第08讲 等边三角形的性质与判定 暑假讲义 2025—2026学年人教版数学八年级上册

(人教版)八年级暑假能力强化班 第三讲 等边三角形的性质与判定 一、课程目标 1. 掌握等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直． 2. 掌握等边三角形的判定定理． 3. 掌握等边三角形的性质：30°所对的直角边是斜边的一半． 二、课程内容 知识点一 等边三角形的定义和性质 1.定义：三边都相等的三角形是等边三角形 2.性质： (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°； (3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等. 题型一 利用等边三角形的性质解决三角形的边角问题 例1 如图，是等边三角形，BD平分，点E在BC的延长线上，且，∠E=30°，则BC= ．  【思路分析】先证明BC=2CD，证明△CDE是等腰三角形即可解决问题． 【解】是等边三角形，   平分  ，  ，  ，  ，  ，  ，  . 【总结提示】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 练1 如图，已知和都是等边三角形，求证：. 【思路分析】根据等边三角形各边长相等的性质，可得，，根据等边三角形各内角为60°可得，进而求证，即可求得. 【解】是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， . 例2如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长． 【答案】（1）30°（2）4 【解析】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°； （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形． ∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4． 练2在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（　　） A.AE∥BC B.∠ADE=∠BDC C.△BDE是等边三角形 D.△ADE的周长是9 【答案】 B 【解析】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键． 首先由旋转的性质可知∠AED=∠ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE=BD=4，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠C=60°， ∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴∠EAB=∠C=∠ABC=60°， ∴AE∥BC，故选项A正确； ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=BC=5， ∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出， ∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°， ∴AE+AD=AD+CD=AC=5， ∵∠EBD=60°，BE=BD， ∴△BDE是等边三角形，故选项C正确； ∴DE=BD=4， ∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项D正确； 而选项B没有条件证明∠ADE=∠BDC， ∴结论错误的是B， 故选：B． 题型二 用定义判定等边三角形 例3已知：在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形． 【答案】见解析 【解析】∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F， ∴∠AED＝∠CFD＝90°， ∵D为AC的中点， ∴AD＝DC， 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF， ∴∠A＝∠C， ∴BA＝BC，∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形． 练3 如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3cm，则AB＝________cm． 【答案】6 【解析】在△ABD和△ACD中 ， ∴△ABD≌△ACD． ∴∠BAD＝∠CAD． 又∵AB＝AC， ∴BE＝EC＝3cm． ∴BC＝6cm． ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形． ∴AB＝6cm． 例4 如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证：△DEF是等边三角形． 【思路分析】根据△ABC是等边三角形，得AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．结合AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，得AF=BD=CE，AE=BF=CD，从而根据SAS，可证明△AEF≌△BFD≌△CDE，则EF=DF=DE，即△DEF是等边三角形． 【证明】∵△ABC是等边三角形， ∴∠EAF=∠FBD=∠DCE=120°． ∵AB=BC=CA，AE=BF=CD， ∴AB+BF=BC+CD=CA+AE． 即AF=BD=CE． 又∵AE=BF=CD， ∴△AEF≌△BFD≌△CDE． ∴EF=FD=DE． 即△DEF是等边三角形． 【总结提示】此题能够综合运用等边三角形的性质和判定，掌握全等三角形的性质和判定． 练4如图所示，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E是AC延长线上一点，且CE=CD，AD=DE．求证：△ABC是等边三角形. 【思路分析】根据等腰三角形的性质可得，角平分线AD同时也是三角形ABC底边BC的高，即∠ADC=90°． 再加上已知条件可推出∠DAC=30°，即可知三角形ABC是等边三角形． 【证明】∵CD=CE，∴∠E=∠CDE， ∴∠ACB=2∠E． 又∵AD=DE，∴∠E=∠DAC， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAC=2∠DAC=2∠E， ∴∠ACB=∠BAC，∴BA=BC． 又∵AB=AC，∴AB=BC=AC． ∴△ABC是等边三角形． 【总结提示】此题主要考查了等边三角形的判定，综合利用了等腰三角形和直角三角形的性质；同时因为等腰三角形中底边的高、中线和角平分线重合的性质，当条件换成其他“三线”中的线段时，证明方法也相同． 题型三 等边三角形与全等三角形的综合 例5 如图，是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为____ 【答案】6 【解析】延长到，连接，使，连接．为等边三角形，为等腰三角形，且，，，又，，，，，，在和中，，，，，． 练5 如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E． （1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形； （2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】（1）证明：∵a∥AB，且△ABC为等边三角形， ∴，， ∵，∴AD⊥BC ∵，∴， ∴， ∴， ∴，∴， ∴△ABD≌△ACE．∴，且， ∴△ADE是等边三角形； （2）在AC上取点F，使，连结DF， ∵，∴△DCF是等边三角形， ∵， ∴， ∵，∴， ∴△ADF≌△EDC（AAS），∴， 又∵，∴△ADE是等边三角形． 知识点三 含30°的直角三角形 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 题型一 利用含30°的直角三角形的性质证明线段倍数关系 例6 如图中，，，，，求BC的长. 【思路分析】由，可得，由，可求得，且，即可求出，可得，由，即可依次求出DC和BD，可得到BC. 【解】， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 故答案为：12cm 总结提示：此题主要考查含30°角的直角三角形的性质，由已知可求得∠ABD=30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答. 练6如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．求证：PQ=BP 【思路分析】根据全等三角形的判定方法SAS可证得△BEC≌△ADB，根据各角的关系及三角形内角、外角和定理可证得∠BPQ=60°，即可得结论． 【证明】∵△ABC为等边三角形． ∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°， 在△BAE和△ACD中， ∴△BAE≌△ACD（SAS）， ∴∠ABE=∠CAD． ∵∠BPQ为△ABP外角， ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD． ∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60° 又∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ=30°， ∴PQ=BP． 附加题 （1）问题发现： 如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． ∠AEB的度数为多少。 ②线段AD、BE之间的数量关系． （2）拓展探究： 如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，且交BC于点F，连接BE． ①请判断∠AEB的度数并说明理由； 若∠CAF=∠BAF，BE=2，试求△ABF的面积． 【思路分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数； （2）①仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数；②延长BE交AC的延长线于点G，推出△ACF≌△BCG，根据全等三角形的性质得到AF=BG，由于∠CAF=∠BAF，∠AEB=90°，求得E是BG的中点，求出AF=4，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解】解：（1）①如图1， ∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°． ∴∠ACD=∠BCE． 在△ACD和△BCE中， , ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴∠ADC=∠BEC． ∵△DCE为等边三角形， ∴∠CDE=∠CED=60°． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC=120°． ∴∠BEC=120°． ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°． 故答案为：60°． ②∵△ACD≌△BCE， ∴AD=BE． 故答案为：AD=BE； （2）①∠AEB=90° 证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°． ∴∠ACD=∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴AD=BE，∠ADC=∠BEC． ∵△DCE为等腰直角三角形， ∴∠CDE=∠CED=45°． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC=135°． ∴∠BEC=135°． ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°； ②延长BE交AC的延长线于点G， 由①可知∠CAD=∠CBE，∠AEB=90°， 在△ACF和△BCG中，， ∴△ACF≌△BCG， ∴AF=BG， ∵∠CAF=∠BAF，∠AEB=90°， ∴E是BG的中点， ∵BE=2， ∴AF=4， ∴S△ABF==4． 【总结提示】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题． 一课一练 1.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【解】：有两个角等于60°的三角形为等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形为等边三角形；三个角都相等的三角形为等边三角形；三边都相等的三角形为等边三角形． 2.如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【解】可得∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠1=∠CBE，∵∠2=∠1+∠ABE，∴∠2=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°． 故选：D 3.如图，为等边三角形内一点，，，，则_____ 【答案】30° 【解析】作的垂直平分线，为等边三角形，为等腰三角形；的垂直平分线必过、两点，；，，；，所以． 4.如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE，使EC=DE，求证：△ABC是等边三角形． 【解】：延长BD至F，使DF=BC，连接EF，如图所示. ∵CE=DE，∴∠DCE=∠CDE. ∴∠ECB=∠EDF. 在△ECB和△EDF中，， ∴△ECB≌△EDF（SAS）. ∴BE=EF，∠B=60°， ∴△BEF为等边三角形. ∴BE=BF. ∵AE=BD，∴DF=AB，BC=DF. ∴AB=BC， 又∵∠B=60° ∴△ABC是等边三角形． 5.如图，在等边△ABC中，，点P是AB边上任意一点（点P可以与点A重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，求当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？ 【答案】 【解析】设，在直角三角形PBE中， ∴，则 在直角△EFC中，， ∴，∴ 同理： 当点P与点Q重合时， 即，解得 故当时，点P与点Q重合． 6.如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是________三角形． 【答案】等边 【解析】过D作AC的平行线交AB于P ∴△BDP为等边三角形，BD＝BP， ∴AP＝CD， ∵∠BPD为△ADP的外角， ∴∠ADP＋∠DAP＝∠BPD＝60° 而∠ADP＋∠EDC＝180°－∠BDP－∠ADE＝60° ∴∠ADP＋∠DAP＝∠ADP＋∠EDC＝60° ∴∠DAP＝∠EDC， 在△ADP和△DEC中， ∵， ∴△ADP≌△DEC（ASA）， ∴AD＝DE ∵∠ADE＝60° ∴△ADE是等边三角形． 家庭作业 1. 如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD= ． 【解】∵△ABC是等边三角形，AB=4，∴AB=AC=4，∵BD⊥AC，∴AD=AC=×4=2． 2.如图，、、在一直线上，、是等边三角形，若，，则_____，_____ 【答案】9；60° 【解析】（1）是等边三角形，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，． （2），， 3.如图，在中，，是三角形外一点，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】延长至，使，连接，，，，，，是等边三角形，，， 在和中，，，． 4.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长． 【答案】（1）30°（2）4 【解析】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°； （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形． ∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4． 5.如图所示，、与都是等边三角形，和分别为和的中点，若时，则图形外围的周长是_____ 【答案】15 【解析】、与都是等边三角形，，，和分别为和的中点，，，,∴图形外围的周长是． 6.如图所示，已知等边△ABC的边长为a，P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，猜想：__________，并证明你的猜想． 【答案】见解析 【解析】．理由如下： 如图，延长EP交AB于G，延长FP交BC于H， ∵PE∥BC，PF∥AC，△ABC是等边三角形， ∴，， ∴△PFG是等边三角形， 同理可得△PDH是等边三角形， ∴，， 又∵PD∥AB，PE∥BC，∴四边形BDPG是平行四边形， ∴， ∴． 故答案为a． 7.如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形． （2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）∠CAE＝120°，证明见解析 【解析】（1）∵AD平分∠CAE， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC． 故△ABC是等腰三角形． （2）当∠CAE＝120°时△ABC是等边三角形． ∵∠CAE＝120°，AD平分∠CAE， ∴∠EAD＝∠CAD＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B＝60°，∠CAD＝∠C＝60°， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 8.已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF． 求证：△DEF是等边三角形． 【答案】见解析 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∵AD＝BE＝CF， ∴AF＝BD， 在△ADF和△BED中， ， ∴△ADF≌△BED（SAS）， ∴DF＝DE， 同理DE＝EF， ∴DE＝DF＝EF． ∴△DEF是等边三角形． 9. 如图，已知为等边三角形，点、分别在、边上，且，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）60° 【解析】（1）为等边三角形， ，， 在和中， ， ． （2）， 又， ． ． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$(人教版)八年级暑假能力强化班 第三讲 等边三角形的性质与判定 一、课程目标 1. 掌握等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直． 2. 掌握等边三角形的判定定理． 3. 掌握等边三角形的性质：30°所对的直角边是斜边的一半． 二、课程内容 知识点一 等边三角形的定义和性质 1.定义：三边都相等的三角形是等边三角形 2.性质： (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°； (3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等. 题型一 利用等边三角形的性质解决三角形的边角问题 例1 如图，是等边三角形，BD平分，点E在BC的延长线上，且，∠E=30°，则BC= ．  练1 如图，已知和都是等边三角形，求证：. 例2如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长． 练2在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（　　） A.AE∥BC B.∠ADE=∠BDC C.△BDE是等边三角形 D.△ADE的周长是9 题型二 用定义判定等边三角形 例3已知：在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形． 练3 如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3cm，则AB＝________cm． 例4 如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证：△DEF是等边三角形． 练4如图所示，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E是AC延长线上一点，且CE=CD，AD=DE．求证：△ABC是等边三角形. 题型三 等边三角形与全等三角形的综合 例5 如图，是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为____ 练5 如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E． （1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形； （2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 知识点三 含30°的直角三角形 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 题型一 利用含30°的直角三角形的性质证明线段倍数关系 例6 如图中，，，，，求BC的长. 练6如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．求证：PQ=BP 附加题 （1）问题发现： 如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． ∠AEB的度数为多少。 ②线段AD、BE之间的数量关系． （2）拓展探究： 如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，且交BC于点F，连接BE． ①请判断∠AEB的度数并说明理由； 若∠CAF=∠BAF，BE=2，试求△ABF的面积． 一课一练 1.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2.如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 3.如图，为等边三角形内一点，，，，则_____ 4.如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE，使EC=DE，求证：△ABC是等边三角形． 5.如图，在等边△ABC中，，点P是AB边上任意一点（点P可以与点A重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，求当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？ 6.如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是________三角形． 家庭作业 1. 如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD= ． 2.如图，、、在一直线上，、是等边三角形，若，，则_____，_____ 3.如图，在中，，是三角形外一点，且，．求证：． 4.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长． 5.如图所示，、与都是等边三角形，和分别为和的中点，若时，则图形外围的周长是_____ 6.如图所示，已知等边△ABC的边长为a，P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，猜想：__________，并证明你的猜想． 7.如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形． （2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论． 8.已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF． 求证：△DEF是等边三角形． 9. 如图，已知为等边三角形，点、分别在、边上，且，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$