专题7 抛物线（讲义） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块6平面解析几何中的第7个专题抛物线。本专题涵盖抛物线的定义、标准方程、几何性质等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题7 抛物线（讲义） 知识点1 抛物线的定义及标准方程 1. 抛物线的定义 (1)抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． (2)抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 2. 抛物线的标准方程 开口向右：（） 开口向左：（） 开口向上：（） 开口向下：（） 知识点2 抛物线的几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 【考试题型1】求抛物线的准线方程 【例1】（24-25高三下·河南·职教高考）抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【考试题型2】利用抛物线方程证明等式 【例2】（2021年·河南对口升学高考）已知抛物线经过点，，，求证：. 【考试题型3】考查抛物线的焦点和准线 【例3】（2019年·河南对口升学高考）抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【考试题型4】求抛物线的焦点坐标 【例4】（2018年·河南对口升学高考）抛物线的焦点坐标是 . 【考试题型5】考查直线和抛物线的位置关系 【例5】（2015年·河南对口升学高考）已知直线过抛物线的焦点 （1）求的值，并写出直线的方程； （2）判断抛物线与直线是否有交点，如果有，求出交点坐标. 题型考点一 抛物线的定义 1．若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（ ） A．6 B．5 C．4 D． 4．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（ ） A． B． C．或 D．4或 5．抛物线上有两个点，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是（ ） A．1 B． C．2 D． 6．已知为抛物线上的一点，点到抛物线焦点的距离为2，则（ ） A．2 B．1 C． D．4 7．若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（ ） A． B． C． D． 8．已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 9．已知抛物线的焦点为，为轴上一点，若，且抛物线经过线段的中点，则（ ） A．8 B． C．4 D． 10．已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离，求抛物线的标准方程. 题型考点二 抛物线的方程 1．已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 2．以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 3．若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 5．过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（ ） A．或 B． C．或 D． 6．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 7．在轴的上方的动点M到定点的距离比到x轴的距离多1，则动点M的轨迹的标准方程为（ ） A． B． C． D． 8．已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 9．焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．平面内动点到点的距离与到直线距离相等. (1)求动点的轨迹方程； (2)设过点的直线交动点的轨迹于两点，求值. 题型考点三 抛物线的几何性质 1．抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 2．抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 3．已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 4．抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5．抛物线的对称轴是直线（ ） A． B． C． D． 6．关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 7．下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（ ） A． B． C． D． 8．对抛物线，下列描述正确的是（ ） A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 9．若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 10．已知抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦点重合. （1）求抛物线C的方程； （2）过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段的中点M到准线的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块6平面解析几何中的第7个专题抛物线。本专题涵盖抛物线的定义、标准方程、几何性质等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题7 抛物线（讲义） 知识点1 抛物线的定义及标准方程 1. 抛物线的定义 (1)抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． (2)抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 2. 抛物线的标准方程 开口向右：（） 开口向左：（） 开口向上：（） 开口向下：（） 知识点2 抛物线的几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 【考试题型1】求抛物线的准线方程 【例1】（24-25高三下·河南·职教高考）抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线的标准方程可求解. 【解析】由，可知抛物线的焦点在的正半轴上，又，所以， 所以抛物线的准线方程为. 故选：B. 【考试题型2】利用抛物线方程证明等式 【例2】（2021年·河南对口升学高考）已知抛物线经过点，，，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为抛物线经过点，， 所以分别带入点，得， ①， ②， 两式相减得：， 因为，所以两边同时消去， 得：，即：，故得证. 【考试题型3】考查抛物线的焦点和准线 【例3】（2019年·河南对口升学高考）抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】抛物线的焦点坐标为：，准线方程为：， 所以焦点到准线的距离为：4， 故选：C. 【考试题型4】求抛物线的焦点坐标 【例4】（2018年·河南对口升学高考）抛物线的焦点坐标是 . 【答案】 【解析】抛物线化成标准形式为：，所以焦点坐标为：. 故答案为：. 【考试题型5】考查直线和抛物线的位置关系 【例5】（2015年·河南对口升学高考）已知直线过抛物线的焦点 （1）求的值，并写出直线的方程； （2）判断抛物线与直线是否有交点，如果有，求出交点坐标. 【答案】（1）（2）有交点，交点坐标分别为：， 【解析】解：（1）抛物线的焦点为，带入直线方程可得的值为：， 所以直线的方程为：. （2）由联立得， 因为，所以有交点， 由求根公式可求得两交点坐标分别为：，. 题型考点一 抛物线的定义 1．若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解. 【解析】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 2．已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由抛物线C：可得，则准线方程为， 于是，解得． 故选：B． 3．已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（ ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【解析】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为. 故选：C． 4．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（ ） A． B． C．或 D．4或 【答案】C 【解析】抛物线开口向左， 依题意，抛物线上的点与点间的距离为3， 所以，抛物线方程为， 令，得，解得， 故选：C. 5．抛物线上有两个点，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即可求出线段中点的横坐标，即得到答案. 【解析】由已知可得抛物线的准线方程为， 设点的坐标分别为和， 由抛物线的定义得，即， 线段中点的横坐标为， 故线段的中点到轴的距离是. 故选：. 6．已知为抛物线上的一点，点到抛物线焦点的距离为2，则（ ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【解析】因为到抛物线焦点的距离为2， 所以由抛物线定义知，，解得. 故选：A. 7．若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将抛物线方程标准化，可得其准线方程 ，运用抛物线的定义转化求解即可. 【解析】将标准化为，所以抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离. 如图所示， 所以，解得. 故选：C. 8．已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程. 【解析】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 9．已知抛物线的焦点为，为轴上一点，若，且抛物线经过线段的中点，则（ ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】设线段与抛物线的交点为，根据抛物线的定义，到焦点和准线的距离相等，均为3，可求的值. 【解析】如图： 设坐标原点为，线段的中点为，抛物线的准线为：，焦点，设点到准线的距离为. 由抛物线的定义知，，所以，解得. 故选：B. 10．已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离，求抛物线的标准方程. 【答案】 【解析】解：由题意抛物线的焦点，准线方程是，，， 所以的标准方程为：. 题型考点二 抛物线的方程 1．已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线的准线方程为， 所以设抛物线方程为，则，得， 所以抛物线方程为， 故选：D. 2．以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆可得， 所以左焦点坐标为，所以以为焦点的抛物线的标准方程为， 故选：C. 3．若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得抛物线的准线方程为到准线的距离等于它到焦点的距离， 则，所以，故抛物线方程为， 故选：B． 4．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出椭圆的焦点坐标，写出抛物线的焦点坐标，列出等量关系，求出，即可得抛物线的标准方程. 【解析】对于椭圆，，，则， 椭圆的焦点坐标为和， 抛物线的焦点的坐标为， 因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B. 5．过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（ ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点的位置设抛物线为，结合所过点求方程. 【解析】由题意，可设抛物线为，又点在抛物线上， 所以，故所求抛物线为. 故选：D. 6．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意设抛物线方程为， 因为抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 故选：C. 7．在轴的上方的动点M到定点的距离比到x轴的距离多1，则动点M的轨迹的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵动点到定点的距离比到轴的距离多1， ∴动点到定点的距离与到直线的距离相等， 根据抛物线的定义可知:动点M的轨迹是抛物线， 并且其焦点为：，准线为：， 所以其抛物线的方程为， 故选：C. 8．已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线定义及可得，进而将点代入抛物线方程即可求得，进而求解C的方程. 【解析】由抛物线的定义，可知，又，， 则，即， 由点在C上，得，结合，解得. 所以C的方程为. 故选：B. 9．焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3）， 当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为， 当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为， 故选：B. 10．平面内动点到点的距离与到直线距离相等. (1)求动点的轨迹方程； (2)设过点的直线交动点的轨迹于两点，求值. 【答案】(1) (2) 【解析】解：（1）因为点到点的距离与到直线距离相等， 所以动点的轨迹是以为焦点的抛物线，其方程为. （2）设直线的方程为， 联立，得， ，. 题型考点三 抛物线的几何性质 1．抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出抛物线的标准方程，求出准线方程. 【解析】由题意，抛物线的标准方程为， 所以抛物线的准线方程为. 故选：C. 2．抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，且抛物线的开口向下， 故焦点坐标为，故焦点坐标为， 故选：D. 3．已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出，进而求出焦点坐标. 【解析】依题意，，解得， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B. 4．抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】抛物线的焦点坐标为：，准线方程为：， 所以焦点到准线的距离为：4， 故选：C. 5．抛物线的对称轴是直线（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线：，所以其关于轴对称， 即对称轴为直线， 故选：D． 6．关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【答案】A 【解析】对选项A，，开口向左，故A正确； 对选项B，，焦点为，故B错误； 对选项C，，准线方程为，故C错误； 对选项D，，对称轴为轴，故D错误. 故选：A. 7．下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线的开口朝下，说明其焦点在轴的负半轴上， 则其满足标准方程 ，又焦点到准线的距离， 所以该抛物线的标准方程为， 故选：B. 8．对抛物线，下列描述正确的是（ ） A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【答案】A 【解析】抛物线方程，化成标准方程形式， 可得其开口向上，焦点坐标为， 故选：A. 9．若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点， 所以，解得， 故选：D． 10．已知抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦点重合. （1）求抛物线C的方程； （2）过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段的中点M到准线的距离. 【答案】(1) (2)3 【解析】解：(1)∵双曲线的焦点坐标为， 又抛物线（）的焦点， ∴，即. ∴抛物线C的方程为. (2)设，，由抛物线定义， 知， ∴，于是线段的中点M的横坐标是1， 又准线方程是， ∴点M到准线的距离等于. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$