精品解析：福建省宁德市2024-2025学年高一下学期6月期末质量检测数学试题

宁德市2024－2025学年度第二学期期末高一质量检测 数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．答题结束后，学生必须将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. －6 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求. 【详解】因为，，， 所以， 所以. 故选：D. 2. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的性质或根据图象变换作出图象，逐一判断即可. 【详解】对于A，将函数图象上的每一个点，横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的函数图象，如图： 由图可知在区间上单调递增，但其最小正周期为，故A错误； 对于B，因在区间上单调递减，且其最小正周期为，故B错误； 对于C，因在区间上单调递增，且其最小正周期为，故C正确； 对于D，将正弦函数图象位于轴以下的部分翻折至轴以上，可得出的函数图象， 如图： 由图可知，在区间上单调递减，且其最小正周期为，故D错误. 故选：C. 3. 已知直线和平面，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的性质以及面面垂直的判定定理可判断A；根据面面垂直的性质可判断线面位置，判断B；根据面面、线面平行的性质可判断C；由于和同一条直线平行的平面可能相交，即可判断D. 【详解】对于A，过m作平面与相交于l，由于，则， 由，可得，而，故，A正确； 对于B，若，，则或则，B错误； 对于C，若，，则或，C错误； 对于D，若，，则或相交，D错误， 故选：A 4. 某学习小组共5名同学，某次模拟考试的数学成绩平均分为100．已知其中4名同学的成绩分别为96，98，102，104，则这5名同学成绩的第80百分位数是（ ） A. 98 B. 102 C. 103 D. 104 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平均数得到另外一个学生的成绩，然后根据百分位数的求法即可求解. 【详解】依题意设另外一名同学的成绩为，则，解得. 将这5名同学的成绩按从小到大的顺序排列为96，98，100，102，104，且， 则成绩的第80百分位数为即排序后的第4个和第5个数据的平均数，所以这5名同学成绩的第80百分位数是. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】又条件根据同角关系求，再结合二倍角公式求结论. 【详解】因为，， 所以，即， 所以，又， 所以， 所以， 故选：A. 6. 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由异面直线夹角的定义逐个判断即可. 【详解】对于A：如图：连接， 由正方体的性质可得：，在矩形中，显然不成立， 所以不成立，故错误； 对于B： 如图取中点，连接， 由正方体的结构特点，结合，可得平面， 又平面， 所以， 在正方形中，因为， 所以， 又为平面内两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，故B正确； 对于C： 如图，取的中点，连接， 在正方体中可知：， 所以平行四边形， 所以， 在正方形中，可知， 所以不成立，即不成立，故C错误， 对于D： 如图，取的中点，连接， 由中位线可知， 又在正方体中可知：， 所以， 设正方体的棱长为2，可得：， 则，所以不成立， 即不成立，故D错误. 故选：B. 7. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件作图，可得为等边三角形，为等腰三角形，为直角三角形，即，，再根据投影向量的概念求解即可. 【详解】如图，由，可得为的中点， 又因为为外接圆圆心，所以， 又因为，所以， 所以为等边三角形，即， 为等腰三角形，即， 为直角三角形，， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故选：D. 8. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理求出边角关系，判断各角的范围，再根据正弦定理转边为角，再依据基本不等式，求出最值即可，也可直接根据余弦定理求出的表达式，直接根据基本不等式，求出余弦值的范围，判断角的范围，进而求出正切值的最大值. 【详解】法一：由余弦定理得，所以， 即，又，代入可得：， 化简得，解得， 故， 因为，所以，所以，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，所以最大值为； 法二：由余弦定理得， 所以，则，所以最大值为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的除法求出复数z，继而求出其模，判断AB；结合复数的共轭复数以及复数乘法运算可判断CD. 【详解】因为，所以， 故，故A正确，B错误； ，C正确； ，D错误. 故选：AC 10. 已知函数的最大值为2，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为 D. 方程在上有4个解 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据辅助角公式求出，进而化简，最后结合正弦函数的性质逐一判断. 【详解】由辅助角公式可知，的最大值为，得（正值舍去），A正确； ，则最小正周期为，故C错误； 因，故的图象关于直线对称，B正确； ，则， 则或，， 即或，， 因，则、、、，共个，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与所成角的正切值为 B. 用平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若平面，则长度的取值范围为 D. 若，则动点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：利用三角函数定义即可求得结果.对于B：做出截面的图形，分别求每条边的长即可求得结果, 对于C：找出点Q的轨迹，即可求出长度的取值范围，对于D：同样找出点Q的轨迹，即可求出动点的轨迹长度. 【详解】对于A： 如图，连接,直线与所成角即直线与所成角,即, 三角形中，,故A正确； 对于B，如图，截面为等腰梯形， 周长，B错误； 对于C，如图取中点的中点为，平面即为平面, 因为,平面,平面,平面, 同理：平面,所以平面平面， 动点的轨迹为线段，，又可知是等腰三角形， 所以,最小值为边上的高， 可得的长度取值范围为，C正确； 对于D，因为平面，平面，所有， 则有，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 圆心角是，轨迹长度为，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校为了解学生的学习情况，采用比例分配的分层随机抽样的方法，从高一1000人、高二1200人、高三1400人中抽取若干人进行问卷调查，若高二被抽取30人，则高三被抽取_____人． 【答案】35 【解析】 【分析】根据分层抽样的基本原则，计算各层人数即可. 【详解】设高三抽取人，则由分层抽样可知，解得， 故答案为：35. 13. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，依题意可得，即可得到方程组，解得即可； 【详解】点，，点在线段的延长线上，且， 设点的坐标为，则，，且， 即，解得， 所以点为． 故答案为：． 14. 如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过点，且，那么当底面水平放置时，水面高为_____；若侧面水平放置时，容器内的水形成的几何体的所有顶点在同一个球面上，该球的表面积为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：由题意水的高度占容器高度的，由此即可得解；第二空：先求出的外接圆半径，再结合即可求解外接球的半径，结合球的表面积公式即可得解. 【详解】水的体积占容器体积的，底面水平放置时， 水的高度占容器高度的，即水面高度为； 侧面水平放置时，容器内的水形成的几何体为底面是等腰梯形的直四棱柱， 且，，， ， 外接圆半径， 所以该四棱柱的外接球的半径， 故该球的表面积． 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题；共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年“五一”假期，全国国内出游3.14亿人次，同比增长6.4%，这一数据反映了民众出行意愿高涨，折射出我国内需市场的活力．某景点为提升服务水平，对部分游客发起满意度调查，满意度采用百分制，统计结果绘制成如下频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计满意度得分在75分及以上所占的百分比； （2）估计满意度得分的中位数和平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）． 【答案】（1）， （2）中位数为82.5，平均数为82 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1求出的值，再根据分位数的定义求满意度得分在75分及以上所占的百分比即可； （2）解法一、二都可以根据频率分布直方图的中位数和平均数的计算公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得， 满意度得分在75分以上所占百分比为. 【小问2详解】 解法一： 因为满意度在内的频率为， 满意度在内的频率为，所以中位数在内， 设中位数为，则有， 解得，所以满意度得分的中位数为， 满意度得分的平均数为：． 解法二： 因为满意度在内的频率为， 满意度在内的频率为，所以中位数在内， 由可得中位数为82.5． 满意度得分的平均数为：． 16. 如图，在平行四边形中，已知，，，是的中点，与交于点，设，． （1）用，表示向量，； （2）求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量线性运算即可求解； （2）法一：由平面向量数量积的运算律及夹角公式即可求解；法二：由余弦定理及相似三角形的性质即可求解；法三：以为原点，建立平面直角坐标系，由平面向量夹角的向量公式即可求解；法四：由余弦定理，正弦定理，同角三角函数的平方关系及两角和的余弦公式即可求解． 【小问1详解】 因平行四边形，，， 所以． 又因为是的中点， 所以． 【小问2详解】 解法一：， ． ． ． 因为与的夹角为， 所以． 解法二：因为平行四边形中，，， 所以中，，，， 由余弦定理得 ，故． 因为，是的中点，所以， 所以，． 在中，由余弦定理得 ． 解法三：以为原点，所在直线为轴如图建系， 则，，，， 所以，， ，， ． 因为与的夹角为， 所以． 解法四：因为平行四边形中，，， 所以中，，，， 由余弦定理得 ，故． 在中，由正弦定理得， ， 所以 ． 17. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的单调性列式求解即可； （2）解法一、二：根据函数的平移变换可得，对任意，都有，则由可得即可，结合正弦的两角和差公式和同角三角函数关系求解即可；解法三：根据函数的平移变换可得，由可得，，按的取值分类讨论即可； 【小问1详解】 由题意可得， 令， 化简得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 解法一： 函数的图象向左平移个单位长度得到函数， 易知对任意，，， 恒成立，则有恒成立，即， ， 当，，所以， 所以. 解法二： 函数的图象向左平移个单位长度得到函数， 易知对任意，，， 恒成立，则有恒成立，即， ， 当，，所以， 所以. 解法三： ， 又，得，， 所以，， 当，即时，，不等式恒成立，所以； 当，即时，不等式可化为， 又，所以， 解得； 综上，的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值； （3）若是的中点，线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由三线合一得到⊥平面，故⊥，结合，得到线面垂直； （2）即为平面与平面所成二面角的平面角.在中，根据余弦定理即可求解； （3）解法一：在面内，过作交于，在线段上取点，使，根据线面平行的判定定理可证平面，进而可得.根据平行线分线段成比例的性质可得，从而面，利用面面平行的判定定理与性质即可证明； 解法二：连接并延长交于，连接，连接交于.分析可知.由线面平行的性质定理可证，所以. 解法三：连接并延长交于，连接.设，则.根据向量的线性运算可知.根据三点共线的推论即可求解，从而.由线面平行的性质定理可证，所以. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为，所以⊥， 又因为侧面是正三角形，所以，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为底面是正方形，所以. 又因为，面，，所以面. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以为平面与平面所成二面角的平面角. 由勾股定理得，， 又，故，所以， 在正三角形中，， 在中，根据余弦定理可得： ， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为. 【小问3详解】 解法一：线段上存在一点，使平面且， 证明如下： 在面内，过作交于，在线段上取点，使， 连接，，如图所示. 又因为平面，平面，所以平面. 因为是的中点，所以是中点.又是中点，所以. 因为，所以. 又因为面，面，所以面. 又，面，，所以面面. 又面，所以面. 所以线段上存在点，使平面且. 解法二：线段上存在一点，使平面且， 证明如下： 连接并延长交于，连接，连接交于，如图所示. 因为是的中点，是的中点，所以，所以是的中点. 又因为是的中点，所以是的中点，所以. 因为面，面，面面，所以. 所以. 解法三：线段上存在一点，使平面且，证明如下： 连接并延长交于，连接，如图所示. 设，则. 因为是的中点，是的中点，所以， 则. 又因为，，三点共线，所以，解得，所以. 因为面，面，面面，所以. 所以. 19. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．现有一张等腰直角卡片，，，用该卡片可以裁剪出扇形、三角形、矩形等各种形状． （1）如图1，以为圆心，为半径的扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的体积； （2），，分别是边，，上的三个点． ①如图2，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求证：是的中点； ②如图3，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，记的面积为，求的最小值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据扇形的弧长公式、勾股定理求出圆锥的底面半径及高，再根据锥体的体积公式即可求解； （2）①设，利用正弦定理求出，由即可证明；②设，有正弦定理可得，由，，可得，再根据三角形的面积公式，结合辅助角公式、正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 设圆锥的底面半径为，高为， 则，所以， ， 所以体积. 【小问2详解】 设，则， 在中，由正弦定理， 可得， 在中，，， 由正弦定理， 可得， 又因为，所以，即是的中点. （3）设，则， 在中，， 可得， 在中，，所以， 故有， 又因为，可得， 则， 其中， 所以当时，的面积取到最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁德市2024－2025学年度第二学期期末高一质量检测 数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．答题结束后，学生必须将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. －6 2. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线和平面，，则下列命题中正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 某学习小组共5名同学，某次模拟考试的数学成绩平均分为100．已知其中4名同学的成绩分别为96，98，102，104，则这5名同学成绩的第80百分位数是（ ） A. 98 B. 102 C. 103 D. 104 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A B. C. D. 8. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的最大值为2，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 最小正周期为 D. 方程在上有4个解 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与所成角的正切值为 B. 用平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若平面，则长度的取值范围为 D. 若，则动点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校为了解学生学习情况，采用比例分配的分层随机抽样的方法，从高一1000人、高二1200人、高三1400人中抽取若干人进行问卷调查，若高二被抽取30人，则高三被抽取_____人． 13. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为_____． 14. 如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过点，且，那么当底面水平放置时，水面高为_____；若侧面水平放置时，容器内的水形成的几何体的所有顶点在同一个球面上，该球的表面积为_____． 四、解答题：本题共5小题；共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年“五一”假期，全国国内出游3.14亿人次，同比增长6.4%，这一数据反映了民众出行意愿高涨，折射出我国内需市场的活力．某景点为提升服务水平，对部分游客发起满意度调查，满意度采用百分制，统计结果绘制成如下频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计满意度得分在75分及以上所占的百分比； （2）估计满意度得分的中位数和平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）． 16. 如图，在平行四边形中，已知，，，是中点，与交于点，设，． （1）用，表示向量，； （2）求的余弦值． 17. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若对任意，都有，求实数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值； （3）若是的中点，线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．现有一张等腰直角卡片，，，用该卡片可以裁剪出扇形、三角形、矩形等各种形状． （1）如图1，以为圆心，为半径的扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的体积； （2），，分别是边，，上的三个点． ①如图2，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求证：是的中点； ②如图3，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，记的面积为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $