1.3 集合的运算讲义-2025年暑假新高一（初升高衔接）数学

1.3 集合的基本运算 知识梳理 一．并集、交集的概念与性质 1．交集 【注意】(1)两个集合的并集、交集仍是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 2．并集 【“或”字的三层含义】 3．并集、交集的运算性质 推论： （A∩B）∩C = A∩（B∩C） （A∪B）∪C =A∪（B∪C） A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） 二．全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 温馨提示：∁UA的三层含义： (1)表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)是U中不属于A的所有元素组成的集合． 典例剖析 【考点一 集合的基本运算】 【题型一 集合的运算（数集）】 【总结归纳】集合的运算 1. 对于元素个数有限的集合（方程），应用列举法，先列出每个集合包含的所有元素，再 交集：逐个挑出两个集合的公共元素即可． 并集：直接观察或借助Venn图写并集或挑出两个集合的全部元素即可． 补集：在全集中，去掉集合A中的元素，剩下的元素即为 【注】若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个．　 2. 对于元素个数无限的集合（不等式），一般借助数轴求交集， 交集：两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． 并集：两个集合的并集为数轴上每个集合占有的所有部分，要注意端点值的取舍． 补集：集合A在数轴上相反的部分，注意等号的有无，原集合有等，则补集无等 3.集合的交并补混合运算 运算顺序一般由内向外依次计算，先运算括号内的部分，再依次与外一层进行运算。 如求(∁UA)∩B时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式】设集合，集合，则等于（    ） A．{1} B．{2} C．{3} D．{2，3} 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【题型二 集合的运算（点集）】 【方法总结】点集的交集的两种思考方法 ①方程组的解→联立，解方程组 ②两个函数的交点→图象，交点坐标 4．集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式】已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 知识梳理 三．韦恩图（Venn图）与容斥原理 1.内容：一般地，对任意两个有限集,， 进一步的： 2.分析方法：借venn图来进行分析，如图： 典例剖析 【题型一 利用venn图求集合】 5．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）已知全集，，则下列选项正确的为（    ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【变式】已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 7．如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【变式】设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【题型二 容斥原理】 8．高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【变式】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【考点三 根据集合的运算结果求参数】 【总结归纳】根据集合的运算求参数 1．策略：当题目中含有条件A∩B＝A或A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A∩B＝A转化为A⊆B，A∪B＝B转化为A⊆B. “交小并大” 2．方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍． 【注意】当题目条件中出现B⊆A，若集合B（“小的集合”）不确定，解答时要注意讨论B＝∅． 9．设集合， (1)若，求实数的范围； (2)若，求实数的范围. 【变式】已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 10．已知集合，，若，则实数（   ） A． B．1 C．2 D．4 11．已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式】设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 集合的基本运算 知识梳理 一．并集、交集的概念与性质 1．交集 【注意】(1)两个集合的并集、交集仍是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 2．并集 【“或”字的三层含义】 3．并集、交集的运算性质 推论： （A∩B）∩C = A∩（B∩C） （A∪B）∪C =A∪（B∪C） A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） 二．全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 温馨提示：∁UA的三层含义： (1)表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)是U中不属于A的所有元素组成的集合． 典例剖析 【考点一 集合的基本运算】 【题型一 集合的运算（数集）】 【总结归纳】集合的运算 1. 对于元素个数有限的集合（方程），应用列举法，先列出每个集合包含的所有元素，再 交集：逐个挑出两个集合的公共元素即可． 并集：直接观察或借助Venn图写并集或挑出两个集合的全部元素即可． 补集：在全集中，去掉集合A中的元素，剩下的元素即为 【注】若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个．　 2. 对于元素个数无限的集合（不等式），一般借助数轴求交集， 交集：两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． 并集：两个集合的并集为数轴上每个集合占有的所有部分，要注意端点值的取舍． 补集：集合A在数轴上相反的部分，注意等号的有无，原集合有等，则补集无等 3.集合的交并补混合运算 运算顺序一般由内向外依次计算，先运算括号内的部分，再依次与外一层进行运算。 如求(∁UA)∩B时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025年高考天津卷数学真题 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 【变式】设集合，集合，则等于（    ） A．{1} B．{2} C．{3} D．{2，3} 【答案】B 【来源】福建省南安市成功中学2024-2025学年高二下学期期末测试数学试题 【分析】分别求出方程和的解，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，解得或，所以； 又因为，解得或，所以. 所以. 故选：B. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽省合肥市2024-2025学年高三下学期第二次教学质量检测数学试卷 【分析】分别化简集合，结合交集的运算规律即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以，所以， ， 故选：. 3．（多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】周测1 集合- 【蓝海启航�启航金卷周周测】2024-2025学年高中数学必修一册（北师大版2019） 【分析】由一元一次不等式和一元二次不等式的解法分别求出集合A、B的元素，再进行集合交、并、补的运算得出答案. 【详解】集合，集合， 对于A选项：，故A正确； 对于B选项：，故B错误； 对于C、D选项：，，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 【变式】已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【来源】湖南省永州市宁远县第二中学2025届高三下学期高考押题卷数学试题 【详解】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合、，再按照集合的并集运算即可． 【分析】在集合中，因为，所以， 则，解得，所以， 因为，故. 故选：B． 【题型二 集合的运算（点集）】 【方法总结】点集的交集的两种思考方法 ①方程组的解→联立，解方程组 ②两个函数的交点→图象，交点坐标 4．集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河南省顶级名校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】联立方程组可得交集. 【详解】联立方程，解得， 即， 故选：C. 【变式】已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】由两个集合为点集，通过联立方程组，求出双曲线与直线的交点坐标，可得. 【详解】由，解得或， 所以. 故选：C. 知识梳理 三．韦恩图（Venn图）与容斥原理 1.内容：一般地，对任意两个有限集,， 进一步的： 2.分析方法：借venn图来进行分析，如图： 典例剖析 【题型一 利用venn图求集合】 5．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】利用给定的集合，结合韦恩图阴影部分表示的集合求得结果. 【详解】由韦恩图得阴影部分表示的集合为， 而全集，集合，， 所以. 故选：B 6．（多选）已知全集，，则下列选项正确的为（    ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】ABC 【来源】山西省吕梁市2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由题意得， 根据，,，，, 则； 作出Venn图:    则，A正确； 集合A中有3个元素，故A的不同子集的个数为，B正确； 由于，C正确； 因为，且，故，D错误， 故选：ABC. 【变式】已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江西省南昌市2024-2025学年高一下学期期末调研检测数学试题 【分析】由条件结合关系，求出，由此可求. 【详解】因为， 又，，所以， 又， 所以， 故选：D. 7．如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广东省阳江市第一中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题 【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合交集内部的公共部分，求解即可. 【详解】根据题意可知阴影部分为集合的外部与集合交集内部的公共部分， 即， 故选：C 【变式】设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】04 限时小练4 集合的基本运算（2） 高中数学必修第一册�RA 【详解】阴影在，内，而不在内，即在内，故阴影表示的集合是． 【题型二 容斥原理】 8．高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【来源】四川省眉山市仁寿县仁寿县汪洋中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 【变式】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【来源】考点01 集合【讲】2026届高三数学黄金考点总动员 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 【考点三 根据集合的运算结果求参数】 【总结归纳】根据集合的运算求参数 1．策略：当题目中含有条件A∩B＝A或A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A∩B＝A转化为A⊆B，A∪B＝B转化为A⊆B. “交小并大” 2．方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍． 【注意】当题目条件中出现B⊆A，若集合B（“小的集合”）不确定，解答时要注意讨论B＝∅． 9．设集合， (1)若，求实数的范围； (2)若，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【来源】广西博白县中学2024-2025学年高一上学期入学摸底考试数学试题 【分析】（1）由题意可得，再分及结合集合的基本关系讨论即可得； （2）由题意可得，借助集合的基本关系计算即可得. 【详解】（1）由，故， 当时，有，解得； 当时，有，解得； 综上所述，； （2）由，故， 故有，解得， 故. 【变式】已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【来源】重庆市巴蜀中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）先求出集合，再将代入集合，求出集合中元素范围，进而可得； （2）求出集合（含参数），由，得到，求实数的取值范围. 【详解】（1）， 所以， 当时，， 所以； （2）， 因为，即， 所以或，解得或， 故所求实数的取值范围为. 10．已知集合，，若，则实数（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【来源】安徽省亳州市黉学高级中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题 【分析】由交集结果可知，由此可根据求得或；分别验证的每个取值对应的交集结果，由此可得的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，解得或， 当时，，，不合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述：. 故选：C. 11．已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)条件选择见解析， 【来源】重庆市第八中学校2022-2023学年高一上学期期中数学试题 【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合. 【详解】（1）解：当时，， 又因为，故. （2）解：若选①，当时，，则，满足， 当时，，若，则或，解得或. 综上所述，； 若选②，，则. 当时，，满足； 当时，，因为，则或，解得或. 综上所述，； 若选③，当时，，满足； 当时，则，因为，则或，解得或. 综上所述，. 【变式】设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】江西省南昌大学附属学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$