专题02 有理数的混合运算的三种考法（压轴题专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题02 有理数的混合运算的三种考法 目录 1 类型一、复杂的有理数的混合运算 1 类型二、有理数的混合运算中的新定义型问题 2 类型三、有理数的混合运算的实际应用 3 5 类型一、复杂的有理数的混合运算 解复杂有理数混合运算题，先明确运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减。同级运算从左至右进行。遇括号先算括号内。注意符号处理，尤其是负号。分步计算，每步确保准确。最后，检查运算顺序和计算结果，确保无误。 例1．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 变式1-1．将1个1，2个，3个，…，个（为正整数）排成一列：1，，，，，，…，，记，，，…，记，，，…，，则 ． 变式1-2． ． ． 变式1-3计算： 类型二、有理数的混合运算中的新定义型问题 解有理数混合运算新定义题，先理解新定义，将其转化为数学表达式。根据新定义，代入给定值进行计算。观察计算结果，找出规律。将规律应用于问题求解，验证答案正确性。 例2．设一种运算程序是（a为常数），如果，，已知，那么 ． 变式2-1．若一个四位自然数的千位数字与百位数字之差的绝对值为十位数字，千位数字、百位数字与个位数字的和恰好为12，且这个四位数能被12整除，那么称这个数为“双12数”． 例如：，∵，，且，∴4404是“双12数”； 又如，∵，，但，∴1655不是“双12数”． 则1764 （填“是”或“否”）“双12数”；若一个“双12数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当为整数时，求出所有满足条件的的平均值为 ． 变式2-2．对于任意一个各数位均不为0的四位数p，同时交换千位与十位，百位与个位的数字得到一个新的四位数，规定．如，则，，则 ．若，，（其中，，且x，y均为整数），当能被4整除时，m的最大值与最小值之和为 ． 变式2-3．【阅读材料】 材料一：进制数与十进制数之间的转换 将进制数转化为十进制数，只要将进制数的每个数字依次乘基数的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定：； 如：； 将十进制数化为与其相等的进制数，用十进制数除以基数，然后将商继续除以，直到商为，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将转化为五进制数： 因为，，，所以 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，，，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借当） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如，，所以①，②． 如，，所以③，④． 【问题解决】 (1)将六进制数转化成十进制数，结果为________；将十进制数转化成二进制数，结果为________． (2)计算： ①； ②． （要求：列竖式表示加减过程，结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则： 乘数 乘数 积 根据以上乘法法则，计算．（结果用二进制数表示） 类型三、有理数的混合运算的实际应用 解有理数混合运算实际应用题，先明确题目要求，提取关键信息。将实际问题转化为数学模型，确定运算顺序。注意单位换算和符号处理。分步计算，每步确保准确。最后，检查计算结果是否符合实际意义，确保答案正确。 例3．幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图有一个类似于幻方的“如圆”，将，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值是（　　） A． B．5 C． D．5或 变式3-1．甲乙两人分别从，两地同时出发匀速相向而行，出发后小时两人相遇，若两人每小时都多走千米，则出发后小时两人相遇在距离中点千米的地方．已知甲比乙行得快，甲原来每小时行________千米（   ） A． B． C． D． 变式3-2某学校举办了迎新春中国象棋比赛，以下是部分选手的积分记录表： 选手 比赛总局数 胜局 平局 负局 积分 A 12 12 0 0 36 B 12 7 3 2 22 C 12 5 4 3 16 D 12 6 0 6 12 E 12 1 18 (1)本次比赛胜一局得______分，平一局得______分，负一局得______分； (2)根据积分规则，请求出选手E在已经进行的12局比赛中胜，平各多少局？ (3)已知某选手F的负局数是胜局数的一半，他的胜局积分能等于平局积分的四倍吗？ 变式3-3【问题情境】 小韩和同学们在周末相约去一家餐厅吃饭，下表为该餐厅的部分菜单： 种类 配餐 价格/元 优惠活动 套餐 份盖饭 消费满元，减元；消费满元，减元，依此类推 套餐 份盖饭杯饮料 套餐 份盖饭杯饮料份小菜 小韩记录了大家的点餐种类，并根据菜单一次性点好．已知他们点的餐共有份盖饭，杯饮料和份小菜． 【数学思考】 （）他们共点了 份套餐（用含的代数式表示）； 【问题解决】 （）若他们所点的套餐中共有杯饮料，求他们实际消费的金额； （）若优惠后他们共花费元，请求出他们的套餐是如何搭配的． 一、单选题 1．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为33102．图2表示一个三位数与一个两位数相乘．下列说法：①；②；③；④运算结果大于16000．根据图1的运算规律判断其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法： ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是； ②不存在任何“加括号操作”的运算结果是； ③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 3．给出一种数的表示方法：设数，其中的值只能取0或1，则称数a为n位本原数．例如，当时，2位本原数a可以表示为四个数．现定义两个n位本原数的加法运算：设，那么有． （1）若，则 ； （2）若d，e均是3位本原数，设，且，则3位本原数 ． 4．联欢会有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D E 演员人数 10 1 2 10 3 彩排时长 25 10 10 15 10 已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目E的演员的候场时间为 min；若使这26位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排． 三、解答题 5．综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0~9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：．例如： 十进制数可以表示为， 即； 二进制数可以表示为， 即． 解决问题 (1)理解应用：将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (2)拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． (3)创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 6．概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方 乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 7．在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门票等．人类使用密码的历史相当久远，约成书于战国时期的中国古代兵书《六韬》中就有关于君主如何在战争中与在外的将领进行保密通信的叙述．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 如下表，小明制定了一种密码规则，将26个英文字母，，依次对应数字1，2，3，……，26．当接收的密文中的英文字母在表格中对应的数字是偶数时，明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母；当数字是奇数时，明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母．例如：接收的密文内容为“”，英文字母“”对应的数字16是偶数，则明文数字为对应的英文字母“s”；英文字母“t”对应的数字20是偶数，则明文数字为对应的英文字母“u”；英文字母“y”对应的数字25是奇数，则明文数字为对应的英文字母“n”，所以密文破译后的明文为“”． 字母 a b c d e f g h i j k l m 对应数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 对应数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 根据以上材料，回答下列问题： (1)密文“”破译成明文为_________； (2)若破译后的明文为“”，请用英文字母写出应该传输的密文，并说明理由； (3)是否存在这样的英文字母，在密文中的英文字母经过破译后的英文字母是同一个，若存在，请找出这样的字母；若不存在，请说明理由． 8．规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如我们把记作，读作“的次商”．记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． (1)关于除方，下列说法错误的是______； 任何非零数的次商都等于； 对于任何正整数，； ； 负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． (2)我们知道，有理数的除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化乘方运算呢？例：． 仿照上面的算式，请你尝试将下列各式写成乘方（幂）的形式： ； ． (3)想一想：将一个非零有理数的次商写成幂的形式等于______； (4)算一算：． 9．综合与实践 根据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，如图1，场地的部分数据如下：①第一圈（最短圈）周长为400米；②直道长为100米． (1)运动员在图1的田径场最短圈上完成1000米比赛，他需要跑___________圈，若终点位于D区域，那么起点应在___________区域（填“A”，“B”，“C”或“D”）； (2)某中学根据国际田联标准并结合本校场地实际，建成一个如图2所示的田径运动场，运动场由足球场、缓冲区和塑胶跑道组成，总占地面积为平方米，其中足球场的长为米，宽为米，两端的缓冲区均为直径米的半圆． ①足球场和缓冲区的总面积是多少平方米？（用含的式子表示，结果保留） ②若塑胶跑道的建造费用为每平方米元，当时，塑胶跑道的建造费用是多少元？（取） (3)该学校举行运动会，初一年级需要在跑道上进行的比赛项目信息如下： 比赛项目 参赛组数 每组用时（分钟） 米接力 米 米 米 已知比赛需满足以下条件：①“米接力”和“米”比赛只能在直道进行；②“米”和“米”比赛需占用整个跑道；③为安全起见，“米”比赛开始分钟后，才能开始下一场比赛；“米”比赛开始分钟后，才能开始下一场比赛．受天气变化影响，以上4个比赛项目需要尽快完成，请你通过计算，设计一个用时最少的方案． 10．对于整数x，规定，例如：，求：的值． 11．观察下列式子： ，，，，， (1)请你依照上述规律，写出第个式子：___________； (2)请写出第个式子：___________； (3)计算：． 12．计算： 13．计算： (1)； (2)； (3)． 14．． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数的混合运算的三种考法 目录 1 类型一、复杂的有理数的混合运算 1 类型二、有理数的混合运算中的新定义型问题 5 类型三、有理数的混合运算的实际应用 10 15 类型一、复杂的有理数的混合运算 解复杂有理数混合运算题，先明确运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减。同级运算从左至右进行。遇括号先算括号内。注意符号处理，尤其是负号。分步计算，每步确保准确。最后，检查运算顺序和计算结果，确保无误。 例1．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题．熟练掌握个位数字的变化规律，确定循环组及组数，是解题关键． 观察发现个位数字是以1、7、9、3为一个循环组，再根据即可得的个位数是7，计算即得个位数字． 【详解】∵，，，，，，… ∴每4个数为一个循环组， ∵， ∴的个位数是7， ∴， 故的个位数字为：8． 变式1-1．将1个1，2个，3个，…，个（为正整数）排成一列：1，，，，，，…，，记，，，…，记，，，…，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字类的规律探究，找出数字规律是解题的关键． 根据题意，可得，再根据找到的数字规律得到，最后将代入即可求得，进而可求得答案． 【详解】∵，， ∴， ∵，，…， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 变式1-2． ． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，数字类的规律探索，对于第一空分别计算出每个括号内的结果，再计算乘法，最后计算减法即可；对于第二空先得到规律，进而得到，据此规律把所求式子裂项求解即可． 【详解】解： ； ， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴ ∴ ． 故答案为：；． 变式1-3计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，设，则，据此可求出，进一步可得，则可证明，据此求解即可． 【详解】解：设， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 类型二、有理数的混合运算中的新定义型问题 解有理数混合运算新定义题，先理解新定义，将其转化为数学表达式。根据新定义，代入给定值进行计算。观察计算结果，找出规律。将规律应用于问题求解，验证答案正确性。 例2．设一种运算程序是（a为常数），如果，，已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的规律变化及有理数的混合运算，熟练掌握运算程序和已知条件的综合应用，有理数的混合运算顺序和法则，是解题的关键． 根据运算程序，，得，，…，，根据，得，，…，． 【详解】解：∵，， ∴， ， …， ， ∵， ∴，， …， ， 故答案为：． 变式2-1．若一个四位自然数的千位数字与百位数字之差的绝对值为十位数字，千位数字、百位数字与个位数字的和恰好为12，且这个四位数能被12整除，那么称这个数为“双12数”． 例如：，∵，，且，∴4404是“双12数”； 又如，∵，，但，∴1655不是“双12数”． 则1764 （填“是”或“否”）“双12数”；若一个“双12数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当为整数时，求出所有满足条件的的平均值为 ． 【答案】 是 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值，理解“双12数”的定义是解题关键．根据“双12数”的定义即可得是“双12数”；先求出，，，再分两种情况：①和②，根据为整数逐个讨论的值，由此即可得． 【详解】解：∵，，， ∴是“双12数”． ∵一个“双12数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴，，， ①当时，，， ∴，， ， ∵为整数， ∴时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，能被12整除； 时，，此时，能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； ②当时，，， ∴，， ， ∵为整数， ∴时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 综上，所有满足条件的的值为，，， 则所有满足条件的的平均值为， 故答案为：是，． 变式2-2．对于任意一个各数位均不为0的四位数p，同时交换千位与十位，百位与个位的数字得到一个新的四位数，规定．如，则，，则 ．若，，（其中，，且x，y均为整数），当能被4整除时，m的最大值与最小值之和为 ． 【答案】 9 6888 【分析】本题以新定义为背景，考查了整式的运算、整除．先讨论求得，，计算得到，求得，再讨论当和最大时，最大；当和最小时，最小；据此求解即可． 【详解】解：由题意得当时，则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵能被4整除， ∴能被4整除， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当和最大时，最大； 当和最小时，最小； ∵能被4整除， 当最大为7时， 若，，不能被4整除，不符合题意； 若，，不能被4整除，不符合题意； 若，，能被4整除，符合题意； ∴当，时，最大，此时； 当最小为1时， 若，，不能被4整除，不符合题意； 若，，不能被4整除，不符合题意； 若，，能被4整除，符合题意； ∴当，时，最小，此时； ∴m的最大值与最小值之和为； 故答案为：9；6888． 变式2-3．【阅读材料】 材料一：进制数与十进制数之间的转换 将进制数转化为十进制数，只要将进制数的每个数字依次乘基数的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定：； 如：； 将十进制数化为与其相等的进制数，用十进制数除以基数，然后将商继续除以，直到商为，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将转化为五进制数： 因为，，，所以 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，，，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借当） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如，，所以①，②． 如，，所以③，④． 【问题解决】 (1)将六进制数转化成十进制数，结果为________；将十进制数转化成二进制数，结果为________． (2)计算： ①； ②． （要求：列竖式表示加减过程，结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则： 乘数 乘数 积 根据以上乘法法则，计算．（结果用二进制数表示） 【答案】(1)103； (2)①；② (3)表格见解析； 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握运算法则． （1）根据题干提供的信息，将六进制数转化成十进制数，将十进制数转化成二进制数即可； （2）根据二进制数加减运算法则，进行计算即可； （3）仿照十进制的有理数乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ， ， ， ， ， ， ∴． （2）解：① ∴； ②， ∴． （3）解：即0个0相加，结果为0； 即0个1相加，结果为0； 即1个0相加，结果为0； 即1个1相加，结果为1； 填表： 乘数 乘数 积 0 0 0 1 ∴． 类型三、有理数的混合运算的实际应用 解有理数混合运算实际应用题，先明确题目要求，提取关键信息。将实际问题转化为数学模型，确定运算顺序。注意单位换算和符号处理。分步计算，每步确保准确。最后，检查计算结果是否符合实际意义，确保答案正确。 例3．幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图有一个类似于幻方的“如圆”，将，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值是（　　） A． B．5 C． D．5或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数的四则混合运算，由横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合横、竖两列的数相等及八个数分别为 可求出内圆上最左边的数，结合八个空填写不同的八个数，可得出的值，再将其代入中，即可求出结论，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：根据题意得：,解得：, 又横、竖以及内、外两圈上的个数字之和都相等，且这个数总和为， 横、竖以及内、外两圈上的个数字之和为， , 在”幻圆”中填上部分数，如图所示： 可以为或， 当时，， 当时，， 的值为或， 故选：． 变式3-1．甲乙两人分别从，两地同时出发匀速相向而行，出发后小时两人相遇，若两人每小时都多走千米，则出发后小时两人相遇在距离中点千米的地方．已知甲比乙行得快，甲原来每小时行________千米（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意求出，两地的距离，进而求出甲现在的速度，即可求出甲原来的速度，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，两地相距为千米， ∴甲现在的速度为千米小时， ∴甲原来的速度为千米小时， 故选：． 变式3-2某学校举办了迎新春中国象棋比赛，以下是部分选手的积分记录表： 选手 比赛总局数 胜局 平局 负局 积分 A 12 12 0 0 36 B 12 7 3 2 22 C 12 5 4 3 16 D 12 6 0 6 12 E 12 1 18 (1)本次比赛胜一局得______分，平一局得______分，负一局得______分； (2)根据积分规则，请求出选手E在已经进行的12局比赛中胜，平各多少局？ (3)已知某选手F的负局数是胜局数的一半，他的胜局积分能等于平局积分的四倍吗？ 【答案】(1)，， (2)胜4局，平7局 (3)不能（理由见解析） 【分析】（1）先由A的积分得出胜一局的积分，再由D的积分得出负一局的积分，然后由C的积分即可得出平一局的积分； （2）设选手E在已经进行的12局比赛中胜局，则平局，根据题意可得，解方程即可得出答案； （3）设选手F的负局数为，则胜局数为，平局数为，根据依题意可得，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：由A的积分可知，胜一局的积分为：， 由D的积分可知，负一局的积分为：， 由C的积分可知，平一局的积分为：， 故答案为：，，； （2）解：设选手E在已经进行的12局比赛中胜局，则平局， 根据题意，得：， 解得：， 则（局）， 答：选手E在已经进行的12局比赛中胜4局，平7局； （3）解：不能，理由如下： 设选手F的负局数为，则胜局数为，平局数为， 根据依题意，得：， 解得：， 不是整数，故胜局积分不能等于平局积分的四倍， 答：已知某选手F的负局数是胜局数的一半，他的胜局积分不能等于平局积分的四倍． 【点睛】本题主要考查了有理数除法的应用，有理数四则混合运算的实际应用，一元一次方程的应用（比赛积分），代数式求值等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出算式或方程是解题的关键． 变式3-3【问题情境】 小韩和同学们在周末相约去一家餐厅吃饭，下表为该餐厅的部分菜单： 种类 配餐 价格/元 优惠活动 套餐 份盖饭 消费满元，减元；消费满元，减元，依此类推 套餐 份盖饭杯饮料 套餐 份盖饭杯饮料份小菜 小韩记录了大家的点餐种类，并根据菜单一次性点好．已知他们点的餐共有份盖饭，杯饮料和份小菜． 【数学思考】 （）他们共点了 份套餐（用含的代数式表示）； 【问题解决】 （）若他们所点的套餐中共有杯饮料，求他们实际消费的金额； （）若优惠后他们共花费元，请求出他们的套餐是如何搭配的． 【答案】（）；（）元；（）他们点了份套餐，份套餐或份套餐，份套餐，份套餐 【分析】（）根据套餐饮料杯数套餐饮料杯数，套餐饮料杯数套餐小菜份数，列出代数式即可求解； （）根据份小菜，得到购买套餐份，有杯饮料，即得买了份套餐，购买了套餐份，再计算出原始付款金额，根据优惠政策，计算实际消费的金额即可； （）根据题意得，他们点了份套餐，份套餐，份套餐，分消费满元，减元共花费元和消费满元，减元，共花费元两种情况，分别列出方程解答即可求解； 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：（）解：∵有份小菜， ∴套餐中有杯饮料， ∴套餐中饮料杯数为杯， ∴他们共点了份套餐， 故答案为：； （）解：∵份小菜， ∴购买套餐份，有杯饮料， ∵套餐中共有杯饮料， ∴购买了份套餐，购买了套餐份， ∴原价为元， ∴他们实际消费的金额是元； （）解：根据题意得，他们点了份套餐，份套餐，份套餐， 当消费满元但不满元时， 由，解得， ∴，， ∴他们点了份套餐，份套餐； 当消费满元时， 由，解得， ∴，， ∴他们点了份套餐，份套餐，份套餐； 综上，他们点了份套餐，份套餐或份套餐，份套餐，份套餐． 一、单选题 1．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为33102．图2表示一个三位数与一个两位数相乘．下列说法：①；②；③；④运算结果大于16000．根据图1的运算规律判断其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给运算方式是解题的关键． 根据图1，理解“铺地锦”这一运算方法，再据此对图2进行计算，并对所给说法进行判断即可． 【详解】解：由题知， ，， 则或3或6． 当时，，； 当时，，； 当时，，； 又因为，， 所以，，， 所以． 由得， ，． 故①②错误，③正确． 所以运算结果为15232． 故④错误． 故选：A． 2．对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法： ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是； ②不存在任何“加括号操作”的运算结果是； ③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】将的“加括号操作”的所有结果计算出来即可得解． 本题主要考查了有理数混合运算，将的“加括号操作”的所有结果列出来，并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：对于，进行“加括号操作”的所有结果如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 观察以上结果发现：至少存在一种“加括号操作”的运算结果是，故①正确； 不存在任何“加括号操作”的运算结果是，故②正确； 所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果，即，，，，，，，故③正确． 故选：D． 二、填空题 3．给出一种数的表示方法：设数，其中的值只能取0或1，则称数a为n位本原数．例如，当时，2位本原数a可以表示为四个数．现定义两个n位本原数的加法运算：设，那么有． （1）若，则 ； （2）若d，e均是3位本原数，设，且，则3位本原数 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义问题、绝对值、有理数的混合运算，理解题意并找出化简绝对值的方法是解题的关键． （1）由位本原数的定义计算即可； （2）设位本原数，根据题意可知、、只能取或，所以它们均不大于，依此在计算时可以去掉绝对值，进而求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：． （2）设，其中、、为或，即 、、均不大于， ∵， ∴ ， ∴， 则，，或， ∴或． 故答案为：或 ． 4．联欢会有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D E 演员人数 10 1 2 10 3 彩排时长 25 10 10 15 10 已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目E的演员的候场时间为 min；若使这26位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排． 【答案】 60 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握其运算方法是解题的关键． 根据候场时间定义计算即可，若使这26位演员的候场时间之和最小，则节目应按：顺序排序． 【详解】解：根据题意，节目E的演员的候场时间为：； 若使这26位演员的候场时间之和最小，则人数一样，彩排时间长节目排在后面， ∴在后面， ∵节目时间一样的，人数少的在后面， ∴按顺序， ∴应按：顺序彩排，26位演员的候场时间之和最小， ∴候场时间之和为 故答案为：60；． 三、解答题 5．综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0~9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：．例如： 十进制数可以表示为， 即； 二进制数可以表示为， 即． 解决问题 (1)理解应用：将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (2)拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． (3)创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 【答案】(1)， (2)见解析，， (3)84，见解析 【分析】本题主要考查了单位进制的转化运算，根据单位制转换，含乘方的有理数混合运算即可得解，熟练掌握单位制换算是解题的关键． （1）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （2）①根据题干十进制数转换为二进制数的方法计算即可；②仿照题干的转化方法把十进制数转换为八进制数即可； （3）二进制数转化成十进制数，八进制数转化成十进制数后相加． 【详解】（1）解： ． （2）①二进制如下： ∵……1； ……0； ……0； ……1； ……1； ……0； ……1； ∴从下往上读取余数，得到； ②八进制如下： ∵……1； ……3； ……1； ∴从下往上读取余数，得到． （3）解：解法1（分步计算）： ∵， ， ∴， 方法：运用转化与化归的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题．     解法2（整体计算）： 原式 （或）（或84）， 方法：运用转化与化归的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题． 6．概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方 乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 【答案】（1）， （2） （3） （4） （5） 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，读懂题意，深刻理解题中所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据除方的定义逐项分析判断即可； （3）根据题中所给示例进行计算即可得出答案； （4）分别求出和，然后比较即可； （5）根据除方的定义进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知：， ， 故答案为：，； （2）由题知： A．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； B．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； C．当为正数时，的次商表示个相除，结果是正数， 当为负数时，奇数个负数相除结果为负，偶数个负数相除结果为正， 该说法错误，故选项符合题意； D．由除方的定义可知，次商等于它本身的数是， 该说法正确，故选项不符合题意； 故选：； （3）由题知： ， 故答案为：； （4），， ， 故答案为：； （5） ． 7．在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门票等．人类使用密码的历史相当久远，约成书于战国时期的中国古代兵书《六韬》中就有关于君主如何在战争中与在外的将领进行保密通信的叙述．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 如下表，小明制定了一种密码规则，将26个英文字母，，依次对应数字1，2，3，……，26．当接收的密文中的英文字母在表格中对应的数字是偶数时，明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母；当数字是奇数时，明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母．例如：接收的密文内容为“”，英文字母“”对应的数字16是偶数，则明文数字为对应的英文字母“s”；英文字母“t”对应的数字20是偶数，则明文数字为对应的英文字母“u”；英文字母“y”对应的数字25是奇数，则明文数字为对应的英文字母“n”，所以密文破译后的明文为“”． 字母 a b c d e f g h i j k l m 对应数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 对应数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 根据以上材料，回答下列问题： (1)密文“”破译成明文为_________； (2)若破译后的明文为“”，请用英文字母写出应该传输的密文，并说明理由； (3)是否存在这样的英文字母，在密文中的英文字母经过破译后的英文字母是同一个，若存在，请找出这样的字母；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)“” (2)“”或“”，理由见解析 (3)存在，“”或“” 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，代数式求值，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，理解题意，根据题意正确列出方程并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题干信息进行计算得出答案即可； （2）根据英文字母“m”对应的数字是13，英文字母“c”对应的数字是3，分两种情况求出对应的密文字母，即可得出答案； （3）分两种情况讨论：当是偶数时，根据题意得；当是奇数时，根据题意得；分别解方程即可． 【详解】（1）解：接收的密文内容为“”， 英文字母“j”对应的数字10是偶数，则明文字母为对应的英文字母“p”； 英文字母“g”对应的数字7是奇数，则明文字母为对应的英文字母“e”； 英文字母“f”对应的数字6是偶数，则明文字母为对应的英文字母“n”； 密文破译后的明文为“”， 故答案为：“”； （2）解：应该传输的密文为“”或“”，理由如下： 英文字母“m”对应的数字是， 当密文中英文字母对应的数字是偶数时， 得：， 解得：（符合题意）， 4对应的英文字母是“d”； 当密文中英文字母对应的数字是奇数时， 得：， 解得：（符合题意）， 23对应的英文字母是“w”； 英文字母“c”对应的数字是， 当密文中英文字母对应的数字是偶数时， 得：， 解得：（不合题意，故舍去）； 当密文中英文字母对应的数字是奇数时， 得：， 解得：（符合题意）， 3对应的英文字母是“c”； ∴应该传输的密文为“”或“”； （3）解：分两种情况讨论： 当是偶数时， 根据题意，得：， 解得：（22是偶数，符合题意）， 22对应的英文字母是“v”； 当是奇数时， 根据题意，得：， 解得：（3是奇数，符合题意）， 3对应的英文字母是“c”； ∴存在密文中的英文字母经过破译后的英文字母是同一个，它们是字母“v”或字母“c”． 8．规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如我们把记作，读作“的次商”．记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． (1)关于除方，下列说法错误的是______； 任何非零数的次商都等于； 对于任何正整数，； ； 负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． (2)我们知道，有理数的除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化乘方运算呢？例：． 仿照上面的算式，请你尝试将下列各式写成乘方（幂）的形式： ； ． (3)想一想：将一个非零有理数的次商写成幂的形式等于______； (4)算一算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了数字规律，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）利用题中的新定义计算逐项分析可得答案； （2）利用题中的新定义计算即可求出值； （3）根据题意确定出所求即可； （4）根据新定义计算即可． 【详解】（1）解：任何非零数的次商等于这个数与它本身相除，结果为， 任何非零数的次商都等于， 故正确； 对于任何正整数，当为奇数时，，当为偶数时，， 错误； ，， ， 错误； 负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数， 正确； 综上，说法错误的是：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：，； （3）解：， 将一个非零有理数的次商写成幂的形式等于， 故答案为：； （4）解：原式． 9．综合与实践 根据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，如图1，场地的部分数据如下：①第一圈（最短圈）周长为400米；②直道长为100米． (1)运动员在图1的田径场最短圈上完成1000米比赛，他需要跑___________圈，若终点位于D区域，那么起点应在___________区域（填“A”，“B”，“C”或“D”）； (2)某中学根据国际田联标准并结合本校场地实际，建成一个如图2所示的田径运动场，运动场由足球场、缓冲区和塑胶跑道组成，总占地面积为平方米，其中足球场的长为米，宽为米，两端的缓冲区均为直径米的半圆． ①足球场和缓冲区的总面积是多少平方米？（用含的式子表示，结果保留） ②若塑胶跑道的建造费用为每平方米元，当时，塑胶跑道的建造费用是多少元？（取） (3)该学校举行运动会，初一年级需要在跑道上进行的比赛项目信息如下： 比赛项目 参赛组数 每组用时（分钟） 米接力 米 米 米 已知比赛需满足以下条件：①“米接力”和“米”比赛只能在直道进行；②“米”和“米”比赛需占用整个跑道；③为安全起见，“米”比赛开始分钟后，才能开始下一场比赛；“米”比赛开始分钟后，才能开始下一场比赛．受天气变化影响，以上4个比赛项目需要尽快完成，请你通过计算，设计一个用时最少的方案． 【答案】(1)， (2)①平方米；②塑胶跑道的建造费用是元 (3)用时最少为分钟 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，有理数的混合运算的应用； （1）根据题意用除以周长的圈数，根据4个点刚好将田径场最短圈分成等距离的4份，每段长为米，结合图形，即可求解； （2）①根据足球场和缓冲区的总面积是长方形的面积加上两个半圆的面积，列出代数式即可求解； ②根据总面积减去足球场和缓冲区的总面积求得塑胶跑道的面积进而乘以，代入，即可求解； （3）根据表格数据，结合题意，分析不同方案，根据能同时进行的方案时间最小，即可求解． 【详解】（1）解：圈 ∵第一圈（最短圈）周长为400米；直道长为100米． ∴米，两个半圆的长分别为米 ∴4个点刚好将田径场最短圈分成等距离的4份，每段长为米 ∴终点位于D区域，那么起点应在它的对面的点即点， 故答案为：，． （2）①∵足球场的长为米，宽为米，两端的缓冲区均为直径米的半圆 ∴足球场和缓冲区的总面积是平方米； ②∵总占地面积为平方米， ∴塑胶跑道的面积为 当，时，总费用为：元 答：塑胶跑道的建造费用是元 （3）根据题意有以下九种方案: ①所有比赛项目均顺次进行 米接力 米 米 米 用时分钟 ②短跑比赛顺次进行，米顺次开始，米交替开始 米接力 米 米 米交替 用时分钟 ③短跑比赛顺次进行，米交替开始，米顺次开始 米接力 米 米交替 米 用时分钟 ④短跑比赛顺次进行，米和米交替开始 米接力 米米交替 米交替 用时 分钟 ⑤短跑比赛同时进行，米和米顺次进行 米接力和 米米米 用时分钟 ⑥短跑比赛同时进行，米顺次开始，米交替开始 米接力 米 米 米交替 用时分钟 ⑦短跑比赛同时进行，米交普开始，米顺次开始 米接力和 米米交 米 用时分钟 ⑧短跑比赛同时进行，米和米分别交替开始 米接力 米米交替 米交替 用时分钟 ⑨短跑比赛同时进行，米和米交替开始 米接力 米 米 米 用时分钟 因为，所以用时最少为分钟． 10．对于整数x，规定，例如：，求：的值． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是熟练掌握题目中的新规定，有理数混合运算的顺序和法则．根据所给新定义计算出若干的值，得到，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴，则； ，则； ，则； …， ； ∴ ． 11．观察下列式子： ，，，，， (1)请你依照上述规律，写出第个式子：___________； (2)请写出第个式子：___________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据题目中的等式，可以写出第个式子即可； （）根据题目中的等式的特点，可以写出第个式子； （）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值． 本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，正确得出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：依照上述规律，第个式子为， 故答案为：； （2）解：∵第式子为， 第式子为， 第式子为， 第式子为， ， ∴第个式子为， 故答案为：； （3）解：原式 ． 12．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算．观察数据，，，……，可总结出规律①；又，，……则总结出规律②；据此计算即可． 【详解】解： ． 13．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算： （1）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （2）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （3）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 14．． 【答案】42925 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，先将原式变形为，再利用乘法分配律进行计算即可．注意公式：，． 【详解】解： ． 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$