专题31 抛物线（练习题） - 河北省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第31个专题 抛物线。本专题涵盖抛物线的标准方程与几何性质、抛物线的综合运用等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题31 抛物线（练习题） 一、选择题 1．已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程可得，即可求解. 【详解】由可得， 故，故， 故抛物线的焦点到准线的距离为， 故选：C 2．抛物线的准线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的方程，根据准线的概念与方程，可得答案. 【详解】易知抛物线的焦点在y轴上，开口向下，且，则准线方程. 故选：A． 3．抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得即可判断焦点坐标. 【详解】，即，则，则其焦点坐标为. 故选：A. 4．已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用准线的性质求出，再求出标准方程即可. 【详解】因为抛物线的准线方程为，所以， 解得，则该抛物线的标准方程为，故D正确. 故选：D 5．以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点位置，设其标准方程，求出的值，即得. 【详解】由题意，抛物线方程形如，因，解得， 故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 6．准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由准线方程求出抛物线的标准方程即可求解. 【详解】由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为. 因为抛物线的准线方程为，所以，即，所以该抛物线的标准方程为． 故选：D. 7．若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入点的坐标可得，即可得标准方程求解. 【详解】将代入可得，解得， 故抛物线的标准方程为， 故准线方程为， 故选：A 二、填空题 1．已知抛物线焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，则 ． 【答案】2 【分析】利用抛物线的定义进行距离转化即可求得. 【详解】由抛物线的定义，等于点到抛物线的准线的距离， 因，代入，解得， 故. 故答案为：2. 2．抛物线上与焦点的距离等于6的点的横坐标为 . 【答案】4 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】依题意，， 根据抛物线的定义可知. 故答案为：4 3．已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的几何性质可求的值. 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 故答案为：. 4．抛物线的焦点到其顶点的距离为 ． 【答案】/0.25 【分析】求出抛物线的焦点及顶点即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，顶点为， 所以该抛物线的焦点到其顶点的距离为. 故答案为： 一、选择题 1．已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上，若M到直线的距离为5，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点为，准线方程为， 点在上，所以到准线的距离为， 又到直线的距离为5，所以，故. 故选：A. 2．已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的性质得到椭圆的基本量，再求解离心率即可. 【详解】由题意得的焦点为，则，而， 得到，即方程为，得到离心率，故D正确. 故选：D 3．已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（    ） A．18 B．9 C．4 D．2 【答案】D 【分析】由抛物线的焦半径公式，可直接得到答案. 【详解】由抛物线定义得， 又，解得． 故选：D 4．过抛物线的焦点且斜率为1的直线与该拋物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线，然后根据过焦点直线方程和抛物线联立求得线段中点横坐标即可求得答案. 【详解】解：由题意得： 的交点坐标为，准线为 直线，设 联立直线和双曲线方程可知： 有韦达定理可知： 线段的中点横坐标为： 故线段的中点到准线的距离为 故选：B 5．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若的中点的横坐标为2，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】结合抛物线的弦长公式求得正确答案. 【详解】设点的横坐标分别为，则. 由过抛物线的焦点的弦长公式知：. 故选：C 6．过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于点A、B两点，的中点为M．若．则点M的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由题意可得抛物线的焦点坐标，设点M、A、B的坐标，结合抛物线的定义和中点坐标公式即可求解. 【详解】由题意知焦点， 设， 有 则，所以， 所以点M的横坐标为3， 故选：B 二、解答题 1．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义求解； （2）利用韦达定理求得，再根据抛物线的定义求解即可. 【详解】（1）根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2） 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 2．已知抛物线：的准线与轴相交于点， (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据准线与轴交点得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）分斜率不存在和存在两种情况，设出直线的方程，与抛物线联立，根据根的判别式得到方程，求出，求出切线方程. 【详解】（1）抛物线：的准线与轴相交于点， 所以，则，抛物线方程为； （2）当直线的斜率不存在时，也抛物线无交点，不合要求， 当直线的斜率存在时，设为，与抛物线联立， 得，因为直线与抛物线相切， 所以，解得或， 所以切线方程为或. 3．已知曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大． (1)求曲线的方程； (2)求过定点且与曲线只有一个公共点的直线的方程． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据抛物线的定义可得抛物线方程； （2）分情况讨论，当直线平行与抛物线对称轴时可得直线方程，当直线斜率不存在时可得直线方程，当直线既不平行于对称轴也满足斜率存在时，设直线的点斜式方程，联立直线与抛物线，根据，可得解. 【详解】（1）由曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大， 可知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等， 由抛物线的定义可知曲线为抛物线，且焦点在轴上，焦点坐标为， 所以曲线的方程为； （2）当直线过点且斜率为，即直线与抛物线的对称轴平行时， 直线与曲线有一个公共点，此时直线的方程为； 当过的直线的斜率不存在时，即直线的方程为， 显然与抛物线相切，直线与曲线有一个公共点． 当过的直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，整理得， 则，即，解得， 此时直线的方程为． 综上所述，满足条件的直线的方程为或或. 4．已知过的直线交抛物线于A，B两点，其中O为坐标原点． (1)求证：； (2)若线段AB的中点的纵坐标为1，求|AB|． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）把直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示即可证明； （2）由中点坐标公式可得，再由弦长公式求解. 【详解】（1）当直线l的斜率为0时，显然不符合题意， 设直线， 联立，整理可得：， 由韦达定理可得：               则，所以． （2）因为线段AB的中点的纵坐标为1， 所以，所以，   所以， 所以． 5．已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的右顶点为． (1)求的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标即可得到，从而得到其标准方程； （2）联立直线与抛物线方程，结合弦长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以的右焦点坐标为， 所以，即， 所以的方程为． （2）依题意可得直线的方程为． 由得． 设，则， 则．    6．已知抛物线 经过点 . (1)求 的值和抛物线 的准线方程； (2)已知直线 与抛物线交于 两点，求 . 【答案】(1). (2). 【分析】（1）代入，求解即可； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式求解即可. 【详解】（1）解：代入 ， 得解得， 所以准线方程是； （2）解：由， 可得， 设方程的两根为， 则，， 所以. 7．已知抛物线，点，直线，记A关于l的对称点为B，且B在抛物线W上. (1)求直线l与直线AB的交点坐标； (2)求抛物线W的标准方程； (3)求直线AB被抛物线W截得的弦长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题设知直线，求得直线的方程，再将其与直线l的方程联立，即可求得交点坐标； （2）先按求对称点的方法求出点坐标，再用待定系数法即可抛物线W的标准方程； （3）将直线AB的方程与抛物线的方程联立求出另一个交点坐标，再用两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）因为A关于l的对称点为B，所以直线AB与l垂直. 因为l的斜率为所以直线AB的斜率为 故直线AB的方程为 联立，解得 故两直线的交点坐标为 （2）易知点是线段AB的中点， 设所以，解得 将B的坐标代入抛物线W的方程，得，解得 故抛物线W的标准方程为 （3）由（1）得， 由（2）得， 联立，得 设直线AB与抛物线W的另一个交点为， 因为，所以，解得， 故 所以 故直线AB被抛物线W截得的弦长为 8．已知抛物线的焦点到准线的距离是. (1)求抛物线的方程和准线方程； (2)若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长． 【答案】(1)， (2)8 【分析】（1）根据抛物线的性质，焦点到准线的距离是，可得解； （2）根据抛物线焦点弦公式求解. 【详解】（1）焦点到准线的距离是， 抛物线的方程为，即.     准线方程为. （2）由（1）知焦点，直线的方程为，                 由 ，消去得，            则，                9．已知焦点位于x轴的抛物线C过点． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 【答案】(1)，准线方程为 (2) 【分析】（1）设出抛物线方程，代入，得到，得到抛物线方程和准线方程； （2）设出直线AB：，联立抛物线方程，得到两根之和，由抛物线焦点弦长公式进行求解. 【详解】（1）由题意可知，抛物线的焦点位于x轴正半轴， 设抛物线的方程为， ∵过点， ∴，解得， ∴抛物线C：，准线方程为； （2）由（1）知，抛物线焦点为，直线AB的倾斜角为， 则直线AB：，设，，    由，得：， 则， 则． 10．已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 11．设直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．求： (1)线段AB的长； (2)AB的中点M的坐标． 【答案】(1)8 (2)（3，2）. 【详解】 解：（1） （解法1：求交点）由 解得或 所以AB＝＝8. （解法2：设而不求——弦长公式） 设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）. 由消去x并整理，得y2－4y－4＝0， 所以Δ＝16＋16＝32>0，y1＋y2＝4，y1y2＝－4，所以x1＋x2＝6， 所以AB的中点M的坐标为（3，2）. 由求根公式得|y1－y2|＝＝4， 所以AB＝＝|y1－y2|＝8. （解法3）（设而不求——焦半径公式） 设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）. 由消去x并整理，得y2－4y－4＝0. Δ＝32＞0，y1＋y2＝4. 因为直线l经过抛物线的交点F（1，0）， 所以AB＝AF＋FB＝x1＋x2＋p＝y1＋y2＋2＋2＝8. （2） 由解法1知AB的中点M的坐标为（3，2）. 【考查意图】 直线被圆锥曲线截得弦长和弦中点问题的处理方法． 12．在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上两点，且线段的中点为，求． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据点点距离公式即可求解， （2）根据点差法求解直线的斜率，即可由焦点弦公式即可求解. 【详解】（1）设，则． 由，可得， 整理得的方程为． （2）设， 因为线段的中点为，所以， 则，则． 所以， 则直线的方程为，显然直线经过点． 由（1）可知，是以为焦点的抛物线，所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第31个专题 抛物线。本专题涵盖抛物线的标准方程与几何性质、抛物线的综合运用等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题31 抛物线（练习题） 一、选择题 1．已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C．8 D．16 2．抛物线的准线方程（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 6．准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 7．若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1．已知抛物线焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，则 ． 2．抛物线上与焦点的距离等于6的点的横坐标为 . 3．已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 4．抛物线的焦点到其顶点的距离为 ． 一、选择题 1．已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上，若M到直线的距离为5，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（    ） A．18 B．9 C．4 D．2 4．过抛物线的焦点且斜率为1的直线与该拋物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若的中点的横坐标为2，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于点A、B两点，的中点为M．若．则点M的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、解答题 1．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 2．已知抛物线：的准线与轴相交于点， (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线相切，求直线的方程. 3．已知曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大． (1)求曲线的方程； (2)求过定点且与曲线只有一个公共点的直线的方程． 4．已知过的直线交抛物线于A，B两点，其中O为坐标原点． (1)求证：； (2)若线段AB的中点的纵坐标为1，求|AB|． 5．已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的右顶点为． (1)求的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 6．已知抛物线 经过点 . (1)求 的值和抛物线 的准线方程； (2)已知直线 与抛物线交于 两点，求 . 7．已知抛物线，点，直线，记A关于l的对称点为B，且B在抛物线W上. (1)求直线l与直线AB的交点坐标； (2)求抛物线W的标准方程； (3)求直线AB被抛物线W截得的弦长. 8．已知抛物线的焦点到准线的距离是. (1)求抛物线的方程和准线方程； (2)若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长． 9．已知焦点位于x轴的抛物线C过点． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 10．已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 11．设直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．求： (1)线段AB的长； (2)AB的中点M的坐标． 12．在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上两点，且线段的中点为，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$