第三章概率的进一步认识暑假预习2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第三章 概率的进一步认识 暑假预习 一、单选题 1．在分别写有，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（    ） A． B． C． D． 2．如图四个转盘中，若转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率最大的盘是（   ） A． B． C． D． 3．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 D．用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数 4．从电脑文档存储的一篇文章中随机抽取若干页，统计其中“的”字出现的频率约为0.02，由此可以估计整片文章中“的”字出现的概率约为（   ） A．0.04 B．0.02 C．0.98 D．不能确定 5．如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 6．在一个不透明的口袋中装有白球、黑球、红球共60个，这些球除颜色外完全相同，小星通过多次摸球实验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5左右，黑球的频率稳定在0.25左右，则下列结论中正确的是（    ） A．摸到白球的概率一定是 B．袋子中白球的个数可能最多 C．摸到黑球的概率一定是 D．袋子中黑球和红球的个数相等 7．如图所示是一游戏转盘，将两个转盘各转一次，然后将指针指向的数相乘，则两次指针指向的数之积为2的概率是（　　） A． B． C． D． 8．甲、乙两名同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（    ） A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中随机取一球，取到红球的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 D．从1—10十张纸牌中随机抽取一张，是2的倍数的概率 9．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于现行简谱的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得的，现有一款“一起听古音”的音乐玩具（如图），音乐小球从处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中的可能性大小相同．现有一个音乐小球从处先后两次进入小洞，先发出“宫”音，再发出“羽”音的概率是（   ） A． B． C． D． 10．九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（    ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A．3个 B．4个 C．5个 D．10个 二、填空题 11．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为估计白球数，小刚向其中放入8个黑球摇匀后，从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中40次摸到黑球，你估计盒中大约有白球 个 12．现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 ． 13．三张写有不同整式运算式子的卡片，除正面内容不同外其余完全相同，卡片置于暗箱中摇匀，任意抽取两张卡片，卡片上整式运算都正确的概率是 ． 14．小明借助电脑软件做掷骰子实验，利用频率估计概率．有下列4个实验：①掷骰子，向上一面的点数是6；②掷骰子，向上一面的点数是偶数；③掷骰子，向上一面的点数大于4．根据图中的实验记录情况，小明做的实验可能是 （填写序号即可）． 15．年是农历乙巳年，1月5日，中国邮政《乙巳年》特种邮票全国首发，贵州贵阳因有“蛇场”命名地，特同步在贵阳黔灵山公园举行首发活动，为庆贺蛇年新春拉开了序幕．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的）经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在左右，若一张邮票的面积是，则邮票上蛇形图案的面积约为 ． 三、解答题 16．酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色，一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种，分别记为A、B、C、D．小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 17．为了激发青少年的创新热情，第39届全国青少年科技创新大赛计划于2025年暑期举办，科创爱好者小勋设计了一款闯关小游戏，如图，在进入游戏之前有甲、乙两组关卡，每组关卡中各有4个按钮和4个装置（含2个发光装置和2个发音装置），每个按钮控制该组的一个装置（按钮与装置一对应，但顺序不对应），每按下一个按钮，该组就会有一个发音装置发出“闯关失败”的声音或一个发光装置亮起玩家每次从两组分别随机按下一个按钮，若两组中各有一个发光装置亮起，则可进入游戏：若两组中只有一组是发光装器亮起，另一组发出“闯关失败”的声音，则可再闯关一次；若两组均发出“闯关失败”的声音，则退出游戏． (1)从甲组任意按下一个按钮，发光装置亮起的概率为________； (2)小勋设计完成后让好朋友小华试玩了一下，请用列表法或画树状图法求小华一次就能进入游戏的概率． 18．某学校射击队计划从甲、乙两名运动员中选取一名队员代表该校参加比赛，在选拔过程中，每名选手射击10次，根据甲、乙队员成绩绘制了如图1、图2所示的统计图： (1)甲队员选拔赛成绩的中位数是_____环，乙队员选拔赛成绩的众数是_____； (2)根据甲、乙两名队员的选拔赛成绩，学校决定推荐一名队员参赛，你认为推荐谁更好？请选择合适的统计量进行分析； (3)为提升射击队技战术水平，学校决定除甲、乙外，再从射击队其他3名队员（一名男生，两名女生）中随机选出两名队员一同前往观看比赛，用树状图或列表法求恰好选出一名男生和一名女生的概率． 19．2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： (1)这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． (2)若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 20．商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章 概率的进一步认识 暑假预习2025-2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B D B C A A B 1．B 【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 1 2 1 2 共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有，两种， ∴； 故选：B． 2．A 【分析】此题考查了几何概率．分别求出转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率即可得到答案． 【详解】解：A.阴影部分的面积占圆的面积的； B.阴影部分的面积占圆的面积的； C.阴影部分的面积占圆的面积的； D.阴影部分的面积占圆的面积的， ∵， ∴转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率最大的盘是A选项中的转盘， 故选：A. 3．B 【分析】本题考查“用频率估计概率”的试验、求随机事件的概率等知识，由题意确定试验出现某种结果的概率约为，再逐项求出各个随机事件的概率比较即可得到答案．理解题意，掌握随机事件概率的求法是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，即概率约为， A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合试验结果； B、掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合试验结果； C、掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合试验结果； D、用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数的概率为，不符合试验结果； 故选：B． 4．B 【分析】本题考查频率与概率的关系．在大量重复试验中，频率会稳定于概率附近，因此可以通过随机抽样得到的频率来估计概率．题目中“随机抽取若干页”且统计出的频率为0.02，符合用频率估计概率的条件． 【详解】解：随着相同条件下试验次数的增大，事件出现的频率逐渐稳定，可以用稳定时的频率来估计这一事件发生的概率， 故可估计这本书中“人”字出现的概率是0.02． 故选B． 5．D 【分析】此题考查了利用频率估计概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为的即为正确答案． 【详解】解：试验结果在附近波动，即其概率， A、小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜的概率为，故A选项错误； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项错误； C、投掷一枚图钉，尖朝上的概率无法判断，故C选项错误； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数是，故D选项正确； 故选：D． 6．B 【分析】本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 根据利用频率估计随机事件的概率，频率与频数，总数之间的关系去判断求解即可． 【详解】解：A、摸到白球的概率一定是，错误，不符合题意； B、利用频率估计随机事件的概率可得：袋子中白球的个数，黑球的个数，红球的个数，故袋子中白球的个数可能最多，正确，符合题意； C、摸到黑球的概率一定是，错误，不符合题意； D、由B可得袋子中黑球和红球的个数不相等，错误，不符合题意； 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列举出所有情况，看两次指针指向的数之积为2的结果占总结果数的多少即可． 【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有8种等可能出现的结果，其中两次指针指向的数之积为2的结果有3种， 所以两次指针指向的数之积为2的概率为， 故选：C． 8．A 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中随机取一球，取到红球的概率是，故此选项符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率是，故此选项不符合题意； C、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率是，故此选项不符合题意； D、从1﹣10十张纸牌中随机抽取一张，是2的倍数的概率是，故此选项不符合题意． 故选：A． 9．A 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列出表格如下： 宫 商 角 徵 羽 宫 宫，宫 宫，商 宫，角 宫，徵 宫，羽 商 商，宫 商，商 商，角 商，徵 商，羽 角 角，宫 角，商 角，角 角，徵 角，羽 徵 徵，宫 徵，商 徵，角 徵，徵 徵，羽 羽 羽，宫 羽，商 羽，角 羽，徵 羽，羽 共25种等可能的结果，其中，先发出“宫”音，再发出“羽”音的结果只有1种， ∴； 故选：A． 10．B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键． 根据表格中信息可得到红球的概率，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：从给出的表格中可以看到，随着摸球总次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在左右， 设口袋中红球有个， 由于摸到红球的频率稳定值可近似看作摸到红球的概率，即， 解得：， 所以口袋中红球的个数最可能是个， 故选：B． 11．32 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，根据概率求数量；根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式求解． 【详解】解：设盒子里有白球x个，根据题意得： 解得：． 经检验得是方程的解． 答：盒中大约有白球个． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有4种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为： 13． 【分析】先根据相关运算法则计算判断，记，这3张卡片分别为，列表得出所有等可能的结果数，以及抽取两张卡片上整式运算都正确的结果数，再利用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：，3个整式运算中正确的有，两个， 记，这3张卡片分别为， 根据题意列表如下： A B C A (A,B) (A,C) B (B,A) (B,C) C (C,A) (C,B) 由表中数据可知，总共有中情况，其中抽取两张卡片上整式运算都正确的有两种情况， 任意抽取两张卡片，卡片上整式运算都正确的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，列表法与树状图求概率，熟练掌握相关运算法则，列表法与树状图法求概率，以及概率公式是解答本题的关键． 14．③ 【分析】本题考查的是频率和概率的关系．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率约为，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率约为， ①掷骰子，向上一面的点数是6的概率为，故此选项不符合题意； ②掷骰子，向上一面的点数是偶数的概率为，故此选项不符合题意； ③掷骰子，向上一面的点数大于4的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：③ 15． 【分析】本题考查了利用频率估计概率，几何概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 已知这个点落在蛇形图案上的频率稳定在左右，根据频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为， 所以邮票上蛇形图案的面积约为， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查用列表或画树状图求概率、概率公式，先列表格确定总共有12种等可能的结果，其中2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的可能性有8种，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题意列表格如下： 小亮     小明 A B C D A B C D 由表格可得，总共有12种等可能的结果，其中2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的可能性有8种， ∴2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率为． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：从甲组任意按下一个按钮，发光装置亮起的概率为； （2）设甲组的四个按钮中，控制发光装置的两个按钮分别为A，B，控制发音装置的两个按钮分别为C、D，乙组的四个按钮中，控制发光装置的两个按钮分别为E、F，控制发音装置的两个按钮分别为G，H，根据题意画树状图如下：      由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小华一次就能进入游戏的情况有4种， （小华一次就能进入游戏）． 18．(1)；环； (2)推荐甲更好，分析见解析; (3) 【分析】（1）对于甲，先将成绩数据排序，根据中位数定义（按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数 ）找中位数；对于乙，依据众数定义（一组数据中出现次数最多的数值 ），从折线图整理后的成绩找众数． （2）分别计算甲、乙的平均数、方差，通过平均数看平均水平，方差看成绩稳定性，来判断推荐谁． （3）用列表或树状图列出从名队员选名的所有可能结果，再找出一男一女的结果数，根据概率公式（，总结果数，事件结果数 ）计算概率． 【详解】（1）解：甲的成绩：，，，，，，，，， 共个数据，第、个数据分别是， 中位数为环 乙的成绩修正为：，，，，，，，，，，其中出现次，出现次数最多 众数是环 故答案为：；环； （2）解：环 环 ，且甲乙， ∴甲平均成绩更高且更稳定 推荐甲更好 （3）解：设男生为，女生为，，列表： - - - 总结果数，一男一女的结果数 概率 【点睛】本题主要考查了统计中的中位数、众数、平均数、方差以及概率的计算，熟练掌握这些统计量的定义和计算方法，以及用列表或树状图求概率的步骤是解题的关键． 19．(1)40，，见解析 (2)见解析， 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确理解题意是解题的关键． （1）先根据D组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用乘以组的的百分比即可求出扇形统计图中的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可； （2）画出树状图或列表法得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可． 【详解】（1）解：这次抽查的志愿者共有：（人）， 扇形统计图中的圆心角度数是， C组的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：40， （2）解：设2名男志愿者分别记作、，2名女志愿者分别记作、 根据题意可以画出如下的树状图 列表法如下图 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是和的情况有两种. 20．(1)； (2)选择方案一较为实惠． 【分析】本题主要考查了画树状图求某个事件发生的概率、根据概率选择方案． 画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况，一次抽奖获得折优惠的概率； 根据概率可知，如果选择方案二，顾客大概率可能只省元，如果选择方案一，顾客一定可以省元，选择方案一较为实惠． 【详解】（1）解：画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况， 一次抽奖获得折优惠的概率； （2）解：如果先择方案二，则顾客打折的概率为， 打折的概率为， 打折的概率为， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 打折的概率是， 如果选择方案二，顾客大约可以省元， 如果选择方案一，顾客一定可以省元， 选择方案一较为实惠． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$