳 芳两人的画片张数同样多”可知,原来冬冬比 芳芳多6+8×2=22(张)画片。已知原来冬 冬、芳芳画片数量的和与差,即可求出冬冬和 芳芳原来各有的画片数量。 3. 一号车:(98-18)÷2=40(吨) 二号车: 98-40=58(吨) (58+2)÷2=30(吨) 三 号车:98-40-30=28(吨) 40>30>28 三 辆车中运货最多的运了40吨 解析:由“一、 二、三号车一共运货物98吨,一号车运的货物 比其他两辆车合起来运的少18吨”可知,一号 车运了(98-18)÷2=40(吨),其他两辆车共 运98-40=58(吨),再根据“二号车比三号车 多运2吨”可知,二号车运了(58+2)÷2= 30(吨),从而求出三号车运的货物的质量,再 比较大小即可求解。 专题四 还原问题 [例题导引] 例1 解答:60 例2 解答:(95+20)×2=230(米) (230+ 10)×2=480(米) [提优训练] 1. 77-9=68(岁) 68÷2=34(岁) 34+5= 39(岁) 39÷3=13(岁) 2. 45×2=90(页) (90+10)×2=200(页) 解析:45就是第一天看后剩下页数的一半,所 以乘2就是第一天看后剩下的页数,第一天看 后剩下的页数加上10就是全书页数的一半, 再乘2就是全书的页数。 3. 15×2=30(个) 30+35=65(个) 65× 2=130(个) 解析:由“又拿出剩下的一半放 到第四堆里,最后第一堆还有15个”可知, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)三年级