第07讲 等腰三角形的性质与判定 暑假讲义 2025—2026学年人教版数学八年级上册

(人教版)八年级暑假能力强化班 第二讲 等腰三角形的性质与判定 一、课程目标 1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直． 2. 掌握等腰三角形的判定定理． 3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算． 二、课程内容 知识点一 等腰三角形的定义 等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 注：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . 题型一 等腰三角形的认识 例1 等腰三角形的一个底角一定是（　　） A．锐角 B．直角 C．钝角 练1 下列是等腰三角形的是（　　） A．80°，70°，30° B．40°，50°，90° C．20°，20°，140° 知识点二 等腰三角形的性质 1.性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 注：(1)适用条件：必须在同一个三角形中. (2)应用格式：在ΔABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C. (3)作用：它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便. 2.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”). 注：(1) “顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”. (2)对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴. (4)应用格式：如图，在ΔABC中， ①∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC(或BD=CD)； ②∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)； ③∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴BD=DC(或AD⊥BC). 题型一 利用等腰三角形的定义求边长或周长 例2 等腰三角形的两边长分别为4和6，求这个等腰三角形的周长. 练2等腰三角形的两边长分别为4和8，求这个等腰三角形的周长 题型二 利用等腰三角形的性质1直接求角的度数 例3（1）在ΔABC中，AB＝AC，若∠A=50°，求∠B的度数； （2）若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数； （3）若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数； （4）若等腰三角形的一个角为100°，求顶角的度数. 练3 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为 ___. 题型三 利用等腰三角形的性质1进行证明 例4 如图，已知 ，且 .求证：. 练4已知中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于 . 求证： . 题型四 利用等腰三角形的性质2进行证明 例5如图，，，，，垂足为点 .求证： . 练5 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD． 知识点三 等腰三角形的判定定理 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边). 题型一 利用判定定理证明等腰三角形 例6 在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA 的延长线点R，若AB=AC，则△ARQ是等腰三角形吗?请说明理由. 练6 如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，求证：△ABC是等腰三角形． 例7 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 练7如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个结论：①OB＝OC；②∠EBO＝∠DCO；③∠BEO＝∠CDO；④BE＝CD.请你从上述四个条件中选出两个能证明△ABC是等腰三角形的条件，写出所有满足要求的情况，用序号表示：　　　　　　　　. 附加题 （全国初中数学联赛题）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP. 一课一练 1．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在BC的延长线上，AE∥BD，点ED在AC同侧，若∠CAE=118°，则∠B的大小为（　　） A．31° B．32° C．59° D．62° 2.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3.如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为顶点的等腰三角形有 个． 4.如图，已知：△ABC中，，D是BC上一点，且，，求∠BAC的度数． 5如图，△ABC中，，AD平分∠BAC，且，求证：CD⊥AC． 6.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30°，连接AD． （1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形； （2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数． 家庭作业 1．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACB=105°，则∠B的大小为（　　） A．15° B．20° C．25° D．40° 2．如图，下列三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，若BD=BC，则∠A= 度． 5.下列条件：①∠A=50°，∠B=40°；②∠A=70°，∠B=40°；③AB=AC=4，BC=8；④AB=3，BC=8，周长为16.其中，能判定△ABC为等腰三角形的是 . 6.如图，△ABC中，AC＝BC，∠BAC＝50°，延长CB至D，使DB＝BA，延长BC至E，使CE＝CA，连接AD、AE，求∠D，∠E的度数． 7.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O （1）求证：OB=OC； （2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数． 8如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D在AB上，AD＝AC，BE直线⊥CD于E． （1）求∠BCD的度数； （2）求证：CD＝2BE； （3）若点O是AB的中点，请直接写出三条线段CB、BD、CO之间的数量关系． 9.如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）求证：BF⊥AE； （3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$(人教版)八年级暑假能力强化班 第二讲 等腰三角形的性质与判定 一、课程目标 1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直． 2. 掌握等腰三角形的判定定理． 3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算． 二、课程内容 知识点一 等腰三角形的定义 等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 注：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . 题型一 等腰三角形的认识 例1 等腰三角形的一个底角一定是（　　） A．锐角 B．直角 C．钝角 【思路分析】由等腰三角形的特点可知：等腰三角形的两个底角相等，再据三角形的内角和是180度，即可判定等腰三角形的两个底角的类别． 【解】因为等腰三角形的两个底角相等，且三角形的内角和是180度，所以等腰三角形的底角一定小于90度，即等腰三角形的底角为锐角． 故选：A． 练1 下列是等腰三角形的是（　　） A．80°，70°，30° B．40°，50°，90° C．20°，20°，140° 【解】C选项有两个相等的角故是等腰三角形 知识点二 等腰三角形的性质 1.性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 注：(1)适用条件：必须在同一个三角形中. (2)应用格式：在ΔABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C. (3)作用：它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便. 2.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”). 注：(1) “顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”. (2)对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴. (4)应用格式：如图，在ΔABC中， ①∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC(或BD=CD)； ②∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)； ③∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴BD=DC(或AD⊥BC). 题型一 利用等腰三角形的定义求边长或周长 例2 等腰三角形的两边长分别为4和6，求这个等腰三角形的周长. 【思路分析】根据等腰三角形的定义可得，等腰三角形的腰长可能是4，也可能是6，由三角形的周长等于三条边长的和，可求出三角形的周长. 【解】①若4是腰，则三角形的三边是4、4、6，因为4+4＞6，所以这三个数据能组成三角形，故三角形的周长是14； ②若4是底，则三角形的三边是6、6、4，因为6+4＞6，所以这三个数据能组成三角形，故三角形的周长是16. 故此等腰三角形的周长是14或16. 【总结提示】此类问题容易出错的地方是：①忽视角形的三边关系；②没有注意到分类讨论，如本例很多的学生会直接误认为底边长为4或者是6，而没有考虑到这两种情况均成立. 练2等腰三角形的两边长分别为4和8，求这个等腰三角形的周长 【解】 ①若4是腰，则另一腰也是4，底是8，但是4+4=8，故不构成三角形，舍去． ②若4是底，则腰是8，8． 4+8＞8，符合条件．成立． 故周长为：4+8+8=20． 故答案为：20． 题型二 利用等腰三角形的性质1直接求角的度数 例3（1）在ΔABC中，AB＝AC，若∠A=50°，求∠B的度数； （2）若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数； （3）若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数； （4）若等腰三角形的一个角为100°，求顶角的度数. 【思路分析】给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质求解，若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两种情况求解. 【解】（1）∵AB＝AC，∴∠B=∠C（等边对等角）. ∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）， ∴50°+2∠B=180°，解得∠B=65°. （2）当底角为70°时，顶角为180°-2×70°=40°， 当顶角为70°时，底角为，符合题意， ∴顶角的度数为40°或70°. （3）若顶角为90°，则底角为. 若底角为90°，则三个内角的和将大于180°，不符合三角形内角和定理. ∴顶角的度数为90°. （4）若顶角为100°，则底角为， 若底角为100°，则两底角和为200°，不符合三角形内角和定理. ∴顶角的度数为100°. 【总结提示】(1)在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否已确定为顶角或底角，若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，则要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理. (2)若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则此角必为顶角. 练3 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为 ___. 【解】 分两种情况讨论： ①若∠A＜90°，如图1所示： ∵BD⊥AC， ∴∠A+∠ABD=90°， ∵∠ABD=50°， ∴∠A=90°﹣50°=40°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=（180°﹣40°）=70°； ②若∠A＞90°，如图2所示： 同①可得：∠DAB=90°﹣50°=40°， ∴∠BAC=180°﹣40°=140°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=（180°﹣140°）=20°； 综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20° 题型三 利用等腰三角形的性质1进行证明 例4 如图，已知 ，且 .求证：. 【思路分析】根据“等腰三角形两底角相等”和“两直线平行，内错角相等”可得到 ，再利用角的等量代换即可证得 . 【证明】因为 ，所以 ， . 又因为 ，所以 . 因此 ， 故 . 【总结提示】一般地，证明一个角是另一个角的2倍，通常转化为相等关系的角的证明，角的相等关系证明方法较多，例如：全等三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、等量代换等. 练4 已知中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于 . 求证： . 【解】 是 的平分线， ， 是 的垂直平分线， (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)， (等边对等角)， ， ， . 题型四 利用等腰三角形的性质2进行证明 例5如图，，，，，垂足为点 .求证： . 【思路分析】由已知AM⊥CD和结论CM=MD，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因连接AC，AD，构造等腰三角形. 【解】连接AC、AD， 在 与 中， ， ， ， 又， . 【总结提示】对于单一等腰三角形作“三线合一”的基本图形，作底边上的高、中线还是顶角平分线，可根据解题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形作“三线合一”的基本图形，则需巧作辅助线. 练5 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD． 【思路分析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD． 【证明】∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD， ∴∠CBE=∠BAD． 【总结提示】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 知识点三 等腰三角形的判定定理 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边). 题型一 利用判定定理证明等腰三角形 例6 在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA 的延长线点R，若AB=AC，则△ARQ是等腰三角形吗?请说明理由. 【思路分析】根据垂直求出∠C+∠R=90°，∠B+∠BQP=90°，再根据等边对等角求出∠B=∠C，从而得到∠R=∠BQP，再根据对顶角相等求出∠BQP=∠AQR，然后求出∠R=∠AQR，根据等角对等边可得AQ=AR，从而判断出△ARQ是等腰三角形． 【解】△ARQ是等腰三角形． 理由如下：∵RP⊥BC， ∴∠C+∠R=90°，∠B+∠BQP=90°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠R=∠BQP， 又∵∠BQP=∠AQR， ∴∠R=∠AQR， 即△ARQ是等腰三角形． 【总结提示】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直的定义，熟记等边对等角和等角对等边是解题的关键． 练6 如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，求证：△ABC是等腰三角形． 【思路分析】利用平行线的性质得出∠GDF=∠CEF进而利用ASA得出△GDF≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可． 【证明】过点D作DG∥AE于点G， ∵DG∥AE ∴∠GDF=∠CEF（两直线平行，内错角相等）， 在△GDF和△CEF中， ∴△GDF≌△CEF（ASA）， ∴DG=CE 又∵BD=CE， ∴BD=DG， ∴∠DBG=∠DGB， ∵DG∥AC， ∴∠DGB=∠ACB（两直线平行，同位角相等）， ∴∠ABC=∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形． 例7 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【解】∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形； ∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°. ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°， ∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD， ∴△ABD是等腰三角形； 在△BCD中，∵∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°， ∴∠C＝∠BDC＝72°， ∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形； ∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形； ∴∠BED＝(180°－∠DBE)÷2＝72°， ∴∠ADE＝∠BED－∠A＝72°－36°＝36°， ∴∠A＝∠ADE， ∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形． ∴图中的等腰三角形有5个．故选D. 练7如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个结论：①OB＝OC；②∠EBO＝∠DCO；③∠BEO＝∠CDO；④BE＝CD.请你从上述四个条件中选出两个能证明△ABC是等腰三角形的条件，写出所有满足要求的情况，用序号表示：　　　　　　　　. 【解】 ①②，理由如下： ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∵∠EBO＝∠DCO， ∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形； ①③，理由如下： 在△EBO和△DCO中， ∴△EBO△DCO，∴∠EBO＝∠DCO. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形； ②④，理由如下： 在△EBO和△DCO中， ∴△EBO△DCO， ∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形； ③④，理由如下： 在△EBO和△DCO中， ∴△EBO△DCO， ∴∠EBO＝∠DCO，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形． 故填①②，①③，②④或③④　 附加题 （全国初中数学联赛题）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP. 【解】延长AB到D，使BD＝BP，连接PD，则∠D＝∠5. ∵∠BAC＝60°，∠ACB＝40°， ∴∠ABC＝180°－60°－40°＝80°. 又AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线， ∴∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝40°＝∠C. ∴QB＝QC. 又∠D＋∠5＝∠3＋∠4＝80°， ∴∠D＝40°. 在△APD和△APC中， ∴△APD△APC(AAS)， ∴AD＝AC， 即AB＋BD＝AQ＋QC， ∴AB＋BP＝BQ＋AQ. 一课一练 1．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在BC的延长线上，AE∥BD，点ED在AC同侧，若∠CAE=118°，则∠B的大小为（　　） A．31° B．32° C．59° D．62° 【解】∵在△ABC中，AC=BC，∴∠B=∠CAB，∵AE∥BD，∠CAE=118°，∴∠B+∠CAB+∠CAE=180°，即2∠B=180°﹣118°，解得∠B=31°. 2.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【解】：有两个角等于60°的三角形为等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形为等边三角形；三个角都相等的三角形为等边三角形；三边都相等的三角形为等边三角形． 3.如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为顶点的等腰三角形有 个． 【解】如图，符合要求的有：C1，C2，C3共3个点,故答案为：3． 4.如图，已知：△ABC中，，D是BC上一点，且，，求∠BAC的度数． 【答案】 【解析】题中所要求的∠BAC在△ABC中，但仅靠是无法求出来的．因此需要考虑和在题目中的作用．此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系．因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求． 因为，所以 因为，所以； 因为，所以（等边对等角） 而 所以 所以 又因为 即，所以 即求得 5如图，△ABC中，，AD平分∠BAC，且，求证：CD⊥AC． 【答案】见解析 【解析】在AB上取中点F，连接FD． 则△ADB是等腰三角形，F是底AB的中点，由三线合一知 DF⊥AB，故 △ADF≌△ADC（SAS） ，即：CD⊥AC 6.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30°，连接AD． （1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形； （2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数． 【解】（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°， ∴∠B=∠C=30°. ∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°. ∵∠BAD=45°， ∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°. ∴∠ADC=∠CAD. ∴AC=CD. ∴△ACD为等腰三角形. （2）解：有两种情况： 当∠ADC=90°时， ∵∠B=30°， ∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=90°﹣30°=60°； 当∠CAD=90°时，∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣90°=30°. 综上所述，∠BAD=60°或∠BAD=30°． 家庭作业 1．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACB=105°，则∠B的大小为（　　） A．15° B．20° C．25° D．40° 【解】设∠B=x，∵AC=DC=DB，∴∠CAD=∠CDA=2x，∴∠ACB=（180°﹣4x）+x=105°，解得x=25°． 2．如图，下列三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【解】①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°或36°，72°72°，能；②不能；③原等腰直角三角形的斜边上的高把它分为两个小等腰直角三角形，能；④中分成的两个等腰三角形的角的度数分别的为36°，72，72°或36°，36°，108°，能． 3.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【解】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC. 根据S△ABC=BC•AD=×4·AD=16，解得AD=8. ∵EF是线段AC的垂直平分线，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM周长的最小值=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10，故选C． 4．如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，若BD=BC，则∠A= 度． 【解】设∠ABD=x，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=x，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=2x，又∵BD=BC，∴∠BDC=∠C=2x. 又∵∠BDC=∠A+∠ABD，即2x=∠A+x°，∴∠A=x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180，解得x=36，即∠A=36°. 5.下列条件：①∠A=50°，∠B=40°；②∠A=70°，∠B=40°；③AB=AC=4，BC=8；④AB=3，BC=8，周长为16.其中，能判定△ABC为等腰三角形的是 . 【解】：①当顶角为∠B=40°时，∠C=70°≠50°；当顶角为∠A=50°时，∠C=65°≠40°，排除；②当顶角为∠A=70°时，∠B=∠C=40°；当顶角为∠B=40°时，∠B=∠C=70°，正确；③当AB=AC=4，BC=AB+AC=8，不能构成三角形，排除；④当AB=3、BC=8，周长为16时，AC=5，排除． 6.如图，△ABC中，AC＝BC，∠BAC＝50°，延长CB至D，使DB＝BA，延长BC至E，使CE＝CA，连接AD、AE，求∠D，∠E的度数． 【答案】∠D＝25°；∠E＝40° 【解析】∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠BAC＝50°，∠ACB＝180°－50°－50°＝80°， ∵BD＝AB， ∴∠BAD＝∠D， 又∵∠BAD＋∠D＝∠ABC＝50° ∴∠D＝25°， 同理：∠E＝40°． 7.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O （1）求证：OB=OC； （2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数． 【解】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵BD、CE是△ABC的两条高线， ∴∠BEC=∠BDC=90° ∴△BEC≌△CDB ∴∠DBC=∠ECB，BE=CD 在△BOE和△COD中 ∵∠BOE=∠COD，BE=CD，∠BEC=∠BDE=90° ∴△BOE≌△COD， ∴OB=OC； （2）∵∠ABC=50°，AB=AC， ∴∠A=180°﹣2×50°=80°， ∴∠DOE+∠A=180° ∴∠BOC=∠DOE=180°﹣80°=100°． 8如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D在AB上，AD＝AC，BE直线⊥CD于E． （1）求∠BCD的度数； （2）求证：CD＝2BE； （3）若点O是AB的中点，请直接写出三条线段CB、BD、CO之间的数量关系． 【答案】（1）22.5° （2）CD＝2CH＝2BE （3）BC＝2CD－BD 【解析】（1）由CB＝AC，∠BCA＝90°得∠A＝∠CBA＝45°， 在△ACD中，AC＝AD，∴∠ACD＝67.5° ∴∠BCD＝90°－∠ACD＝22.5° （2）作AH⊥CD于H，又BE⊥直线CD于E，AC＝AD． ∴CD＝2CH，∠BEC＝∠AHC＝90° 又∠BCE＋∠DCA＝∠HAC＋∠DCA＝90° ∴∠BCE＝∠CAH 又BC＝AC，∴△CBE≌△ACH∴CH＝BE． 即CD＝2CH＝2BE （3）BC＝2CD－BD 9.如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）求证：BF⊥AE； （3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由． 【解】（1）∵BC⊥CA，DC⊥CE， ∴∠ACB=∠DCE=90°. ∴∠BCD=∠ACE. 在△BCD与△ACE中，， ∴△ACE≌△BCD（SAS）. （2）∵△BCD≌△ACE， ∴∠CBD=∠CAE， ∵∠BGC=∠AGE. ∴∠AFB=∠ACB=90°. ∴BF⊥AE. （3）∠CFE=∠CAB，理由如下： 过C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，如图所示. ∵△BCD≌△ACE， ∴AE=BD，S△ACE=S△BCD. ∴CH=CI. ∴CF平分∠BFH. ∵BF⊥AE， ∴∠BFH=90°，∠CFE=45°. ∵BC⊥CA，BC=CA， ∴△ABC是等腰直角三角形. ∴∠CAB=45°. ∴∠CFE=∠CAB． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$