安徽省阜阳市2024-2025学年高二下学期教学质量统测（7月期末）数学试题

阜阳市高二年级教学质量统测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 显 题目要求的. 1.集合A={0,1,2,3,4},B={1,2,3,5},则C(A∩B)= 如 A.0,4 B.{0,3 C.(0,5} D.{0,2,3,4 2.已知a,b是单位向量，则下列四个结论正确的是 的 A.a=b B.a·b-1 C.a2≠b D.a2=b3 长 3.若x0为x2+x+1=0的复数根，则x}= A.1 B.2 C.3 D.4 4.函数f(x)=10(x十1)e+1的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 瑞 5.圆C,:x+y2=4与圆C2:x2+y2-4x十4=a的公共弦长为22，则a的值为 A.12或4 B.12或-4 C.16或4 D.16或-4 6.sim40(tan10°-√3)的值为 A.-1 c- 7.某封闭圆柱形容器的轴截面是边长为4的正方形，一个半径为1的小球在容器内可以自由运 动，则小球不能触碰到的容器内壁面积为 A.4元 B.8π C.14元 D.16π 8.已知函数f(x)为R上的奇函数，∫(1)=1，且Vx∈(-∞，0)，∫(x)=xf(1一x),则 1k+1Df2026-)= 入周 220M 2 220s B.20261 C.2025 D.20251 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 ￥ 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知一组数据x1,x,…,x0是公差不为零的等差数列，若去掉首末两项，则 A.平均数不变 B.中位数不变 C.方差不变 D.极差变小 【高三数学第1页（共4页）】 10.已知函数f)=十an王 1一tan工，则以下说法正确的是 A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的值域为[-1,1] C.f(x)的对称中心为(kπ，0)(k∈Z) D.f(x)的单调递减区间为(kπ，kx+)(k∈Z 山我们知道，方程气+菁1表示的曲线是椭圆，它有很多优关的性质，对于曲线C: 、3 =1的性质，以下说法正确的是 A.曲线C是中心对称图形 B.若P(x,y)为曲线C上一动点，则x2+y2的最小值为4 C.直线2x一3y+4=0与曲线C只有一个公共点 D.若直线y=kx与曲线C没有公共点，则k∈[0，W3) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12已知抛物线y=女的准线过椭圆C二+号-1的焦点，则椭圆C的高心率为 l3.已知函数f(x)=ae+e的图象关于直线x=ln2对称，则a的值为 14.如图，在正八面体EABCDF中，有一质点每次从正八面体的某一顶点 等可能地跳到相邻的4个顶点，则次后质点回到初始位置时的概率 为 ▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+bc=b2+c2 (1)求A; (2)若a=2,b=26 ,求△ABC的面积 16.(15分) 如图1，在直角梯形ABCD中，CD=2AB=2,AB∥CD,∠BCD=60°.沿BD将△BCD翻 折到△PBD的位置，如图2所示，得到三棱锥P-ABD,且PA=√3. (1)证明：AB⊥平面PAD. (2)求直线PB与平面ABD所成角的正弦值， 图1 图2 17.(15分) 为更好地服务群众，结合本地实情制定“焕新”补贴实施细则，阜阳市商务局对广大市民的需 求进行问卷调查.已知热心参与问卷的市民有N(N>30)名，商务局决定专门为他们设置两 次网上抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这N名市民中抽取20名市民，被抽 中的市民会被赠送礼品，记两次抽中的市民总人数为X(不重复计数). (①)若甲是这N名市民中的一人，且甲被抽中的概率为25，求N, (2)求使P(X=30)取得最大值时的整数N. 18.(17分) 设函数c)在区间1上的图象是连续不断的，如果对1上任意：，恒有专)≤ f,那么称y=f(x)在1上是凹函数：如果恒有∫(2)≥ 2 fu)十fc》,那么称y=fx)在1上是凸函数若y=k红十6是四函数f(x)的一条切 2 线，则总有f(x)≥kx十b成立，而凸函数则相反.已知f(x)=xln工. (D已知A(0,一1)，求过点A且与曲线f(x)相切的直线方程； (2)判断f(x)=xlnx在(0，十o∞)上是凹函数还是凸函数，并加以证明： ③证明2一麦 务 学 常 z 19.(17分) 洲 已知双线C芬若-1a>0,6>0,P是双曲线C右支上的一个动点，且P到取曲线 相 C的两条痛近线)=士v2:的距离之积为号 哦 (1)求双曲线C的标准方程 (2)过点P作直线（交双曲线C的左支于点Q,分别交两条渐近线于点A,B. (1)是否存在直线1，使得R(1,1)为PQ的中点？若存在，求出直线1的方程：若不存 医 在，请说明理由 （1)当OP>2时，直线1与圆0：x+y=2相切，求8 的取值范围， ▣▣ 【高二数学第4页（共4页）】阜阳市高二年级教学质量统测 数学参考答案 一：单选题：1-4：ADAC5-8:BACD 二：多选题9：ABD 10:AD 11:ACD 三：填空题12：： 13:片14：名+(-) 四：解答题 15.【解析】解：(1)由题意可知，b2+c2-a2=bc, 所以cosA b2+c2-a21 2bc 2’…3分 又A∈(0，π)，.4分 所以A= 3 ..5分 26 b a (2)在△4BC中， 即、3 2 ， 解得sinB= ,7分 sin B sin A sin B 3 2 2 又A=5，故B=花，所以C=7四 3 4 12..9分 sin C=sinz=sin 12 04+3=”4C0s女 +cos sin+ 3 434 ..11分 Sun =absinC=3+ 1 2 12.13分 16:证明：(1)在直角梯形ABCD中，因为=2=2，∠BCD=60°，易得△ 为边长为 2的等边三角形.…2分 所以2+2=4=2，则1，…4分 又⊥，PAOAD=A.5分 则1平面6分 2)几何法：因为。=兰，。=2,8分 记点到平面 的距离为， 由-=-得=9× =26 .12分 记与平面 所成的角为，则sin=一=515分 坐标法：因为⊥平面，且c平面，则平面 1平面 过点作的垂线，垂直足为，则⊥平面 .如图建立空间直角坐标系。.8分 在△ 中，因为=2，= =3,则 =26 3 ,.10分 3 所以(0,02，（←510则=（停-1291分 而平面 的法向量=(0,0,1)，.12分 则cos<，>=而=学14分 即与平面 所成的角的正弦值为号15分 17:(1)记A=“甲被抽中”，A=“第i次被抽中”(i=1,2),则 P团=P44)=C.-N-20.N-2016 N N254分 解得：N=1005分 (3)由于PX=30)=CCC_CC CC ，…8分 之，即求了在何时取到最大值，下面讨论/ (N-19)1 N! f(N+1) C,c2-10N-2920N-20_0N-19N-19211B分 f(N) N+1)月 (N+H)N-29) 20:N-19)10:(N-30)1 解得N≤39，所以，当N=39或40时，P(X=30)取到最大值15分 18(1)'()=ln+1,令切点(o,olno), 则过点的切线方程=n0+1)(-)+on0,.2分 因为切线过点(0，-1)，则-oQn0+1)+0ln0=-1,解得0=1..3分 所以切线方程为=-1..4分 2令0<1≤2，则（)-4②=21n些-(n1+2nz) 2 =m些-n)+血安-n)=n是+n是 =(血2+1n）7分 不妨令=，则n贵2+n贵=h(+号)+n侵+月8分 记()=ln(G+2)+n(侵+)， 则'()=+m(侵+)-右五=n(侵+)9分 因为≥1，所以+≤1，则()≤0，所以()在(1，+)单调递减， 则()≤(1)=0，.10分 所以（生）-42=m号2+n2）s0, 从而（)≤牛卫，所以()是凹函数…12分 (该问若利用构造()=（之)-+卫，过程正确，也给分) 2 (3)由题意，因为()是凹函数，且=-1是它的切线，则()≥-1；.13 分 记W=（>0) 则-1-(W-)=2-1-(-)= (2-1)(1-)=+-D≥0,16分 即-12V-子所以()≥√-子17分 (该问若直接证明，过程正确也给分) 19(1)设P(m,.由于两条渐近线为y=士V2x,则有号-7=1…1分 Pm,m到两条渐近线为y=士V2x的距离之积为-=…2分 3 则解得=1 所以双曲线C的方程为x2-兰=13分 (2)(i)设P(x1,y1),Q(x2,y2),且x1≠2： 因为P,Q在双曲线上， x12-2=1 所以 2 x22-g=1 ，两式相减可得(x12-22)-20y12-y2)=0,4分 2 所以(&1-x2)x1+x2-1-y2)01+y2)=0, 若点R(1,1)为线段AB的中点， +2=1 则2 =1' 即%+为=2 y+y2=2,代入上式，5分 2 所以x-2=1-y2,则直线1的斜率k=兴=2,6分 X1-X2 所以直线I的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,…7分 y=2x-1 将直线1与双曲线联立 2-号=1’可得2x2-4x+3=0,. 2 △=(-4)2-4×2×3=-8<0，故方程无解8分 所以不存在这样的直线1，综上，点R不能是线段PQ的中点9分 (i)设切点M(s,t),则切线1的方程为sx+ty=2,且s2+t2=2,10分 x2+y2=2 1s<2 x2-苦=1解得 由 所以 3 2=3 S<H≤2 .11分 P(x1y1),Q(x2,y2),A(x3.y3),B(X4.y4). (Sx ty =2 由 x2-号=1 ， 消去y得(2t2-s2)x2+4sx-4-2t2=0，所以 2 X1+X2=- 45 2t2-s2 -4-22；…12分 X1X2= 2t2-s2 (sx ty =2 4s x2-号=0’消去y得(22-sx2+4sx-4=0,所以 X3十X4=一 由 22-52 -4 2 X3X4=22-5 .13分 所以1PQ=12+()}x,-x小AB=12+(←)x-x 所以PO=1-型=1+2-41 x3-x4 VX3+x4)2-4X3X4 16s2+(16+8t2)(2t2-s2) √32t2+16-8t2s2 /16s2+16(2t2-s2) √32t2 =1+2-s2, .15分 又2=2-，所以1+-82=1+-0-西=层+把， 因为9<川≤2，所以<P≤2，所以1<+≤2，所以1<+0≤2， 即8=、1+-s2e(1,V☑7分