第13讲 因式分解（二）暑假讲义 2025—2026学年人教版数学八年级上册

（人教版）八年级暑假能力强化班 第八讲 因式分解（二） 课程目标 1.熟练运用公式法分解因式. 2.利用因式分解解决一些简单的实际问题. 课程内容 知识点一 公式法分解因式 把乘法公式（平方差公式、完全平方公式）的两边互换位置，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 把整式乘法的完全平方公式,的等号两边互换位置，就得到,，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 题型一 利用平方差公式分解因式（a、b都是单项式） 例1 分解因式： （1）； （2）16a4b2－9m2n4； （3）45xy2－20x； （4）2a3b－a3b－ab3． 【思路分析】（1）因为m4=（m2）2，，则原式可以利用平方差公式分解因式；（2）因为16a4b2=（4a2b）2，9m2n4=（3mn2）2，则原式可以利用平方差公式分解因式；（3）因为多项式中含有公因式5x，则先提公因式然后再利用平方差公式分解因式；（4）因为多项式中含有公因式－ab，则先提公因式然后再利用平方差公式分解因式. 【解】（1）原式=. （2）原式=. （3）原式=45xy2－20x=5x（9y2－4）=5x（3y+2）（3y－2）. （4）原式=－ab（－2a2+a2+b2）=－ab（－a2+b2）=ab（a2－b2）=ab（a+b）（a－b）． 【总结提示】利用平方差公式分解因式，常与提公因式法相结合，因此对于一个比较复杂的多项式，首先应看这个多项式有无公因式，若有，则先提出公因式后再看能否继续分解. 练1 如图，大小两圆的圆心相同，其半径分别是Rcm和rcm，求： ⑴圆环的面积； ⑵如果R＝8.45cm，r＝3.45cm，求圆环的面积.（最后结果保留π） 【思路分析】根据“圆环的面积=大圆面积－小圆面积”，即可列出求圆环面积的算式，然后利用平方差公式简便计算. 【解】（1）根据题意，S＝πR2－πr2＝π（R2－r2）＝π（R＋r）（R－r）． （2）当R＝8.45 cm，r＝3.45 cm时， S＝π（8.45＋3.45）×（8.45－3.45）＝59.5π（cm2）． 题型二 利用平方差公式分解因式（a、b至少有一个是多项式） 例2 把下列各式分解因式： （1）（x－1）2－9； （2）（1－a）2－（b－1）2； （3）9a2（x－y）+4b2（y－x）； （4）（x+2）2（2m－n）+4（n－2m）. 【思路分析】⑴因为9=32，如果把x－1看做一个整体，可利用平方差公式分解因式；（2）如果把1－a 与b－1分别看做一个整体，可直接利用平方差公式分解因式；（3）因为算式中含有公因式（x－y），9a2=（3a）2，4b2=（2b）2，所以可先利用提公因式法分解因式，然后再利用平方差公式分解因式；（4）因为n－2m=－（2m－n），可先提公因式，然后再利用平方差公式分解因式. 【解】（1）原式=（x－1）2－32 =（x－1+3）（x－1－3） =（x+2）（x－4）. （2）原式=[（1－a）+（b－1）] [（1－a）－（b－1）] =（－a+b）（－a－b+2） =（a－b）（a+b－2）. （3）原式= = ． （4）原式= = =（2m－n）（x+2+2）（x+2－2） = x（x+4）（2m－n）. 【总结提示】当平方差公式中的a、b为多项式时，要注意排除两个“干扰”：①由于a、b为多项式，因而对原多项式是否符合平方差公式的结构特征产生干扰，解决的方法是把这个多项式用a或b代替，分解因式后再把a、b还原；②由于a、b为多项式，写成平方差公式后容易受符号等方面的干扰，解决的方法是不要随便省略解题步骤，并适时添加括号. 练2 把下列各式分解因式： （1）（x+5）2－4； （2）16（x+1）4－81； （3）（3x－2）2－（2x+7）2； （4）x3－4x（x+y+1）2 【思路分析】（1）因为4=22，所以可利用平方差公式分解因式；（2）因为16=24，81=34，所以可利用平方差公式分解因式；（3）分别把（3x－2）、（2x+7）看做一个整体，然后利用平方差公式分解因式；（4）把x+y+1看做一个整体，可先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式． 【解】（1）原式=（x+5+2）（x+5－2） =（x+7）（x+3）． （2）原式=[4（x+1）2]2－92 =[4（x+1）2+9][4（x+1）2－9] = [4（x+1）2+9]｛[2（x+1）]2－32｝ =（4x2+8x+13）[2（x+1）+3][2（x+1）－3] =（4x2+8x+13）（2x+5）（2x－1）. （3）原式=[（3x－2）+（2x+7）][（3x－2）－（2x+7）] =（5x+5）（x－9）=5（x+1）（x－9）． （4）原式=x[x2－4（x+y+1）2] =x[x+2（x+y+1）] [x－2（x+y+1）] =x（x+2x+2y+2）（x－2x－2y－2） =－x（3x+2y+2）（x+2y+2）. 题型三 利用完全平方公式分解因式（a、b都是单项式） 例3 把下列多项式分解因式： （1） ； （2）3x2－18x+27； （3）3x3－6x2y+3xy2； （4）4a2x2+16ax2y+16x2y2. 【思路分析】⑴如果把多项式中的“－”号提出，则剩余部分是 的平方；（2）先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式；（3）因为多项式中含有公因式3x，把3x提出后，则剩余部分是x－y的平方；（4）先提取公因式4x2，再利用完全平方公式分解因式. 【解】⑴原式= = =. （2）原式=3（x2－6x+9）=3（x－3）2． （3）原式=3x（x2－2xy+y2）=3x（x－y）2. （4）原式=4x2（a2+4ay+4y2）=4x2（a+2y）2. 练3把下列各式因式分解． （1）x2－18xy+81y2; （2）4x2－8x+4; （3）－x+6x－9x3; （4）（x+2）（x+6）+4; 【解】（1）原式=（x－9y）2； （2）原式=4（x2－2x+1）=4（x－1）2； （3）原式=－x（1－6x+9x2）=－x（1－3x）2; （4）原式=x2+8x+12+4=x2+8x+16=（x+4）2； 题型四 利用完全平方公式分解因式（a、b至少有一个是多项式） 例4 下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2－4x=y， 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2－4x+4）2（第四步） 请问： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）.若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果； （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解． 【思路分析】（1）观察分解过程发现利用了完全平方公式；（2）该同学分解不彻底，最后一步还能利用完全平方公式继续分解；（3）仿照题中方法将x2－2x看做一个整体，先展开、整理然后利用完全平方公式分解即可． 【解】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，故选C. （2）该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x－2）4； （3）设x2－2x=y， 原式= y（y +2）+1= y2 +2 y+1=（y +1）2=（x2－2x+1）2=（x－1）4． 【总结提示】本题（3）求解的关键是熟练掌握完全平方公式，特别是公式中的a、b为多项式时更需要解题脉络清晰，必要时可利用题例中“换元”的方法，即设x2－2x=y，待解题方法熟练之后，再直接按完全平方公式求解. 练4 把下列多项式分解因式： （1）9（m－n）2+4（m+n）2+12（m2－n2）； （2）（x2+1）2－4x3+4x2－4x； （3）－3（m+2）a2+18（m+2）a－27（m+2）； （4）[（a－1）+2（b+3）]2+2[（a－1）+2（b+3）－1]+3． 【思路分析】（1）把第二、三项颠倒位置，并把m+n与m－n分别看做一个整体，则原式可变形为3（m－n）+ 2（m+n）的平方；（2）将x2+1看做一个整体，则原式可以变形为（x2+1）－2x的平方；（3）先提公因式－3（m+2），然后再根据完全平方公式分解因式；（4）观察可知，如果把（a－1）与（2b+3）分别看做一个整体，同时变形3=2+1，则多项式可根据完全平方公式分解因式. 【解】（1）原式=9（m－n）2+12（m2－n2）+4（m+n）2 =[3（m－n）]2+2×3×2（m+n）（m－n）+[2（m+n）]2 =[3（m－n）+ 2（m+n）]2 =（5m－n） 2 . （2）原式=（x2+1）2－（4x3+4x）+4x2 =（x2+1）2－4x（x2+1）+4x2 =[（x2+1）－2x]2 =（x－1）4. （3）原式=－3（m+2）（a2－6a+9） =－3（m+2）（a－3）2. （4）原式=[（a－1）+2（b+3）]2+2[（a－1）+2（b+3）]－2+3 =[（a－1）+2（b+3）]2+2[（a－1）+2（b+3）]+1 = [（a－1）+2（b+3）+1] 2 =（a－1+2b+6+1）2 =（a+2b+6）2． 题型五 数字问题 例5 当n为正整数时，一定能被某个数整除，则该数可能是（   ） A．5 B．8 C．9 D．12 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式．先把分解因式可得结果为，结合n为正整数可得答案． 【详解】解： ， n为正整数， 一定能被12整除， 故选D． 练5 可以被和之间某两个整数整除，则这两个数是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，先对原式进行因式分解，然后即可求出这两个整数．解题的关键是熟练运用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ， ∴这两个数是和． 故选：A． 题型六 新定义问题 例6 设a、b、c、d均为正整数，分别表示千位、百位、十位和个位上的数字，一个四位数就可以记作为：．若一个四位数满足，我们就称该数是“密码数”． 已知一个“密码数”满足：，（k为正整数）． (1)填空：_________，_________； (2)求满足条件的“密码数”x的最大值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，新定义运算，二元一次方程组的应用，理解题意，将其转化为实数的运算是解题关键． （1）由题意可知，，，（为正整数），可得，再转化为方程组解题即可； （2）由条件可得，可得，再结合方程的解的含义可得的值，从而可得答案． 【详解】（1）解：设“密码数”， 由题意可知，，，（为正整数）， ， ，，，且、为正整数， 或或， 符合题意的解为：． （2）解：，，， ， ∵（k为正整数），且，， ∴， ∴或， 当时，， 此时密码数为：， 当时，， 此时密码数为：； 满足条件的“密码数数”的最大值为， 故答案为：． 练6 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”，如，，因此24和56都是“幸福数”，下列4个结论： ①最小的“幸福数”是8； ②521是“幸福数”； ③“幸福数”一定是4的偶数倍； ④20以内的所有“幸福数”之和是24． 请填写正确结论的序号 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，先两个连续的奇数为和，根据“幸福数”的定义，证明“幸福数”是8的倍数，据此对各个结论进行计算判断即可． 【详解】解：设两个连续的奇数为和， ∵ ， ∴“幸福数”是8的倍数， ∵n为正整数， ∴n的最小值为1， ∴最小的“幸福数”是8，故①正确； ∵， ∴521不是“幸福数”，故②错误； ∵“幸福数”是8的倍数， ∴“幸福数”是4的偶数倍，故③正确； ∵当时，“幸福数”是8， 当时，“幸福数”是16， 当时，“幸福数”是24， ∴20以内的所有“幸福数”之和是：，故④正确， ∴正确结论的序号为①③④， 故答案为：①③④． 知识点二 十字相乘法 引例 阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）； 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式. 分析：这个式子的常数项6=2×3，一次项系数5=2+3，所以x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3. 解：x2+5x+6=（x+2）（x+3）. 上述分解因式的方法，可用如图所示的算式表示，因此这种分解因式的方法形象的叫做“十字相乘法”. 请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）分解因式：x2+7x－18=____________； 启发应用 （2）利用因式分解法解方程：x2－6x+8=0； （3）若x2+px－8可分解为两个一次因式的积，求整数p的所有可能值． 【思路分析】（1）利用十字相乘法即可把x2+7x－18分解因式；（2）把方程的左边分解因式，即可得到两个一元一次方程；（3）利用十字相乘法并进行分类讨论，即可求得整数p的所有可能值. 【解】（1）原式= x2+（－2+9）x+（－2）×9=（x－2）（x+9）. 故填（x－2）（x+9）. （2）∵左边= x2+（－2－4）x+（－2）×（－4）=（x－2）（x－4）， ∴原方程可变形为（x－2）（x－4）=0. ∴x－2=0或x－4=0， 解得x=2或x=4. （3）∵－8=－1×8=－8×1=－2×4=－4×2， ∴p=－1+8=7或p=－8+1=－7或p=－2+4=2或p=－4+2=－2． ∴整数p的所有可能值为：7或－7或2或－2． 例7 （1）； （2）； （3）． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 练7 (1)； (2)； (3)． （1）解：方程左边因式分解，得． 于是得或． 所以原方程的解为，； （2）解：方程左边因式分解，得． 于是得或． 所以原方程的解为，； （3）解：方程左边因式分解，得． 于是得或． 所以原方程的解为，． 附加题 计算：（1） （2） 【思路分析】这两题若从算式的角度去看待数的计算,可看到问题的本质.(1)(2)均为分式,可先分别观察分子、分母中数字之间的关系,再引进字母表达,最后用整式乘法和因式分解的知识进行算式的化简、运算。 【解】（1）设a=2003，则 原式= = = （2） ∴== ∴原式= =337 一课一练 1.计算： ． 【答案】4049 【分析】本题考查了因式分解的运用，直接利用平方差公式分解即可进行简便计算． 【详解】解： ． 故答案为：4049． 2. 因式分解3y2－6y+3，结果正确的是（　　）. A．3（y－1）2 B．3（y2－2y+1） C．（3y－3）2 D．3（y+1）2 【解】3y2－6y+3=3（y2－2y+1）=3（y－1）2．故选A. 3.分解因式（2x+3）2－x2的结果是（　　）. A．3（x2+4x+3） B．3（x2+2x+3） C．（3x+3）（x+3） D．3（x+1）（x+3） 【解】（2x+3）2－x2=（2x+3+x）（2x+3－x）=（3x+3）（x+3）=3（x+1）（x+3）． 故选D. 4.分解因式：x2y－y=_____________. 【解】x2y－y=y（x2－1）=y（x+1）（x－1）. 故填y（x+1）（x－1）. 5.把下列各式进行因式分解： （1）－3ax2+6ax－3a； （2）a3－14a2+49a； （3）x2（x－y）+y2（x－y）+2xy（x－y）； （4）m（a+b）2－4 m（a+b－1）. 【解】（1）原式=－3a（x2－2x+1）=－3a（x－1）2. （2）a3－14a2+49a =a（a2－14a+49）=a（a－7）2. （3）x2（x－y）+y2（x－y）+2xy（x－y）=（x－y）（x2+y2+2xy）=（x－y）（x+y）2. （4）m（a+b）2－4 m（a+b－1） = m[（a+b）2－4（a+b－1）] = m[（a+b）2－4（a+b）+4] =m（a+b－2）2． 6. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20都是“神秘数” (1)28和2024这两个数是“神秘数”吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ (3)两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 【答案】(1)28是“神秘数”，2024不是“神秘数”，理由见解析 (2)是，理由见解析 (3)不是，理由见解析 【分析】此题考查的知识点是因式分解的应用，主要是平方差公式的灵活应用． （1）试着把36、2022写成平方差的形式，即可判断是否是神秘数； （2）化简两个连续偶数为和的平方差，再判断； （3）设两个连续奇数为和，则，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数． 【详解】（1）28是“神秘数”，2024不是“神秘数”，理由如下： ． 又，但505、507不是连续的偶数， 28是“神秘数”，2024不是“神秘数”． （2）是，理由如下： ， 由和构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍． （3）不是，理由如下： 设两个连续奇数为和， 则， 即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件． 两个连续奇数的平方差不是神秘数． 家庭作业 1..分解因式：（y2+y+2）3－4（y2+y+2）2+4（y2+y+2）=（ ）. A．（y2+y+2）[（y2+y+2）2－4（y2+y+2）+4] B．（y2+y+2）（y2+y）2 C．（y2+y+2）（y2+y+4）2 D．（y2+y+2）（y2+y+4）（y2+y） 【解】原式=（y2+y+2）[（y2+y+2）2－4（y2+y+2）+4] =（y2+y+2）[（y2+y+2）－2]2 =（y2+y+2）（y2+y）2. 故选B. 2.若为任意整数，且的值总可以被整除，则等于（   ） A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用．先将因式分解，进而可以得出答案． 【详解】解：，   的值总可以被11整除，即， 故选：A． 3.因式分解：（x2+9）2－36x2=_________________． 【解】原式=（x2+9+6x）（x2+9－6x）=（x+3）2（x－3）2. 故填（x+3）2（x－3）2. 4.分解因式：x2－8x+16－（x－1）2=______________. 【解】原式=（x－4）2－（x－1）2=（x－4+x－1）（x－4－x+1）=－3（2x－5）. 故填－3（2x－5）. 5.如图，在一块边长为acm的正方形纸板四角，各剪去一个边长为bcm（ ）的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时，剩余部分的面积． 【解】剩余部分的面积为： a2－4b2=（a+2b）（a－2b）=（13.2+2×3.4）（13.2－2×3.4）=20×6.4=128（cm2）． 6. 【阅读材料】①“换元法”是我们解数学题时常用的一种方法．它主要是将一个较为复杂的表达式用一个较为简单的符号或字母代替，从而简化问题，降低难度，使问题易于解决．②例如解分式方程时，可以设，则原方程可以化为，解得，即，去分母得，所以，检验：当0时，，所以是原方程的解． 【基本应用】 （1）用换元法解方程； （2）已知x，y满足方程，结合“换元法”的解题思路，求的值． 【创新应用】 （3）结合“换元法”的思路探究分解因式． 【答案】（1），过程见解析；（2）6；（3）． 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，因式分解，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，利用换元法求解即可； （2）设，利用换元法求解即可； （3），利用换元法进行因式分解即可． 【详解】解：（1）设，则原方程可以化为，解得， ，去分母得， 解得，检验：当时， 是原方程的解． （2）设，则原方程可以化为， 即， ， ． （3）设，则原式 故原式． 7. 求证：是一个完全平方数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．设，将原式整理成，再利用完全平方公式进行因式分解即可证明． 【详解】解：设，则， 原式 ， 是一个完全平方数． 8.设k为正整数，证明： （1）如果k是两个连续正整数的乘积，那么25k+6也是两个连续正整数的乘积； （2）如果25k+6是两个连续正整数的乘积，那么k也是两个连续正整数的乘积． 【解】（1）设两个连续正整数可表示为x，x+1，那么k=x（x+1）， ∴25k+6=25x（x+1）+6 =25x2+25x+6 = = = =（5x+3）（5x+2）. ∴25k+6也是两个连续数的乘积. （2）设25k+6=m（m+1），m为正整数， ∴4（25k+6）+1=4m（m+1）+1. ∵4（25k+6）+1=100k+25=25×（4k+1）=52×（4k+1）， 4m（m+1）+1=4m2+4m+1=（2m+1）2， ∴52×（4k+1）=（2m+1）2. ∴4k+1= ， 又∵k为正整数， ∴2m+1是5的倍数，且是奇数. 设=2x+1（x为正整数）， ∴4k+1=（2x+1）2=4x2+4x+1， ∴4k=4x2+4x，即k=x（x+1）. ∴k也是连续两个正整数的积． 9.19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．阅读材料，完成下列各题． (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是根据“热门定理”，，十字相乘法，进行因式分解，即可． （1）根据“热门定理”，，进行因式分解，即可； （2）根据“热门定理”，，进行因式分解，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 10. 对于形如．的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．小明是这样想的：在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．参考小明思考问题的方法，利用“配方法”把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行配方、利用平方差公式进行因式分解，解题中注意整体法的运用． （1）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出，再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$（人教版）八年级暑假能力强化班 第八讲 因式分解（二） 课程目标 1.熟练运用公式法分解因式. 2.利用因式分解解决一些简单的实际问题. 课程内容 知识点一 公式法分解因式 把乘法公式（平方差公式、完全平方公式）的两边互换位置，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 把整式乘法的完全平方公式,的等号两边互换位置，就得到,，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 题型一 利用平方差公式分解因式（a、b都是单项式） 例1 分解因式： （1）； （2）16a4b2－9m2n4； （3）45xy2－20x； （4）2a3b－a3b－ab3． 练1 如图，大小两圆的圆心相同，其半径分别是Rcm和rcm，求： ⑴圆环的面积； ⑵如果R＝8.45cm，r＝3.45cm，求圆环的面积.（最后结果保留π） 题型二 利用平方差公式分解因式（a、b至少有一个是多项式） 例2 把下列各式分解因式： （1）（x－1）2－9； （2）（1－a）2－（b－1）2； （3）9a2（x－y）+4b2（y－x）； （4）（x+2）2（2m－n）+4（n－2m）. 练2 把下列各式分解因式： （1）（x+5）2－4； （2）16（x+1）4－81； （3）（3x－2）2－（2x+7）2； （4）x3－4x（x+y+1）2 题型三 利用完全平方公式分解因式（a、b都是单项式） 例3 把下列多项式分解因式： （1） ； （2）3x2－18x+27； （3）3x3－6x2y+3xy2； （4）4a2x2+16ax2y+16x2y2. 练3把下列各式因式分解． （1）x2－18xy+81y2; （2）4x2－8x+4; （3）－x+6x－9x3; （4）（x+2）（x+6）+4; 题型四 利用完全平方公式分解因式（a、b至少有一个是多项式） 例4 下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2－4x=y， 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2－4x+4）2（第四步） 请问： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）.若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果； （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解． 练4 把下列多项式分解因式： （1）9（m－n）2+4（m+n）2+12（m2－n2）； （2）（x2+1）2－4x3+4x2－4x； （3）－3（m+2）a2+18（m+2）a－27（m+2）； （4）[（a－1）+2（b+3）]2+2[（a－1）+2（b+3）－1]+3． 题型五 数字问题 例5 当n为正整数时，一定能被某个数整除，则该数可能是（   ） A．5 B．8 C．9 D．12 练5 可以被和之间某两个整数整除，则这两个数是（　　） A．， B．， C．， D．， 题型六 新定义问题 例6 设a、b、c、d均为正整数，分别表示千位、百位、十位和个位上的数字，一个四位数就可以记作为：．若一个四位数满足，我们就称该数是“密码数”． 已知一个“密码数”满足：，（k为正整数）． (1)填空：_________，_________； (2)求满足条件的“密码数”x的最大值． 练6 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”，如，，因此24和56都是“幸福数”，下列4个结论： ①最小的“幸福数”是8； ②521是“幸福数”； ③“幸福数”一定是4的偶数倍； ④20以内的所有“幸福数”之和是24． 请填写正确结论的序号 ． 知识点二 十字相乘法 引例 阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）； 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式. 分析：这个式子的常数项6=2×3，一次项系数5=2+3，所以x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3. 解：x2+5x+6=（x+2）（x+3）. 上述分解因式的方法，可用如图所示的算式表示，因此这种分解因式的方法形象的叫做“十字相乘法”. 请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）分解因式：x2+7x－18=____________； 启发应用 （2）利用因式分解法解方程：x2－6x+8=0； （3）若x2+px－8可分解为两个一次因式的积，求整数p的所有可能值． 例7 （1）； （2）； （3）． 练7 (1)； (2)； (3)． 附加题 计算：（1） （2） 一课一练 1.计算： ． 2. 因式分解3y2－6y+3，结果正确的是（　　）. A．3（y－1）2 B．3（y2－2y+1） C．（3y－3）2 D．3（y+1）2 3.分解因式（2x+3）2－x2的结果是（　　）. A．3（x2+4x+3） B．3（x2+2x+3） C．（3x+3）（x+3） D．3（x+1）（x+3） 4.分解因式：x2y－y=_____________. 5.把下列各式进行因式分解： （1）－3ax2+6ax－3a； （2）a3－14a2+49a； （3）x2（x－y）+y2（x－y）+2xy（x－y）； （4）m（a+b）2－4 m（a+b－1）. 6. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20都是“神秘数” (1)28和2024这两个数是“神秘数”吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ (3)两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 家庭作业 1..分解因式：（y2+y+2）3－4（y2+y+2）2+4（y2+y+2）=（ ）. A．（y2+y+2）[（y2+y+2）2－4（y2+y+2）+4] B．（y2+y+2）（y2+y）2 C．（y2+y+2）（y2+y+4）2 D．（y2+y+2）（y2+y+4）（y2+y） 2.若为任意整数，且的值总可以被整除，则等于（   ） A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数 3.因式分解：（x2+9）2－36x2=_________________． 4.分解因式：x2－8x+16－（x－1）2=______________. 5.如图，在一块边长为acm的正方形纸板四角，各剪去一个边长为bcm（ ）的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时，剩余部分的面积． 6. 【阅读材料】①“换元法”是我们解数学题时常用的一种方法．它主要是将一个较为复杂的表达式用一个较为简单的符号或字母代替，从而简化问题，降低难度，使问题易于解决．②例如解分式方程时，可以设，则原方程可以化为，解得，即，去分母得，所以，检验：当0时，，所以是原方程的解． 【基本应用】 （1）用换元法解方程； （2）已知x，y满足方程，结合“换元法”的解题思路，求的值． 【创新应用】 （3）结合“换元法”的思路探究分解因式． 7. 求证：是一个完全平方数． 8.设k为正整数，证明： （1）如果k是两个连续正整数的乘积，那么25k+6也是两个连续正整数的乘积； （2）如果25k+6是两个连续正整数的乘积，那么k也是两个连续正整数的乘积． 9.19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．阅读材料，完成下列各题． (1)分解因式：； (2)分解因式：． 10. 对于形如．的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．小明是这样想的：在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．参考小明思考问题的方法，利用“配方法”把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)． 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$