第3章勾股定理暑假预习2025—2026学年苏科版数学八年级上册

第3章 勾股定理 暑假预习 一、单选题 1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．4，5，6 B．7，24，25 C．2，3，4 D．1，，3 2．在中，，，，则等于（    ） A．4 B．8 C． D． 3．如图，是超市的儿童玩具购物车侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 4．如图，有两棵树，一棵树高15米，另一棵树高10米，两棵树相距12米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢至少要飞（   ） A．13米 B．12米 C．10米 D．5米 5．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为25，的长为7，则小正方形的边长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 6．如图，以原点为圆心，为半径画弧与数轴交于点A，且点A表示的数为，则的值为（　　）． A． B． C． D． 7．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，正方形，，，的边长分别是，，，，则最大正方形的面积是（    ）． A． B． C． D． 8．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别为，且旋转角为锐角，连接．当点恰好落在直线上时，线段的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 9．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 10．如图，线段是半圆的直径，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点和点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．中，，则的面积为 ． 12．欲检验一矩形画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框 （填“合格”或“不合格”）． 13．如图，王大爷开辟了一块直角三角形的菜地种蔬菜，用栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分．若，，，则栅栏的长为 ． 14．如图，数轴上点所表示的数分别是，过点作数轴，个单位长度，以为圆心，长为半径画弧交数轴上点的左侧一点，则点表示的数是 ． 15．如图，若三个村庄、、构成，其中，，．现选取一点打水井，使点到三个村庄、、铺设的输水管总长度最小，输水管总长度的最小值为 ． 三、解答题 16．如图，在中，，于D，平分交于E，交于F． (1)求证：； (2)当时，将沿平移至的位置，使在上，求的长． 17．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 18．已知在中，，，于． (1)如图，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．求证：； (2)如图，点是线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点． ①求证：； ②若，，求的长． 19．数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角和摆在一起，其中直角顶点A重合，，，． (1)【用数学的眼光观察】 如图1，连接，判断与的数量关系，并说明理由； (2)【用数学的思维思考】 如图2，连接，若F是中点，判断与的数量关系，并说明理由； (3)【用数学的语言表达】 如图3，延长至点F，满足，然后连接，当，绕A点旋转得到D，E，F三点共线时，直接写出线段的长． 20．如图1，已知，是等边三角形，点P为射线上任意一点（点P与点A不重合），连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接并延长交直线于点E． (1)________； (2)如图2，当是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想的度数，并选取一种情况加以证明； (3)如图3，若，且 ，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第3章 勾股定理 暑假预习2025-2026学年苏科版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A C C B D D A 1．B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、最长边为6，验证 ，而 ， ∵ ， ∴ 不能构成直角三角形； B、最长边为25，验证 ，而 ， ∵ ， ∴ 能构成直角三角形； C、最长边为4，验证 ，而 ， ∵ ， ∴ 不能构成直角三角形； D、最长边为3，验证 ，而 ， ∵ ， ∴ 不能构成直角三角形； 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，是解题的关键．先根据三角形内角和定理得出，得出，根据勾股定理得出，求出即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值舍去， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，点到直线的距离，根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形，设点C到的距离是，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解： 在中，， ∴为直角三角形，边所对的角是直角； 设点C到的距离是， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：D． 4．A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，如图所示，为树，且，为两树距离12米，过C作于E，则，，在直角三角形中利用勾股定理即可求出． 【详解】解：如图所示，为树，且，为两树距离12米， 过C作于E，则，， 在直角三角形中， ． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 小正方形的边长为17， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理与无理数等知识点，掌握数轴上无理数的作法是解题的关键． 先说明，再根据勾股定理列式求出，然后再求出的值即可． 【详解】解：∵点A表示的数为， ∴， ∴ 由图形可得：， ∴． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理的几何意义可得，然后代入即可求解，解题的关键是熟悉勾股定理的几何意义． 【详解】解：如图， 根据勾股定理的几何意义， 可知 ， 故选：． 8．D 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解题关键．连接，令与的交点为，结合旋转的性质，证明，得到，从而得出垂直平分，由勾股定理可得，再结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，令与的交点为， 点恰好落在直线上， 、、三点共线， ， 由旋转的性质可知，，， ， 在和中， ， ， ， 又， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 9．D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得， 故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， 故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得， 故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接， 此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和， 所以， 即， 整理：， ， ∴， 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 10．A 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，勾股定理. 过点作，垂足为.根据等面积法得到，根据勾股定理得到，求解即可. 【详解】解：如图，过点作，垂足为. 根据作图知平分， ． ，即， ，， ． 又， ， 解得． 故选A． 11．60 【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．过A作于D，先利用等腰三角形的三线合一性质得到，再利用勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过A作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60． 12．合格 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理计算即可判断画框的两边是否垂直，掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴画框的两边垂直， 故答案为：合格． 13． 【分析】本题考查了勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，中线与面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用勾股定理算出，结合栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分．得出是的中线，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵用栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分． ∴是的中线， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理． 利用勾股定理可得，进而即可求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：∵数轴， ∴， ∵数轴上点所表示的数分别是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，将绕点顺时针旋转得到，得出是等边三角形，进而得出当四点共线时，取得最小值，最小值为的长，过点作交的延长线于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而在中，勾股定理，。即可求解． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当四点共线时，取得最小值，最小值为的长， 如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即的最小值为：， 故答案为：． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，等角对等边，平移的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，则，再由得到，同理可得，由角平分线的定义可得，则，据此可证明； （2）求出，则，即可得到；求出，得到，则，即可得到，由平移的性质可得，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴． 17．(1) (2)这辆小汽车超速了，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 18．(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（）由旋转的性质得，，由等腰直角三角形的性质得，，即得，进而证明即可求证； （）①过点作交于点，连接，由等腰直角三角形的性质得，，即得为等腰直角三角形，得到，，进而由得到，，即得到，，再证明即可求证；②由勾股定理得，即得，又由可得，再根据可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵，，于， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）①证明：过点作交于点，连接， 由（）知为的中点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 19．(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)2或14． 【分析】（1）用证明，即可求解； （2）证明、，即可求解； （3）①如图所示，过点作于，求出，，得到，即可求解；②如图所示，过点作于，同理可解． 【详解】（1），理由： ∵， ， ，， ， 则； （2），理由： 点作交的延长线于点， ，， 是中点，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， 则； （3）旋转得到，，三点共线， ①如图所示，过点作于， 是等腰三角形，，， ，， 在中，， ， ， 即旋转得到，，三点共线时，； ②如图所示，过点作于， 同理，，即旋转得到，，三点共线时，， 综上所述，线段的长为：2或14． 【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，理解图示中旋转的规律，掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形中勾股定理的运算是解题的关键． 20．(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，掌握举一反三的数学思想是解题关键； （1）由题意得：，推出，证，得，即可求解； （2）分类讨论即可，证明过程参考题（1）； （3）作，由题意得可推出，求得；进而得，，，根据即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：； 以是锐角为例，如图所示： 同理可得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 以是钝角为例，如图所示： 同理可得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， （3）解：作，如图所示： 由（2）可得：， ∴， ∵ ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$