专题01 数轴的六类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024七年级上册

专题01 数轴的六类综合题型 典例详解 类型一、用数轴表示有理数 类型二、数轴上的两点之间距离 类型三、利用数轴比较有理数大小 类型四、根据点在数轴的位置判断式子的正负 类型五、数轴上的规律探究问题 类型六、数轴上的翻折问题 压轴训练 类型一、用数轴表示有理数 数轴的三要素（缺一不可）： 原点（表示 0 的点）； 正方向（通常向右，用箭头表示）； 单位长度（数轴上相邻两个刻度之间的距离，需统一）。 有理数与数轴的关系： 所有有理数都能在数轴上找到唯一对应的点（即 “一一对应”）； 正数在原点右侧，负数在原点左侧，0 在原点上； 分数 / 小数需按单位长度平均分后标注（如 0.5 在 0 和 1 之间，-3/2 在 - 1 和 - 2 之间）。 例1．公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴和数学常识，熟练掌握数轴上点表示的数的方法进行求解是解题的关键． 根据题意可得M所表示的数在与之间，然后再进行判定即可解答． 【详解】解：设M表示的数为x， 由数轴可知：， 所以点M所表示的数可能是． 故选：B． 变式1-1．在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的基本性质和数轴上两点间的距离计算，本题的解题关键是数轴上两点间的距离计算，根据数轴的基本性质和数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】解：、、是数轴上三点，且点表示的数是，点表示的数为1， 设点表示的数为， 当其中一点是另外两点构成的线段中点， ①为线段的中点， 的值为：； ②为线段的中点， 的值为：； ③为线段的中点， 的值为：； 则点C表示的数是或或8， 故选：D． 变式1-2．A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是 ， 【答案】1或5 【分析】本题考查了数轴，利用数轴知识解答． 【详解】解：∵点A表示数3，且点A、B的距离为4， ∴， ∴点B表示数为7或， ∵C为线段 的中点 ∴ ， ， ∴点C在数轴上表示的数是1或5． 故答案为：1或5． 变式1-3．如图，小明同学借助刻度尺画了一条数轴，其中原点落在示数7的刻度线上，表示数字1的点落在示数9的刻度线上，则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的表示方法是解题的关键．根据数轴上个单位长度表示，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：数轴上个单位长度表示， 故个单位长度表示， 则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为， 故答案为：． 变式1-4．点A，B，C，D，E在数轴上的位置如图所示，解答下列问题： (1)写出点A， B， C， D， E分别表示什么数？ (2)写出其中哪些数是互为相反数？ 并说明它们到原点的距离有什么关系？ 【答案】(1)点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 (2)点表示的数和点表示的数，互为相反数，它们到原点距离相等． 【分析】本题主要考查了数轴表示数，相反数等知识点， （1）根据数轴的位置解答即可； （2）找到在原点两侧且到原点的距离相等的点表示的数即可解答； 熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：由数轴知：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为； （2）解：由（1）知，点表示的数和点表示的数，互为相反数， 由数轴知，它们到原点距离相等． 类型二、数轴上的两点之间距离 数轴上任意两点之间的距离，等于这两个点所表示的数的差的绝对值 解题思路：求两点距离的步骤 确定两点表示的数：先从数轴上找到两个点对应的有理数（比如点 A 是a，点 B 是b）。 计算两数的差：列出a−b（或b−a，顺序不影响，因为有绝对值）。 取绝对值：去掉差的正负号，结果就是两点距离。 易错点提醒 别漏写绝对值：如果直接用 “大数减小数”，虽然结果对，但遇到负数容易算错（比如求 - 5 和 - 1 的距离，(-1 - (-5) = 4)，但如果写成(-5 - (-1) = -4)，忘了取绝对值就错了）。 单位长度要统一：计算时要注意数轴的单位长度（比如 1 格代表 2，那两点相差 3 格，实际距离是 6）。 例2如图，点，在数轴上的位置如图所示，为原点，点在数轴上所表示的数为，，点为线段的中点，则点在数轴上所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，熟知数轴上的点所表示的数的特征是解答本题的关键． 根据题意先求出点表示的数，再结合点为线段的中点即可解决问题． 【详解】解：点在数轴上所表示的数为，， 点表示的数为， 又点为线段的中点， 点表示的数为， 故答案为：． 变式2-1．如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向． (1)若点A所表示的数是，则点所表示的数是_______； (2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______； (3)若点B，O之间的距离为4，求m的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)或8 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，有理数的加减法运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离进行计算即可求解； （2）根据的距离，得出点A表示是的数为，点C表示的数为4，由图中点C所在的位置为10，即可得出原点O对应直尺上的刻度为； （3）分当O在点B的左边和右边两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上的点A，B，C对应着直尺上的刻度2，8和10， ∴， ∵点A所表示的数是， ∴点C所表示的数是， 故答案为：5； （2）解：∵，点A，C所表示的数互为相反数， ∴则点A表示是的数为，点C表示的数为4， ∵图中点C所在的位置为10， ∴数轴的原点O对应直尺上的刻度为， 故答案为：6； （3）解：∵点B，O之间的距离为4，点B对着直尺上的刻度8， ①当O在点B的左边时，即点O对着直尺上的刻度4， ∴B点表示的数为4， ∵， ∴此时点A表示的数为，点C表示的数为6， ∴； ②当O在点B的右边时，即点O对着直尺上的刻度12， ∴B点表示的数为， ∵， ∴此时点A表示的数为，点C表示的数为， ∴， 综上，m的值为或8． 变式2-2．如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 【答案】(1) (2) (3)点M，N之间的距离为3或9 【分析】本题考查数轴上点所表示的数以及两点间距离的计算，解题的关键是根据已知点确定数轴上的单位长度，进而确定各点表示的数，再依据距离公式求解． （1）先确定数轴上的单位长度，从而找出原点及点表示的数． （2）确定B，C，D三点表示的数，计算三点对应数的和并求出的值． （3）确定点M，N可能表示的数，分情况计算两点间的距离． 【详解】（1）已知点A表示的数是，点H表示的数是到H的距离为， 因为A到H之间有7个间隔，所以每个间隔的距离为． 从点向左数1个间隔到点，所以表示原点的是点． 点E在点A右侧3个间隔处，那么点E表示的数为， 故答案为：； （2）解：点在点右侧1个间隔处，所以点表示的数是， 点在点右侧2个间隔处，点表示的数是， 点D在点A右侧3个间隔处，点D表示的数是， 所以， ； （3）解：由题意可知F：， 因为点M到点F距离为3，所以点M表示的数是1或 因为点N到点F的距离为6，所以点N表示的数是或4． ；； ；； 综上，点M，N之间的距离为3或9． 变式2-3．如图，点A对应的数为，点B对应的数为3，点C对应的数为5，规定：点A与点B之间的距离表示为．例如：，．已知点P为数轴上的动点，其对应的数为x，请解答下列问题： (1)填空：______； (2)当时，求的值． 【答案】(1)6 (2)6或22 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴上两点的距离公式是解题的关键． （1）根据题中的方法求解； （2）先根据题中的方法求出x，再求解． 【详解】（1）解：∵点A对应的数为，点C对应的数为5， ∴， 故答案为：6． （2）解：∵点P为数轴上的动点，其对应的数为x，点C对应的数为5， ∴或， 解得：或， 当时，， 当时，． 综上，当时，的值为6或22． 类型三、利用数轴比较有理数大小 数轴上的点从左到右是按 “从小到大” 的顺序排列的。 所有正数在原点右侧，所有负数在原点左侧，0 在原点。 因此，正数＞0＞负数； 两个正数：右边的数更大（比如 3 在 2 的右边，所以 3＞2）； 两个负数：右边的数更大（比如 - 1 在 - 3 的右边，所以 - 1＞-3）。 例3．如图，在数轴上，点A，B分别表示数，． (1)求x的取值范围； (2)数轴上表示数“”的点C应落在点A左边、点A、B之间还是点B的右边？请说明理由． 【答案】(1) (2)点A、B之间，见解析 【分析】（1）根据数轴上右边的数大于其左边的数列不等式解答即可； （2）根据，得到得到解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 故x的取值范围为； （2）解：根据，得到， 得到，在A的右侧； ， 故在B的左侧， 故在点A、B之间． 变式3-1．如图．数轴上点表示的数是．点表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点，记为点， (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，再把它们按照从大到小的顺序排列，并用“”连接． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题考查有理数大小比较，数轴， （1）根据点表示的数是．点表示的数是判断原点的位置即可； （2）根据数轴上数的特点把各数表示在数轴上，并根据数轴上右边的数总比左边的数大得出比较结果； 熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：原点位置如图， ； （2）把各数表示在数轴上，如下： ∴． 变式3-2．数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数．熟练掌握利用数轴比较有理数的大小法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数是解题的关键． 观察数轴得出，在数轴上表示出、，即可由图得出结论． 【详解】解：由图得， 在数轴上表示出、为： 由图可得：， 故选：C． 变式3-3．已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴比大小，利用数形结合的数学思想解答是解题的关键． 观察数轴可得，，，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：，， ，， ， 故选：A． 类型四、根据点在数轴的位置判断式子的正负 从数轴上获取关键信息 看到数轴上的点，先确定两件事： 每个点表示的数的符号：原点右侧的点：表示正数（＞0）； 原点左侧的点：表示负数（＜0）； 原点：表示 0。 点的左右位置（大小关系）：若点 A 在点 B 右侧，则 A 表示的数＞B 表示的数（右大左小）。 常见式子的正负判断方法 1. 单个字母（或数）的正负 直接看位置：在原点右则为正（如(a＞0)），左则为负（如(b＜0)，原点则为 0。 2. 两个数的和(a + b) 同号相加： 正数 + 正数：结果为正（如 3 + 2 = 5＞0）； 负数 + 负数：结果为负（如 - 3 + (-2) = -5＜0）。 异号相加： 看 “绝对值大的数的符号”（谁离原点远，谁的 “势力” 大）： 正数绝对值＞负数绝对值：和为正（如 5 + (-3) = 2＞0，5 离原点更远）； 正数绝对值＜负数绝对值：和为负（如 3 + (-5) = -2＜0，-5 离原点更远）。 有 0 参与： 正数 + 0 = 正数（正）；负数 + 0 = 负数（负）。 3. 两个数的差(a - b) 先转化为 “(a + (-b))”，再按 “和” 的规则判断；或更简单： 根据 (a - b＞0 ⇔ a＞b)（右减左为正）： 若a在b右侧(a＞b)），则(a - b＞0)（正）； 若a在b左侧(a＜b)），则(a - b＜0)（负）； 若(a = b)（同一点），则\(a - b = 0)。 4. 两个数的积(a ×b)）或商(a÷ b)，(b≠0） “同号得正，异号得负”： 若a和b在原点同侧（同正或同负）：积、商为正； 若a和b在原点两侧（一正一负）：积、商为负； 有 0 参与：积或商为 0（商需注意除数不能为 0）。 5. 绝对值相关(|a|)、(|a| + b)等） |a|：永远非负（≥0），正数和负数的绝对值都是正数，0 的绝对值是 0； 含绝对值的式子：先判断绝对值内数的正负，再化简绝对值，最后按上述规则分析。 例：若(a＜0)，则(|a| = -a)（正数），再看(|a| + b)即 “正数 + b” 的正负。 例4．如图，实数，，在数轴上的对应点分别是，，．若，互为相反数，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，相反数，掌握数轴，相反数的性质是解题的关键．根据数轴先得出，根据有理数加法的法则和数轴，可对选项分析作出判断． 【详解】解： ，互为相反数， ， 由数轴可得：， ，，，，故A、C、D错误，B正确， 故选：B． 变式4-1．若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用数轴上点表示实数，实数运算，掌握根据数轴上点的位置判断式子的值是解题的关键． 根据数轴得到，结合实数运算法则判断即可得到答案． 【详解】解：由数轴得，， ∴A、，此选项不符合题意， B、，此选项不符合题意， C、，此选项符合题意， D、，此选项不符合题意， 故选：C． 变式4-2．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴、有理数的四则运算法则等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据数轴上点的位置可得，，再根据有理数四则运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，， A.∴，即此选项不符合题意； B.，即此选项不符合题意； C.，即此选项不符合题意； D.，即此选项符合题意． 故选∶D． 变式4--3．如图，有理数，，，在数轴上的对应点分别是，，，．若，互为相反数，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，相反数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由数轴和已知条件得出，，，的正负和它们的绝对值的大小，从而求得、、、的值的正负，从而进行判断． 【详解】解：由数轴可得，， 、互为相反数， ，且， ，，， ，，，， 故选：B． 类型五、数轴上的规律探究问题 常见数轴规律探究问题解题步骤： 第一步：记录前几次运动后的位置：从起点开始，按运动规则算出第 1 次、第 2 次、第 3 次… 运动后的坐标，列成表格（或数列）。 第二步：找周期：观察位置变化，发现重复出现的一组运动（即 “周期”），比如每 2 次运动为一个周期，位置变化规律相同。 第三步：算余数：用 “总次数 ÷ 周期长度”，根据余数确定第 n 次运动后的位置（余数为 0 对应周期最后一次，余数为 1 对应周期第一次，以此类推）。 例5．正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化规律，有理数与数轴等知识点，由正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定所对应的点，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键． 【详解】当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次， 第一次翻转A对应1， 第二次翻转B对应2， 第三次翻转C对应3， 第四次翻转D对应4， …， ∴四次一个循环， ∵， ∴2025所对应的点是A， 故答案为：A． 变式5-1．在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 变式5-2．在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可． 【详解】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 类型六、数轴上的翻折问题 一、核心性质：折叠的对称性 若数轴沿某点（折痕）折叠，折叠后点 A 与点 B 重合，则： 折痕是点 A 和点 B 的中点； 设折痕对应的数为m，点 A 坐标为a，点 B 坐标为b，则中点公式：m =（即a+b=2m） 二、常见题型及解题步骤 1. 已知两点折叠后重合，求折痕或另一点坐标解题步骤：直接利用中点公式：折痕m = ； 若已知折痕和一点坐标，求其对称点：设对称点为x，则x = 2m - a变形可得）。 例6．平移和翻折是初中阶段研究的两种重要的图形运动． 【平移运动】 （1）把笔尖放在数轴的原点，然后沿数轴向左移动 5 个单位长度，再向右移动3 个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式可以将以上过程及结果表示为_____． （2）把笔尖放在数轴的原点，第 1 次向左跳 2 个单位，紧接着第 2 次向右跳 4个单位，第 3 次向左跳 6 个单位，第 4 次向右跳 8 个单位，……依次规律跳，当它跳了 2019 次时，这时笔尖的位置表示的数是_____． 【翻折运动】 已知纸面上有一数轴，折叠纸面． （3）若 1 表示的点与﹣1 表示的点重合，则﹣9 表示的点与_____表示的点重合． （4）若 1 表示的点与﹣5 表示的点重合，回答以下问题： ① 3 表示的点与_____表示的点重合； ② 若数轴上 A，B 两点之间的距离为 2020（A 在 B 的左侧，且折痕与①折痕相同），且 A、B 两点经折叠后重合，则 A 点表示的数是   _____，B 点表示的数是_____； （5）若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为 a，b，那么数 c 表示的点与数_______表示的点也重合．（用含有 a，b，c 的代数式表示） 【答案】（1）（﹣5）+（+3）=﹣2 （2）-2020 （3）9 （4）-7 （5）-1020 （6）1008 （7）a+b-c 【分析】（1）根据向左为负，向右为正得出算式（﹣5）+（+3），求出即可； （2）由题意可以规定向右记为正，向左记为负，然后列算式，再找规律计算； （3）根据对称的知识，若1表示的点与-1表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到-9的对称点； （4）①若1表示的点与-5表示的点重合，则对称中心是-2表示的点，从而找到3的对称点； ②根据对应点连线被对称中心平分，则点A和点B到-2的距离都是1010，从而求解． （5）根据对称的知识，若a表示的点与b表示的点重合，则对称中心是a,b的中点，故可以列出与数 c 表示的点重合的数的式子； 【详解】解：(1)∵把笔尖放在数轴的原点，然后沿数轴向左移动 5 个单位长度，再向右移动3 个单位长度 ∴根据向左为负，向右为正得出算式：（﹣5）+（+3）=﹣2， ∴此时笔尖的位置所表示的数是﹣2， 故答案为（﹣5）+（+3）=﹣2 （2）设向右跳动为正,向左跳动为负,由题意可得： （3）由题意可知：数轴上当表示1和-1的点重合时，相当于把数轴沿着原点进行了折叠，由此可知此时表示-9的点与表示9的点重合， 故答案为:9 （4）∵1表示的点与-5表示的点重合， ∴对称中心是-2表示的点． ∴①3表示的点与数-7表示的点重合， 故答案为:-7 ②若数轴上A、B两点之间的距离为2020（A 在 B 的左侧，且折痕与①折痕相同）， 则点A表示的数是-2-1010=-1012，点B表示的数是-2+1010=1008． 故答案为-1012， 1008 （5）∵a表示的点与b表示的点重合， ∴对称中心是a,b的中点． ∴那么与数 c 表示的点重合的数是： 故填： 【点睛】本题考查了有关数轴问题，解此题的关键是理解两次运动的表示方法和知道一般情况下规定：向左用负数表示，向右用正数表示． 变式6-1．【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 【答案】（1）2；（2），点表示的数为，点表示的数为 【分析】本题考查了数轴说两点之间的距离，轴对称的性质，利用轴对称性质是解答关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）利用轴对称的性质求得折痕处对应的数，再利用轴对称的性质解答即可；利用轴对称的性质可得两点距离折痕处的距离分别为，结合数轴解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得：对称中心是原点， 示的点与数2表示的点重合； （2）表示的点与3表示的点重合， 对称中心是1表示的点， 5表示的点与数表示的点重合， 数轴上A、两点之间的距离为9（在的左侧）， 点A表示的数是， 点表示的数是． 变式6-2．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数与数轴；熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． （1）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （2）①利用中点坐标公式求出折痕点，设A点表示的数是x，则B点表示的数是，根据中点坐标公式求出x，即可求解； （3）根据题意分别求得表示的数，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵1表示的点和表示的点重合， ∴折叠点对应的数是0， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：∵表示的点和表示的点重合， ∴折叠的点表示的数是， 设点表示的数是，则B点表示的数是， ∴， 解得， ∴点A表示的数， 故答案为：； （3）解：∵点C是数轴上最大的负整数点， ∴点C表示的数是， ∵点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7， ∴点D表示的数是， ∵折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”． ∴点E表示的数是； ∵存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，． ∴，即点F表示的数是， ∴点F到“叠点”E的距离为． 变式6-3．在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 ___________的点重合． 操作二： (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与在数轴上表示的点重合，求点表示的数． ②若数轴上，两点之间的距离为9（点在点的左侧），且，两点折叠后重合，求，两点表示的数． 【答案】(1)2 (2)①，② 【分析】本题考查了数轴的简单应用，解决数轴中的折叠问题，关键是找到折痕经过的数轴上表示的点． （1）根据表示1的点与表示的点重合，可得其中点为原点，则与2重合； （2）根据表示的点与表示3的点重合，可得其中点为表示1的点，再根据互相重合的两个点到中点的距离相等即可求解． 【详解】（1）解：表示1的点与表示的点重合， 折痕经过原点， 表示的点与表示2的点重合． 故答案为：2； （2）解：表示的点与表示3的点重合， ， 折痕经过表示1的点， ①， 点表示的数为； ②， ． ，两点表示的数分别为，5.5． 1．如图，数轴上表示数3的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了相反数及数轴上的点表示的数，根据只有符号不同的两个数互为相反数及数轴上的点表示有理数，即可得出结果，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵3的相反数为， ∴数轴上表示数3的相反数的点是点, 故选：A． 2．已知数轴上的点表示的数为，点是数轴上的点，原点为，且，若点是的中点，那么点表示的数是（    ） A．2或 B．2或4 C．或3 D．1或3 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的点所表示的数，熟练掌握到数轴上一点距离相等的点有两个，然后分类讨论是解题的关键．根据数轴上两点间的距离右边的数左边的数，先得出点表示的数为或6，再根据是的中点，即可得出点表示的数． 【详解】解：原点为，且， 点表示的数为或6， 点表示的数为， 当点表示的数为时，， 点是的中点， ， 点表示的数为， 当点表示的数为6时，同理可得点表示的数为2， 综上，点表示的数是2或， 故选：A． 3．在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 4．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，正方形滚动一周的长度为4，从到2024共滚动2026个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合， 故选：C． 5．若有理数a，，b在数轴上对应点如图所示，则下列运算结果是正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴和正负数，由数轴得，，，于是得出，，进一步得出，，然后再判断即可作出选择． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故排除选项A、B、C， 故选：D． 6．【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【答案】(1)120 (2)20，60 (3)16，40，64 【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可． （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为100， ∴， ∴点之间的距离是120． （2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为， 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为20； 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为60； ∴线段的“理想点”所对应的数是20，60． （3）∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为24，24，72， ①当从到三条纸条的长度为24，24，72，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ②当从到三条纸条的长度为24， 72，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ③当从到三条纸条的长度为72，24，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64． 7．如图，点A、在数轴上对应的数为、7，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为秒． (1)求运动前的中点对应的数； (2)为何值时A、对应的数相同； (3)为何值时A、之间的距离等于2个单位长度． 【答案】(1)1 (2) (3)5秒或7秒 【分析】本题主要考查了数轴上动点．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，中点公式，动点表示的数，是解题的关键． （1）运用中点公式计算即得；（2）写出运动后A、B表示的数，相等，建立方程，解方程即可；（3）包括A没超过B和A超过B两种情况，A、之间的距离等于2个单位长度，建立方程解答． 【详解】（1）解：的中点对应的数． （2）A对应的数是，对应的数是， ∵A、对应的数相同， ∴ 解得． 故当时A、对应的数相同． （3）∵A、之间的距离等于2个单位长度， ∴． 当点A在点左边时，，解得； 当点A在点右边时，，解得． 综上，当为5秒或7秒时，A、之间的距离等于2个单位长度． 8．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上，_____个单位长度，点所对应的数为_____；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的． (2)若是数轴上一点，且满足，通过计算，求点所对应的数． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握两点间的距离公式． （1）根据数轴上两点间的距离公式可求有几个单位长度，在图2中，，则数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的，由图2 知 ，，可求出，在数轴上的距离为个单位长度，最后根据两点间的距离公式求出； （2）根据，，可得，结合点所表示的数为，利用两点间的距离公式，即可求解． 【详解】（1）解：点，分别表示，， 在图1上，个单位长度， 在图2中，， 数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的， 由图2 知 ，， ，在数轴上的距离为个单位长度， 点所对应的数， 故答案为：，；； （2），， ， 点所表示的数为， 设点表示的数为， 则， 解得：或， 点表示的数为或． 9．如图，在数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等．已知点E表示原点，点G表示的有理数是8． (1)点A表示的数为 ，点F表示的数为 ； (2)在数轴上标出的所有点中，表示的数互为相反数的两点为 ； (3)点P为数轴上一点，且表示的数是整数，若点P到点C的距离与点P到点F的距离之和为12，则这样的点P共有多少个？请说明理由． (4)数轴上有两个点M，N，点M到点D的距离为5，点N到点D的距离是3.7，则点M，N之间的距离为多少？请说明理由． 【答案】(1)，4 (2)D与F，C与G (3)13个，理由见解析 (4)1.3或8.7，理由见解析 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）由题意可得出，结合任意相邻两点间的距离都相等，即可得出，，进而得出点A表示的数为，点F表示的数为4； （2）根据相反数的定义结合数轴的性质得出表示的数互为相反数的两点，位于原点两侧，且距原点的距离相等，即可求解； （3）结合题意可知，即得出点P在这条线段上，再根据点P表示的数是整数，即可解答； （4）分类讨论：①当点M和N位于点D同一侧时和②当点M和N位于点D异侧时，求解即可． 【详解】（1）解：因为点E表示原点，点G表示的有理数是8， 所以． 因为任意相邻两点间的距离都相等， 所以，， 所以点A表示的数为，点F表示的数为4； （2）解：因为表示的数互为相反数的两点，位于原点两侧，且距原点的距离相等， 所以由数轴可知表示的数互为相反数的两点为D与F，C与G； （3）解：由数轴可知点C、F分别表示的数是，4， 因为点P到点C的距离与点P到点F的距离之和为12， 所以点P在这条线段上． 又因为P表示的数是整数， 所以点P可能是，，，，，，，，0，1，2，3，4共计13个， 所以这样的点P共有13个； （4）解：分类讨论：①当点M和N位于点D同一侧时， ； ②当点M和N位于点D异侧时， ； 所以点M，N之间的距离为1.3或8.7． 10．综合与与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．    思考解答下列问题: (1)如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示 的点对齐； (2)将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，    此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示 的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示 的点对齐； (3)若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数． 【答案】(1)； (2)，或； (3)或． 【分析】（）根据题意可知数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度，据此求解即可； （）先求出数轴甲上表示的数与的距离，再根据数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度进行求解即可；求出数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲上距离的距离即可得到答案； （）要求乙轴对应甲轴的数，即要先求出乙轴上到对齐点的距离在甲轴上表示的是多少，同理，要求甲轴对应乙的数，即要先求出甲轴上到对齐点的距离在乙轴上表示多少，据此求解即可； 此题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，整式的加减计算，正确理解题意熟知数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度是解题的关键． 【详解】（1）∵数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐， ∴数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度， ∴数轴乙上表示的点与数轴甲上表示的点对齐， 故答案为： ； （2）∵数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐， ∴数轴甲上表示的点与相距个单位长度，则在数轴乙上表示的点对齐； ∴数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲表示： 的点对齐， 的点对齐， 故答案为；；或； （3）由题意得： 当在数轴乙原点左侧时，即表示的数为， ∴与表示的点的距离为， 则点表示的数； 当在数轴乙原点右侧时，即表示的数为， ∴与表示的点的距离为， 则点表示的数， 综上可知：点表示的数为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数轴的六类综合题型 典例详解 类型一、用数轴表示有理数 类型二、数轴上的两点之间距离 类型三、利用数轴比较有理数大小 类型四、根据点在数轴的位置判断式子的正负 类型五、数轴上的规律探究问题 类型六、数轴上的翻折问题 压轴训练 类型一、用数轴表示有理数 数轴的三要素（缺一不可）： 原点（表示 0 的点）； 正方向（通常向右，用箭头表示）； 单位长度（数轴上相邻两个刻度之间的距离，需统一）。 有理数与数轴的关系： 所有有理数都能在数轴上找到唯一对应的点（即 “一一对应”）； 正数在原点右侧，负数在原点左侧，0 在原点上； 分数 / 小数需按单位长度平均分后标注（如 0.5 在 0 和 1 之间，-3/2 在 - 1 和 - 2 之间）。 例1．公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（　　） A． B． C． D．5 变式1-1．在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 变式1-2．A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是 ， 变式1-3．如图，小明同学借助刻度尺画了一条数轴，其中原点落在示数7的刻度线上，表示数字1的点落在示数9的刻度线上，则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为 ． 变式1-4．点A，B，C，D，E在数轴上的位置如图所示，解答下列问题： (1)写出点A， B， C， D， E分别表示什么数？ (2)写出其中哪些数是互为相反数？ 并说明它们到原点的距离有什么关系？ 类型二、数轴上的两点之间距离 数轴上任意两点之间的距离，等于这两个点所表示的数的差的绝对值 解题思路：求两点距离的步骤 确定两点表示的数：先从数轴上找到两个点对应的有理数（比如点 A 是a，点 B 是b）。 计算两数的差：列出a−b（或b−a，顺序不影响，因为有绝对值）。 取绝对值：去掉差的正负号，结果就是两点距离。 易错点提醒 别漏写绝对值：如果直接用 “大数减小数”，虽然结果对，但遇到负数容易算错（比如求 - 5 和 - 1 的距离，(-1 - (-5) = 4)，但如果写成(-5 - (-1) = -4)，忘了取绝对值就错了）。 单位长度要统一：计算时要注意数轴的单位长度（比如 1 格代表 2，那两点相差 3 格，实际距离是 6）。 例2如图，点，在数轴上的位置如图所示，为原点，点在数轴上所表示的数为，，点为线段的中点，则点在数轴上所表示的数为 ． 变式2-1．如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向． (1)若点A所表示的数是，则点所表示的数是_______； (2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______； (3)若点B，O之间的距离为4，求m的值． 变式2-2．如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 变式2-3．如图，点A对应的数为，点B对应的数为3，点C对应的数为5，规定：点A与点B之间的距离表示为．例如：，．已知点P为数轴上的动点，其对应的数为x，请解答下列问题： (1)填空：______； (2)当时，求的值． 类型三、利用数轴比较有理数大小 数轴上的点从左到右是按 “从小到大” 的顺序排列的。 所有正数在原点右侧，所有负数在原点左侧，0 在原点。 因此，正数＞0＞负数； 两个正数：右边的数更大（比如 3 在 2 的右边，所以 3＞2）； 两个负数：右边的数更大（比如 - 1 在 - 3 的右边，所以 - 1＞-3）。 例3．如图，在数轴上，点A，B分别表示数，． (1)求x的取值范围； (2)数轴上表示数“”的点C应落在点A左边、点A、B之间还是点B的右边？请说明理由． 变式3-1．如图．数轴上点表示的数是．点表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点，记为点， (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，再把它们按照从大到小的顺序排列，并用“”连接． 变式3-2．数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ）． A． B． C． D． 变式3-3．已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 类型四、根据点在数轴的位置判断式子的正负 从数轴上获取关键信息 看到数轴上的点，先确定两件事： 每个点表示的数的符号：原点右侧的点：表示正数（＞0）； 原点左侧的点：表示负数（＜0）； 原点：表示 0。 点的左右位置（大小关系）：若点 A 在点 B 右侧，则 A 表示的数＞B 表示的数（右大左小）。 常见式子的正负判断方法 1. 单个字母（或数）的正负 直接看位置：在原点右则为正（如(a＞0)），左则为负（如(b＜0)，原点则为 0。 2. 两个数的和(a + b) 同号相加： 正数 + 正数：结果为正（如 3 + 2 = 5＞0）； 负数 + 负数：结果为负（如 - 3 + (-2) = -5＜0）。 异号相加： 看 “绝对值大的数的符号”（谁离原点远，谁的 “势力” 大）： 正数绝对值＞负数绝对值：和为正（如 5 + (-3) = 2＞0，5 离原点更远）； 正数绝对值＜负数绝对值：和为负（如 3 + (-5) = -2＜0，-5 离原点更远）。 有 0 参与： 正数 + 0 = 正数（正）；负数 + 0 = 负数（负）。 3. 两个数的差(a - b) 先转化为 “(a + (-b))”，再按 “和” 的规则判断；或更简单： 根据 (a - b＞0 ⇔ a＞b)（右减左为正）： 若a在b右侧(a＞b)），则(a - b＞0)（正）； 若a在b左侧(a＜b)），则(a - b＜0)（负）； 若(a = b)（同一点），则\(a - b = 0)。 4. 两个数的积(a ×b)）或商(a÷ b)，(b≠0） “同号得正，异号得负”： 若a和b在原点同侧（同正或同负）：积、商为正； 若a和b在原点两侧（一正一负）：积、商为负； 有 0 参与：积或商为 0（商需注意除数不能为 0）。 5. 绝对值相关(|a|)、(|a| + b)等） |a|：永远非负（≥0），正数和负数的绝对值都是正数，0 的绝对值是 0； 含绝对值的式子：先判断绝对值内数的正负，再化简绝对值，最后按上述规则分析。 例：若(a＜0)，则(|a| = -a)（正数），再看(|a| + b)即 “正数 + b” 的正负。 例4．如图，实数，，在数轴上的对应点分别是，，．若，互为相反数，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 变式4-1．若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 变式4-2．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 变式4--3．如图，有理数，，，在数轴上的对应点分别是，，，．若，互为相反数，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 类型五、数轴上的规律探究问题 常见数轴规律探究问题解题步骤： 第一步：记录前几次运动后的位置：从起点开始，按运动规则算出第 1 次、第 2 次、第 3 次… 运动后的坐标，列成表格（或数列）。 第二步：找周期：观察位置变化，发现重复出现的一组运动（即 “周期”），比如每 2 次运动为一个周期，位置变化规律相同。 第三步：算余数：用 “总次数 ÷ 周期长度”，根据余数确定第 n 次运动后的位置（余数为 0 对应周期最后一次，余数为 1 对应周期第一次，以此类推）。 例5．正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 变式5-1．在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 变式5-2．在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 类型六、数轴上的翻折问题 一、核心性质：折叠的对称性 若数轴沿某点（折痕）折叠，折叠后点 A 与点 B 重合，则： 折痕是点 A 和点 B 的中点； 设折痕对应的数为m，点 A 坐标为a，点 B 坐标为b，则中点公式：m =（即a+b=2m） 二、常见题型及解题步骤 1. 已知两点折叠后重合，求折痕或另一点坐标解题步骤：直接利用中点公式：折痕m = ； 若已知折痕和一点坐标，求其对称点：设对称点为x，则x = 2m - a变形可得）。 例6．平移和翻折是初中阶段研究的两种重要的图形运动． 【平移运动】 （1）把笔尖放在数轴的原点，然后沿数轴向左移动 5 个单位长度，再向右移动3 个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式可以将以上过程及结果表示为_____． （2）把笔尖放在数轴的原点，第 1 次向左跳 2 个单位，紧接着第 2 次向右跳 4个单位，第 3 次向左跳 6 个单位，第 4 次向右跳 8 个单位，……依次规律跳，当它跳了 2019 次时，这时笔尖的位置表示的数是_____． 【翻折运动】 已知纸面上有一数轴，折叠纸面． （3）若 1 表示的点与﹣1 表示的点重合，则﹣9 表示的点与_____表示的点重合． （4）若 1 表示的点与﹣5 表示的点重合，回答以下问题： ① 3 表示的点与_____表示的点重合； ② 若数轴上 A，B 两点之间的距离为 2020（A 在 B 的左侧，且折痕与①折痕相同），且 A、B 两点经折叠后重合，则 A 点表示的数是   _____，B 点表示的数是_____； （5）若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为 a，b，那么数 c 表示的点与数_______表示的点也重合．（用含有 a，b，c 的代数式表示） 变式6-1．【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 变式6-2．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 变式6-3．在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 ___________的点重合． 操作二： (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与在数轴上表示的点重合，求点表示的数． ②若数轴上，两点之间的距离为9（点在点的左侧），且，两点折叠后重合，求，两点表示的数． 1．如图，数轴上表示数3的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．已知数轴上的点表示的数为，点是数轴上的点，原点为，且，若点是的中点，那么点表示的数是（    ） A．2或 B．2或4 C．或3 D．1或3 3．在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 4．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 5．若有理数a，，b在数轴上对应点如图所示，则下列运算结果是正数的是（   ） A． B． C． D． 6．【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 7．如图，点A、在数轴上对应的数为、7，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为秒． (1)求运动前的中点对应的数； (2)为何值时A、对应的数相同； (3)为何值时A、之间的距离等于2个单位长度． 8．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上，_____个单位长度，点所对应的数为_____；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的． (2)若是数轴上一点，且满足，通过计算，求点所对应的数． 9．如图，在数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等．已知点E表示原点，点G表示的有理数是8． (1)点A表示的数为 ，点F表示的数为 ； (2)在数轴上标出的所有点中，表示的数互为相反数的两点为 ； (3)点P为数轴上一点，且表示的数是整数，若点P到点C的距离与点P到点F的距离之和为12，则这样的点P共有多少个？请说明理由． (4)数轴上有两个点M，N，点M到点D的距离为5，点N到点D的距离是3.7，则点M，N之间的距离为多少？请说明理由． 10．综合与与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．    思考解答下列问题: (1)如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示 的点对齐； (2)将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，    此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示 的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示 的点对齐； (3)若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$