第12讲 因式分解（一）暑假讲义 2025—2026学年人教版数学八年级上册

（人教版）八年级暑假能力强化班 第七讲 因式分解（一） 课程目标 1.理解因式分解的概念，知道因式分解与整式乘法的关系. 2.熟练运用提公因式法. 课程内容 知识点一 因式分解 因式分解： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 拓展：因式分解具备下列三个特征：①等号的左边是一个多项式；②等号的右边是几个整式乘积的形式；③从等号左边到等号右边的变形是恒等变形. 规律总结：因式分解与整式乘法互为逆运算，即 所以可利用整式的乘法检验一个因式分解的正确与否.其方法是：在等号右边是整式乘积的基础上，利用整式乘法展开等号的右边，如果等号两边相等，则因式分解正确；否则，不正确. 题型一 判断多项式的变形是否为因式分解 例1 下列多项式的因式分解，正确的是（ ）. A.x2－x－12=（x+3）（x－4） B.3m2y－18my+3y=3y（m 2－6m） C.3x-x2+xy-xz=-x（3+x2+y-z） D. 2b +4a2b+12ab=2b（2a2+6a） 练1 下列各式从左到右不是因式分解的是（　　）. A．x2+xy+1=x（x+y）+1 B．a2－b2=（a+b）（a－b） C．x2－4xy+4y2=（x－2y）2 D．ma+mb+mc=m（a+b+c） 题型二 根据因式分解的概念求某个字母的值 例2 阅读：已知二次三项式x2－4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值． 练2 （1）若多项式x2－mx－21可以分解为（x+3）（x－7），则m=______； （2）若多项式x2+（2a+b）x+b－2分解因式的结果为（x+1）（x－2），则a+b的值为_______． 知识点二 提公因式法分解因式 1.公因式 一个多项式中，如果各项都含有相同的因式，那么这个相同的因式叫做这个多项式的公因式. 2.提公因式法分解因式 一般地，如果多项式的各项含有公因式，把这个多项式写成公因式与另一个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如：由可得 这样就把分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式,另一个因式 是除以 所得的商. 拓展：提公因式法分解因式的依据是逆用乘法的分配律，因此可利用乘法的分配律检验提公因式法分解因式的正确与否. 易错警示：提公因式法分解因式时，分解因式后，多项式的各项不能再含有公因式. 题型一 提公因式法分解因式（公因式是单项式） 例3 将多项式－6a3b2－3a2b2+12a2b3分解因式时，结果正确的是（ ）. A.－3ab（2a2b+ab－4ab2） B.－3a2b2（2a+1－4b） C.－3a2b2（2a－4b） D. 练3 把多项式－8a2b3c+16a2b2c2－24a3bc3分解因式，应提的公因式是（ ） A．－8a2bc B．2a2b2c3 C．－4abc D．24a3b3c3 题型二 提公因式法分解因式（公因式是多项式） 例4 把下列各式因式分解： （1）（x－3）2－x+3; （2）（m+1）（m－1）+m+1； （3）－3by+2ax+（2ax－3by）2； （4）5a（a－b）2－10（b－a）3. 练4 分解因式：（3x+2）（－x6+3x5）+（3x+2）（－2x6+x5）+（x+1）（3x6－4x5）. 例5 计算22 015－（－2）2 016的结果是（　　） A. 24 030 B. 3×22 015 C. －22 015 D. 练5 证明：817－279－913能被45整除. 例6 如图，边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2的值为　　　　. 练6 不解方程组求代数式（2x＋y）·（2x－3y）＋3x（2x＋y）的值. 例7 某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：－12xy2＋6x2y＋3xy＝－3xy·（4y－　　　　）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写　　　　　. 练7 在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2－6n的值都是负数.于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由. 附加题 1. 观察下面的因式分解过程： am+an+bm+bn＝(am+an)+(bm+bn)＝a(m+n)+b(m+n)＝(m+n)(a+b) 利用这种方法解决下列问题： (1)因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm (2)△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状． 一课一练 1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）. A．（x+3）（x－2）=x2+x－6 B．ax－ay－1=a（x－y）－1 C．8a2b3=2a2•4b3 D．x2－4=（x+2）（x－2） 2.已知，，则的值为（   ） A． B．84 C． D．300 3.若，则的值为 ． 4.若x2＋mx－n能分解成（x－2）（x－5），则m＝　　　　，n＝　　　　. 5.（1）化简：； （2）因式分解：． 家庭作业 1.下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2分解因式 ． 3.分解因式：（y2+y+2）3－4（y2+y+2）2+4（y2+y+2）=（ ）. A．（y2+y+2）[（y2+y+2）2－4（y2+y+2）+4] B．（y2+y+2）（y2+y）2 C．（y2+y+2）（y2+y+4）2 D．（y2+y+2）（y2+y+4）（y2+y） 4. 6（x－3）＋x（3－x）＝　　　　. 5.分解因式： ． 6．分解因式： (1)； (2)； (3)． 7．已知，，，那么 8．（1）设是一个四位数（表示千位上的数字，表示百位上的数字，表示十位上的数字，表示个位上的数字），若可以被9整除，请你证明这个数也可以被9整除； （2）用问题（1）的结论，验证一下2025能否被9整除． 9．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$（人教版）八年级暑假能力强化班 第七讲 因式分解（一） 课程目标 1.理解因式分解的概念，知道因式分解与整式乘法的关系. 2.熟练运用提公因式法. 课程内容 知识点一 因式分解 因式分解： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 拓展：因式分解具备下列三个特征：①等号的左边是一个多项式；②等号的右边是几个整式乘积的形式；③从等号左边到等号右边的变形是恒等变形. 规律总结：因式分解与整式乘法互为逆运算，即 所以可利用整式的乘法检验一个因式分解的正确与否.其方法是：在等号右边是整式乘积的基础上，利用整式乘法展开等号的右边，如果等号两边相等，则因式分解正确；否则，不正确. 题型一 判断多项式的变形是否为因式分解 例1 下列多项式的因式分解，正确的是（ ）. A.x2－x－12=（x+3）（x－4） B.3m2y－18my+3y=3y（m 2－6m） C.3x-x2+xy-xz=-x（3+x2+y-z） D. 2b +4a2b+12ab=2b（2a2+6a） 【思路分析】观察发现，各式的右边都是几个整式乘积的形式，因此只需检验等式两边是否恒等即可. 【解】分别展开各式等号的右边，发现只有A中的变形是正确的，且A中的变形符合因式分解的定义. 故选A. 【总结提示】检验因式分解的正确与否时，需同时满足两个条件：①最后结果为几个整式乘积的形式；②通过整式乘法的检验是恒等变形. 练1 下列各式从左到右不是因式分解的是（　　）. A．x2+xy+1=x（x+y）+1 B．a2－b2=（a+b）（a－b） C．x2－4xy+4y2=（x－2y）2 D．ma+mb+mc=m（a+b+c） 【思路分析】根据因式分解的定义即可判断． 【解】A、结果不是乘积的形式，不是分解因式，符合题意；B、C、D均符合因式分解的形式，且等式成立，是分解因式，不符合题意. 故选A. 题型二 根据因式分解的概念求某个字母的值 例2 阅读：已知二次三项式x2－4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为x+n，得x2－4x+m=（x+3）（x+n）. ∵（x+3）（x+n）=x2+（n+3）x+3n， ∴x2－4x+m=x2+（n+3）x+3n. ∴，解得. ∴另一个因式为x－7，m=－21. 问题：仿照上述方法解答下列问题： （1）已知二次三项式2x2+3x－k有一个因式是2x－5，求另一个因式及k的值． （2）已知2x2－13x+p有一个因式x－3，求另一个因式及P的值． 【思路分析】（1）仿照题例中的方法，设另一个因式为x+n，展开后利用等式成立的条件质即可得到关于n、k的方程，进而求出答案；（2）利用与（1）类似的方法，设另一个因式为2x+m，展开后利用等式成立的条件即可得到关于n、p的方程，进而求出答案. 【解】（1）设另外一个因式为：x+n， 得2x2+3x－k=（2x－5）（x+n）. ∵（2x－5）（x+n）=2x2+（2n－5）x－5n， ∴2x2+3x－k=2x2+（2n－5）x－5n. ∴，解得. ∴另一个因式为x+4，k=20. （2）设另一个因式为：2x+m， ∴2x2－13x+p=（2x+m）（x－3）. ∵（2x+m）（x－3）=2x2+（m－6）x－3m, ∴2x2－13x+p=2x2+（m－6）x－3m. ∴,解得. ∴另一个因式为2x－7，p=21. 【总结提示】本题的解题技巧是根据题意设另一个整式，这也是本题求解的切入点，这一步不能正确完成，本题的求解将无法进行.主要表现为两点：①因为已知的多项式是二次三项式，其中一个因式是一次二项式，所以另一个因式一定也是一次二项式；②根据已知多项式的二次项，可以得到所设多项式的一次项. 练2 （1）若多项式x2－mx－21可以分解为（x+3）（x－7），则m=______； （2）若多项式x2+（2a+b）x+b－2分解因式的结果为（x+1）（x－2），则a+b的值为_______． 【思路分析】分别展开两个等式的右边，利用多项式相等的条件，即可得出答案. 【解】∵（x+3）（x－7）=x2－4x－21， ∴x2－mx－21=x2－4x－21，解得m=4； ∵（x+1）（x－2）=x2－x－2， ∴x2+（2a+b）x+b－2=x2－x－2， 得，解得，则a+b=． 故填（1）4，（2） . 知识点二 提公因式法分解因式 1.公因式 一个多项式中，如果各项都含有相同的因式，那么这个相同的因式叫做这个多项式的公因式. 2.提公因式法分解因式 一般地，如果多项式的各项含有公因式，把这个多项式写成公因式与另一个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如：由可得 这样就把分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式,另一个因式 是除以 所得的商. 拓展：提公因式法分解因式的依据是逆用乘法的分配律，因此可利用乘法的分配律检验提公因式法分解因式的正确与否. 易错警示：提公因式法分解因式时，分解因式后，多项式的各项不能再含有公因式. 题型一 提公因式法分解因式（公因式是单项式） 例3 将多项式－6a3b2－3a2b2+12a2b3分解因式时，结果正确的是（ ）. A.－3ab（2a2b+ab－4ab2） B.－3a2b2（2a+1－4b） C.－3a2b2（2a－4b） D. 【思路分析】分析各选项的正确与否，可从下列三方面分析：①各选项是否为整式乘积的形式；②括号内的多项式是否还有公因式；③是否为恒等变形. 【解】∵－6a3b2－3a2b2+12a2b3=－3a2b2（2a+1－4b）， ∴选项B正确. 故选B. 【总结提示】利用提公因式法分解因式时，所提的公因式必须是“最大公因式”，例如：当公因式为单项式时，其系数为原多项式各项系数的最大公约数，并且提公因式后应使首项系数为正；公因式中的每个字母都是原多项式各项中都含有的字母，其次数在相同字母中次数最低. 练3 把多项式－8a2b3c+16a2b2c2－24a3bc3分解因式，应提的公因式是（ ） A．－8a2bc B．2a2b2c3 C．－4abc D．24a3b3c3 【思路分析】先确定公因式，然后分解因式即可得出答案． 【解】∵－8a2b3c+16a2b2c2－24a3bc3=－8a2bc（b2－2bc+3ac2）， ∴公因式是－8a2bc． 故选A． 题型二 提公因式法分解因式（公因式是多项式） 例4 把下列各式因式分解： （1）（x－3）2－x+3; （2）（m+1）（m－1）+m+1； （3）－3by+2ax+（2ax－3by）2； （4）5a（a－b）2－10（b－a）3. 【思路分析】（1）如果给后两项添加上括号，可看出其公因式是多项式x－3；（2）观察可知，公因式为m+1；（3）如果把前两项交换位置，即可看出公因式为2ax－3by； （4）因为（b－a）3=－（a－b）3，由此可知其公因式为5（a－b）2. 【解】（1）原式=（x－3）2－（x－3）=（x－3）（x－3－1）=（x－3）（x－4）. （2）原式=（m+1）（m－1）+（m+1）=（m+1）（m－1+1）=m（m+1）． （3）原式=（2ax－3by）+（2ax－3by）2=（2ax－3by）（1+2ax－3by）. （4）原式=5a（a－b）2+10（a－b）3 =5（a－b）2[a+2（a－b）] = 5（a－b）2（a+2a－2b）= 5（a－b）2（3a－2b）. 【总结提示】一般情况下，当一个多项式的公因式时多项式时，这个公因式常以隐含的形式存在，为此需要熟练掌握多项式的恒等变形，以便迅速而准确的发现多项式中可能存在的公因式，使对多项式的变形有的放矢而减小盲目性. 练4 分解因式：（3x+2）（－x6+3x5）+（3x+2）（－2x6+x5）+（x+1）（3x6－4x5）. 【思路分析】观察发现，该多项式的前两项都含有公因式（3x+2），可先把前两项分解因式，整理后再结合最后一项进一步分解因式. 【解】原式=（3x+2）（－x6+3x5－2x6+x5）+（x+1）（3x6－4x5） =（3x+2）（－3x6+4x5）+（x+1）（3x6－4x5） =（3x+2）（－3x6+4x5）－（x+1）（－3x6+4x5） =（－3x6+4x5）（3x+2－x－1） =－（3x6－4x5）（2x+1） =－x5（3x－4）（2x+1）. 例5 计算22 015－（－2）2 016的结果是（　　） A. 24 030 B. 3×22 015 C. －22 015 D. 【解】22 015－(－2)2 016＝22 015－22 016＝22 015(1－2)＝－22 015.故选C. 练5 证明：817－279－913能被45整除. 【证明】∵817－279－913＝328－327－326＝326(9－3－1)＝326×5＝324×32×5＝324×45， ∴817－279－913能被45整除． 例6 如图，边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2的值为　　　　. 【解】由题意，知a＋b＝7，ab＝10. ∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝10×7＝70. 故填70. 练6 不解方程组求代数式（2x＋y）·（2x－3y）＋3x（2x＋y）的值. 【解】∵(2x＋y)(2x－3y)＋3x(2x＋y) ＝(2x＋y)(2x－3y＋3x) ＝(2x＋y)(5x－3y)， 而2x＋y＝3，5x－3y＝－2， ∴原式＝3×(－2)＝－6. 例7 某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：－12xy2＋6x2y＋3xy＝－3xy·（4y－　　　　）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写　　　　　. 【解】－12xy2＋6x2y＋3xy＝－3xy·(4y－2x－1)，故填2x－1. 练7 在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2－6n的值都是负数.于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由. 【解】不正确．理由：∵n2－6n＝n(n－6)，∴当n≥6时，n2－6n≥0.∴小明的猜想不正确． 附加题 1. 观察下面的因式分解过程： am+an+bm+bn＝(am+an)+(bm+bn)＝a(m+n)+b(m+n)＝(m+n)(a+b) 利用这种方法解决下列问题： (1)因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm (2)△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状． 【分析】(1)仿照样例，先分组，组内提公因式后组与组之间提取公因式，便可达到分解因式的目的； (2)用样例的方法，把已知等式左边分解因式，再根据几个因式积为0的性质得出一次方程求得a、b、c之间的关系，便可确定△ABC的形状． 【解析】(1)2a+6b﹣3am﹣9bm ＝(2a+6b)﹣(3am+9bm) ＝2(a+3b)﹣3m(a+3b) ＝(a+3b)(2﹣3m)； 或 2a+6b﹣3am﹣9bm ＝(2a﹣3am)+(6b﹣9bm) ＝a(2﹣3m)+3b(2﹣3m) ＝(a﹣3m)(a+3b)； (2)∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0， ∴(a2﹣ac)﹣(ab﹣bc)＝0， ∴a(a﹣c)﹣b(a﹣c)＝0， ∴(a﹣c)(a﹣b)＝0， ∴a﹣c＝0或a﹣b＝0， ∴a＝c 或 a＝b， ∴△ABC是等腰三角形． 一课一练 1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）. A．（x+3）（x－2）=x2+x－6 B．ax－ay－1=a（x－y）－1 C．8a2b3=2a2•4b3 D．x2－4=（x+2）（x－2） 【解】A中为整式乘法中的去括号，不属于因式分解，故不符合题意； B中等式右边不是因式积的形式，故不符合题意； C中左边不是多项式，不能进行因式分解，故不符合题意； D中属于因式分解，符合题意. 故选D. 2.已知，，则的值为（   ） A． B．84 C． D．300 【答案】D 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的因式分解，先整理，把，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：D． 3.若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了整式的混合运算、提公因式法因式分解、代数式的求值．把原式变形为，再整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：6 4.若x2＋mx－n能分解成（x－2）（x－5），则m＝　　　　，n＝　　　　. 【解】由题意得：则故填－7，－10. 5.（1）化简：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的运算、因式分解，熟练掌握乘法公式和因式分解的常用方法（提取公因式法、十字相乘法、公式法、换元法等）是解题关键． （1）先计算完全平方公式与平方差公式，再计算整式的加减法即可得； （2）提取公因式分解因式即可得． 【详解】解：（1） ． （2） ． 家庭作业 1.下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解. 根据因式分解的定义逐项判定即可. 【详解】解：：符合因式分解的定义，则A选项符合题意； 是乘法运算，故B选项不符合题意； 是完全平方公式，则C不符合题意； 中等号右边不是积的形式，则D不符合题意； 故选：A． 2分解因式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握因式分解的定义是解题关键．首先将原式整理为，再提取公因式，即可完成因式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 3.分解因式：（y2+y+2）3－4（y2+y+2）2+4（y2+y+2）=（ ）. A．（y2+y+2）[（y2+y+2）2－4（y2+y+2）+4] B．（y2+y+2）（y2+y）2 C．（y2+y+2）（y2+y+4）2 D．（y2+y+2）（y2+y+4）（y2+y） 【解】原式=（y2+y+2）[（y2+y+2）2－4（y2+y+2）+4] =（y2+y+2）[（y2+y+2）－2]2 =（y2+y+2）（y2+y）2. 故选B. 4. 6（x－3）＋x（3－x）＝　　　　. 【解】原式= =. 故填. 5.分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，的公因式是，提出公因式后括号里剩下，所以分解因式的结果为． 【详解】解：， 故答案为： ． 6．分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】本题考查了提公因式法因式分解． （1）先确定公因式，再进行因式分解即可求解； （2）先将原式变形为，即可提公因式法分解因式； （3）先确定公因式，即可提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： 7．已知，，，那么 【答案】 【分析】本题考查了利用因式分解进行简便计算，解题关键是要将因式分解．先将因式分解为，再将其值代入计算即可． 【详解】解：，，， 故答案为：． 8．（1）设是一个四位数（表示千位上的数字，表示百位上的数字，表示十位上的数字，表示个位上的数字），若可以被9整除，请你证明这个数也可以被9整除； （2）用问题（1）的结论，验证一下2025能否被9整除． 【答案】（1）见详解；（2）能，验证见详解 【分析】本题考查了整式加法的应用，因式分解； （1）将这个数化为，即可得证； （2）可得能被9整除，即可验证； 能用因式分解将表示数的整式化为能被9整除的和是解题的关键． 【详解】（1）证明： 能被9整除 能被9整除， 能被9整除， 这个数能被9整除； （2）能被9整除 能被9整除． 9．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$