专题02 空间图形的平面直观图的画法讲义-2025年高二数学暑假班预习提升（沪教版2020）

上海高中数学2020必修第三册第11章空间直线与平面（预修课程） 专题02空间图形的平面直观图的画法 在初中， 我们已经学习过投影；一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关， 而且还与投影的方式和物体与投影的位置关系有关； 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图； 知识点一、斜二测画法的一般步骤： (1) 建立直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直的轴和轴,两轴相交于点. (2) 画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的轴和轴, 两轴相交于点,且使角 它们确定的平面表示水平平面.[ (3) 画对应图形: 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于轴, 且长度保持不变； 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于轴, 且长度变为原来的一半；在 已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于轴, 且长度保持不变. (4)对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段. (5) 擦去辅助线: 图画好后,要擦去轴、轴、轴及为画图添加的辅助线. 知识点二：空间几何体的直观图的画法 (1)对于一些常见几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出直观图． (2)画空间几何体的直观图，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向． (3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致． 知识点三：直观图的还原与计算 1、直观图的还原技巧：由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段， 且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长 的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可； 2、直观图与原图面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为，其直观图的面积为， 则有或；利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积；　 题型一：平面图形的直观图画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可． 【例1】用斜二测画法画水平放置的平丽图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”；错误的画 “✕ ”； （1）相等的线段在直观图中仍然相等； （2）平行的线段在直观图中仍然平行； （3）一个角的直观图仍是一个角； （4）相等的角在直观图中仍然相等； 【例2】（2024上海浦东新·高二期中）在水平放置的平面上有一个边长为的等边，请在平面上画出其直观图，并写出简要作法. 【例3】用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图． 【跟踪训练】 1.画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示． 2.关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是（ ） A．平行直线的斜二测图仍是平行直线 B．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变 C．正三角形的直观图一定为等腰三角形 D．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同 3.（2022秋·上海静安·高二上海市新中高级中学校考阶段练习）用斜二测画法画水平放置的边长为4的正方形的直观图，则这个直观图的面积为_________; 4.（2022秋·上海嘉定·高二校考开学考试）已知正△ABC边长为a，那么△ABC的平面直观图的面积为______． 5.（2022上海高二专题练习）将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为则的面积为________. 6.如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________． 题型二：立体图形的直观图画法 【例4】用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图. 【例5】用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定) 【跟踪训练】 1.用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm,2 cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图． 2.画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm) 3.（2024秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）已知正三棱柱的底面边长为3cm，高为3cm，M、N、P分别是、、的中点. (1)用“斜二测”画法，作出此正三棱柱的直观图（严格按照直尺刻度）； (2)在（1）中作出过M、N、P三点的正三棱柱的截面（保留作图痕迹）. 题型三：直观图的还原与计算 【例6】如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(　　) 【例7】若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图， 其中，，，，则原四边形的面积为（       ） A．12 B．6 C． D． 【跟踪训练】 1.水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________． 2.如图所示Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是 3.如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1；试画出原四边形，并求原图形的面积. 一、填空题 1．（2022上海高三专题练习）在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点在直观图中的对应点是，则线段的长度为_______ . 2．（2024上海市七宝中学高二期中）如图，矩形是水平放置的平面图形的直观图，其中，轴，则原图形的面积为__________ 3．（2024上海市吴淞中学高二阶段练习）有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，，，，则这块菜地的面积为___________. 4．（2024上海市大同中学高二阶段练习）如图，若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图，已知，，平行四边形的面积为，则原平面图形中的长度为___________. 5．（2024上海南汇中学高二阶段练习）一个竖直平面内的多边形，用斜二测画法得到的水平放置的直观图是一个边长为的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是______． 6．（2024上海市南洋模范中学高二阶段练习）已知的面积为，用斜二测法画出其水平放置的直观图如图所示，若，则的长为___________. 7．（2024上海市进才中学高二阶段练习）若用“斜二测法”作出边长为2的正三角形△ABC的直观图是，则的重心到底边的距离是___________ 8．（2024上海华东师范大学第三附属中学高二阶段练习）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是______. 9．（2024上海市延安中学高二期中）在水平放置的平面上，有一个边长为4cm的正方形，其直观图的面积是____________cm. 10．（2024上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）已知水平放置的正的边长为2，那么该三角形的直观图的面积为_____. 11．（2024上海市徐汇中学高二阶段练习）如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________． 12．（2024上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图，若三角形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABC的直观图.已知，，三角形的面积为.则原平面图形ABC中BC的长度为 _________ . 13．（2022上海高三专题练习）将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为则的面积为________. 14．（2024上海高二专题练习）已知等边△ABC的边长为1，用斜二测画法画它的直观图则的面积为_________. 15．（2022上海高三专题练习）边长为2的正方形的斜二测直观图的面积为__________. 16．（2022上海高三专题练习）水平放置的的斜二侧直观图如图所示，若，的面积为，则的长为________. 二、单选题 17．（2024秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是 (　　) ①角的水平放置的直观图一定是角； ②相等的角在直观图中仍相等； ③相等的线段在直观图中仍然相等； ④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行． A．0 B．1 C．2 D．3 18．（2024上海市行知中学高二阶段练习）如图直角是一个平面图形的直观图，斜边，则原平面图形的面积是（       ） A． B． C．4 D． 19．（2024上海华师大二附中高二阶段练习）如图，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是（       ） A．AB＝BC＝AC B．AD⊥BC C．AC＞AD＞AB D．AC＞AD＞AB＝BC 20．（2022·上海静安·模拟预测）如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（       ） A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC是等边三角形 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高中数学2020必修第三册第11章空间直线与平面（预修课程） 专题02空间图形的平面直观图的画法 在初中， 我们已经学习过投影；一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关， 而且还与投影的方式和物体与投影的位置关系有关； 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图； 知识点一、斜二测画法的一般步骤： (1) 建立直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直的轴和轴,两轴相交于点. (2) 画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的轴和轴, 两轴相交于点,且使角 它们确定的平面表示水平平面.[ (3) 画对应图形: 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于轴, 且长度保持不变； 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于轴, 且长度变为原来的一半；在 已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于轴, 且长度保持不变. (4)对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段. (5) 擦去辅助线: 图画好后,要擦去轴、轴、轴及为画图添加的辅助线. 知识点二：空间几何体的直观图的画法 (1)对于一些常见几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出直观图． (2)画空间几何体的直观图，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向． (3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致． 知识点三：直观图的还原与计算 1、直观图的还原技巧：由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段， 且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长 的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可； 2、直观图与原图面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为，其直观图的面积为， 则有或；利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积；　 题型一：平面图形的直观图画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可． 【例1】用斜二测画法画水平放置的平丽图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”；错误的画 “✕ ”； （1）相等的线段在直观图中仍然相等； （2）平行的线段在直观图中仍然平行； （3）一个角的直观图仍是一个角； （4）相等的角在直观图中仍然相等； 【答案】（1）✕；（2）√；（3）√；（4）✕； 【例2】（2024上海浦东新·高二期中）在水平放置的平面上有一个边长为的等边，请在平面上画出其直观图，并写出简要作法. 【分析】根据斜二测画法作出图形即可； 【详解】解：作图 作法：在平面内作坐标系，使， 在轴上取，且为的中点， 在轴上取，联结，， 则是的直观图. 【例3】用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图． [解]　画法：①在下图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H. ②在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°. ③在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG， O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE， 分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD； ④连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′， H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)． ①　　　　　　②　　　　　　③ 【跟踪训练】 1.画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示． 【解析】（1）在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①所示． （2）在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②. （3）擦去辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③. 2.关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是（ ） A．平行直线的斜二测图仍是平行直线 B．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变 C．正三角形的直观图一定为等腰三角形 D．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同 【答案】C 【解析】根据斜二测画法的特征，对选项中的命题进行分析、判断正误即可． 【详解】解：对于A，平行直线的斜二测图仍是平行直线，A正确； 对于B，斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变，B正确； 对于C，正三角形的直观图不一定为等腰三角形，如图所示； ∴C错误； 对于D，画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同，D正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了斜二测画法的特征与应用问题，是基础题． 3.（2022秋·上海静安·高二上海市新中高级中学校考阶段练习）用斜二测画法画水平放置的边长为4的正方形的直观图，则这个直观图的面积为_________; 【答案】 【分析】由斜二测画法画出正方形的直观图，计算可得. 【详解】方法一： 如图，由直观图的斜二测画法知， 边长为4的正方形的直观图为平行四边形， 且，，， 其高， 所以其面积为. 方法二： 由斜二测画法的直观图的面积是原图面积的倍，因此，直观图面积为. 故答案为：. 4.（2022秋·上海嘉定·高二校考开学考试）已知正△ABC边长为a，那么△ABC的平面直观图的面积为______． 【答案】/ 【分析】由直观图先求出，再求出高，即可求得面积. 【详解】 如图是△ABC和直观图，易知：，，在图中作于，则，故. 故答案为：. 5.（2022上海高二专题练习）将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为则的面积为________. 【答案】 【分析】由直观图和原图的面积之间的关系，直接求解即可． 【详解】因为，且△ABC的边长为10，∴面积为， 那么的面积为 故答案为． 【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查． 6.如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________． 【答案】　 【解析】画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为； 题型二：立体图形的直观图画法 【例4】用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图. 【解析】（1）画轴；如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画底面；以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ， 使PQ＝cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线， 设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. （3）画侧棱；过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的 线段AA′，BB′，CC′，DD′. （4）成图；顺次连接A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图； 【例5】用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定) 解　画法： (1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图1；画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图2；②在图2中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且长度等于BC，再以点M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且长度等于EF；③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到水平放置的正六边形ABCDEF的直观图A′B′C′D′E′F′. (2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点．在z′轴的正半轴上截取点P′，点P′异于点O′. (3)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图3. 【跟踪训练】 1.用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm,2 cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图． [解]　画法：(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. (3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′. (4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图． 2.画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm) [思路探究]　先画轴，再利用斜二测画法，画出两个底面，连线成图，擦去多余的线． [解]　画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°. (2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长2 cm. (4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图． 3.（2024秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）已知正三棱柱的底面边长为3cm，高为3cm，M、N、P分别是、、的中点. (1)用“斜二测”画法，作出此正三棱柱的直观图（严格按照直尺刻度）； (2)在（1）中作出过M、N、P三点的正三棱柱的截面（保留作图痕迹）. 【分析】（1）利用斜二测法画出棱柱底面的直观图，再根据斜二测画图的原则确定三点，即可得直观图； （2）应用平面的基本性质画出截面即可. 【详解】（1）①平面直角坐标系中作边长为3cm的等边三角形，原点为中点，如下图， ②在线段上找到中点，过作与x轴成45°的轴，并在轴找点使，此时直观图底面确定； ③过向上作与x轴垂直的射线，并在各射线上找一点使cm，连接，即得正三棱柱的直观图. （2）①过作直线分别交射线于，连接，分别交于， ②连接，则截面即为所求. 题型三：直观图的还原与计算 【例5】如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(　　) 【答案】A 【解析】由直观图可知，该平面图形为两腰不与底边垂直的梯形，故选A； 【说明】画平面图形的直观图的技巧：1、在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；2、画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段； 【例6】若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图， 其中，，，，则原四边形的面积为（       ） A．12 B．6 C． D． 【提示】由斜二测画法的直观图，还原原图形为直角梯形，从而即可计算原图形的面积； 【答案】C 【解析】方法1、因为， ，，， 所以由斜二测画法的直观图知可， 所以由斜二测画法的画法规则还原原图形，如图： 所以，，，，， 所以梯形的面积为； 方法2、因为，，，，则 由直观图的梯形面积为：，则根据； 故选：C． 【说明】本题是直观图的还原与计算； 1、直观图的还原技巧：由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段， 且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长 的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可； 2、直观图与原图面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为，其直观图的面积为， 则有或；利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或 由直观图面积求原图形面积；　 【跟踪训练】 1.水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________． 【答案】2.5； 【解析】由于在直观图中∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AB边上的中线为2.5； 2.如图所示Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是 【提示】逆用斜二测画法，还原原图形；先定点，再连线得原图，求面积； 【答案】； 【解析】由题图知，△OAB为直角三角形．∵O′B′＝，∴A′B′＝，O′A′＝2. ∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，∴S△OAB＝××4＝；. 3.如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1；试画出原四边形，并求原图形的面积. 【提示】逆用斜二测画法，还原原图形．先定点，再连线得原图，求面积． 【解析】如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2. 在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2. 在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图)． 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2. 所以面积为S＝； 【说明】1、直观图的还原技巧；由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可； 2、直观图与原图面积之间的关系；若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积． 一、填空题 1．（2022上海高三专题练习）在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点在直观图中的对应点是，则线段的长度为_______ . 【答案】 【分析】根据题意画出图形，结合图形，求得的长度即可． 【详解】由题意，平面直角坐标系中的点， 在直观图中的对应点是，如图所示， 则线段长度为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了斜二测画法及其应用问题，其中解答中熟记斜二测画法，画出相应的图形是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题． 2．（2024上海七宝中学高二期中）如图，矩形是水平放置的平面图形的直观图，其中，轴，则原图形的面积为__________ 【答案】 【分析】结合图形求出，再根据即可求出结果. 【详解】由题意可知， 又因为，所以， 故答案为：. 3．（2024上海吴淞中学高二阶段练习）有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，，，，则这块菜地的面积为___________. 【答案】 【分析】利用直观图中的信息，求出的长度，从而得到原平面图形中的长度，利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】解：在直观图中，，， 故原平面图形的上底为 ，下底，高为 所以这块菜地的面积为 故答案为： 4．（2024上海大同中学高二阶段练习）如图，若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图，已知，，平行四边形的面积为，则原平面图形中的长度为___________. 【答案】 【分析】由题设可求，结合斜二测画法横等纵半，即可知原平面图形中的长度. 【详解】由题设知：， 由斜二测画法：、长度不变，而为的2倍， ∴ 故答案为：. 5．（2024上海南汇中学高二阶段练习）一个竖直平面内的多边形，用斜二测画法得到的水平放置的直观图是一个边长为的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是______． 【答案】 【分析】根据斜二测画法可知，原图形中的高在直观图中变为原来的，直观图中的高变为原高的 ，原来的平面图形与直观图的面积比是：1，计算即可． 【详解】该多边形的直观图是一个边长为的正方形，正方形的面积为， 原多边形的面积是． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了斜二测画法，原图形与直观图面积的关系，属于中档题． 6．（2024上海南洋模范中学高二阶段练习）已知的面积为，用斜二测法画出其水平放置的直观图如图所示，若，则的长为___________. 【答案】1 【分析】首先根据题意得到，利用正弦定理面积公式得到，再利用余弦定理求解即可. 【详解】因为的面积为，所以. 因为，解得 所以，即. 故答案为：1 7．（2024上海进才中学高二阶段练习）若用“斜二测法”作出边长为2的正三角形△ABC的直观图是，则的重心到底边的距离是___________ 【答案】 【分析】画出正三角形△ABC的直观图，根据重心分中线的比为来计算重心到底边的距离 【详解】如图为正三角形△ABC的直观图，为重心到底边的距离 则， 因为为的重心，， . 故答案为：. 8．（2024上海华东师范大学第三附属中学高二阶段练习）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是______. 【答案】 【分析】根据斜二测画法的规则，与 轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度不变；与 轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度减半，分别求出 的长度，即可求出面积. 【详解】根据直观图画出原图如下，则有 , , ,那么原三角形面积是 . 故答案为： 9．（2024上海延安中学高二期中）在水平放置的平面上，有一个边长为4cm的正方形，其直观图的面积是____________cm. 【答案】 【分析】由已知得直观图为邻边长分别为4cm，2cm，夹角为的平行四边形，直接求其面积即可. 【详解】其直观图为邻边长分别为4cm，2cm，夹角为的平行四边形， 其面积为 cm 故答案为： 10．（2024上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）已知水平放置的正的边长为2，那么该三角形的直观图的面积为_____. 【答案】 【分析】根据斜二测画法作出三角形的直观图，再求的面积. 【详解】如图所示 直观图的高为==. 底边长为 ∴的面积为：S= 故答案为：. 11．（2024上海徐汇中学高二阶段练习）如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________． 【答案】8 【分析】根据斜二测画法，还原出原图，根据原图与直观图的关系，求得边长，即可得答案. 【详解】根据直观图，还原原图可得OABC，如图所示： 根据原图与直观图的关系可得，，且， 所以， 所以原图形OABC的周长为3+1+3+1=8， 故答案为：8 12．（2024上海嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图，若三角形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABC的直观图.已知，，三角形的面积为.则原平面图形ABC中BC的长度为 _________ . 【答案】 【分析】利用三角形面积公式求出，再作出原平面图形，利用勾股定理计算可得； 【详解】解：因为，，且三角形的面积为，所以，所以， 三角形的原平面图形如下所示： 所以，且，所以； 故答案为： 13．（2022上海高三专题练习）将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为则的面积为________. 【答案】 【分析】由直观图和原图的面积之间的关系，直接求解即可． 【详解】因为，且△ABC的边长为10，∴面积为， 那么的面积为 故答案为． 【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查． 14．（2024上海高二专题练习）已知等边△ABC的边长为1，用斜二测画法画它的直观图则的面积为_________. 【答案】 由已知中正的边长为1，可得正的面积，进而根据的直观图△的面积，可得答案． 【详解】解：正的边长为1， 故正的面积 设的直观图△的面积为 则 故答案为 【点睛】本题考查的知识点是斜二测法画直观图，其中熟练掌握直观图面积与原图面积之间的关系，是解答的关键． 15．（2022上海高三专题练习）边长为2的正方形的斜二测直观图的面积为__________. 【答案】 【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积. 【详解】作出直观图如图， 根据斜二测画法的原则可知, 所以对应直观图的面积为. 故答案为： 16．（2022上海高三专题练习）水平放置的的斜二侧直观图如图所示，若，的面积为，则的长为________. 【答案】. 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出BC、的长，再用余弦定理求出的长． 【详解】如图所示， ， 的面积为， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了斜二测画法的应用问题和三角形边长与面积的计算问题，属于中档题 二、单选题 17．（2024秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是 (　　) ①角的水平放置的直观图一定是角； ②相等的角在直观图中仍相等； ③相等的线段在直观图中仍然相等； ④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的概念逐项分析即得. 【详解】对于①，由斜二测画法规则可知，角的水平放置的直观图一定是角，故①正确； 对于②，由斜二测画法可知，直角可以变为或，故②错误； 对于③，由斜二测画法可知，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段的长度变为原来的一半，故③错误； 对于④，由斜二测画法可知，两条平行线段在直观图中仍是平行线段，故④正确； 所以正确的个数是2. 故选：C. 18．（2024上海行知中学高二阶段练习）如图直角是一个平面图形的直观图，斜边，则原平面图形的面积是（       ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解析】根据斜二测画法规则可求原平面图形三角形的两条直角边长度，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意可知为等腰直角三角形，， 则，所以原图形中，，， 故原平面图形的面积为. 故选：A 19．（2024上海华师大二附中高二阶段练习）如图，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是（       ） A．AB＝BC＝AC B．AD⊥BC C．AC＞AD＞AB D．AC＞AD＞AB＝BC 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的规则，将直观图还原，即可比较三条线段的长度关系. 【详解】根据斜二测画法，把直观图形中的△A1B1C1，还原成原图形， 如图所示； 为直角三角形，且， 则. 故选：C． 20．（2022·上海静安·模拟预测）如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（       ） A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC是等边三角形 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形 【答案】C 【分析】画出原图，利用原图与直观图之间的转化比例求解. 【详解】解：将其还原成原图，如图， 设，则可得，， 从而， 所以，即， 故是等腰直角三角形. 故选：C. ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$