5.3 一元一次方程和它的解导学案2025-2026学年浙教版七年级数学上册

5.3 一元一次方程和它的解导学案 一、学习目标 1. 准确理解一元一次方程的概念，能依据定义判断方程是否为一元一次方程深入掌握一元一次方程解的含义，熟练运用代入法检验一个数是否为方程的解。 1. 学会根据实际问题中的数量关系列出一元一次方程，提升数学建模能力。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 一元一次方程的概念及判断标准。 1. 一元一次方程解的定义与检验方法。 （二）学习难点 1. 准确识别复杂方程中未知数的次数和系数，判断方程是否符合一元一次方程的条件。 1. 从实际问题抽象出一元一次方程的过程，正确找出等量关系并列出方程。 三、知识点自主预习填空 1. 只含有______个未知数，并且未知数的次数都是______，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 1. 使一元一次方程左右两边______的未知数的值，叫做一元一次方程的解，也叫做方程的______。 1. 在方程①3x + 5 = 0；②；③2x + y = 3；④一元一次方程的是______（填序号）。 1. 若x = 2是方程2x + a = 6的解，则a的值为______。 1. 一个数x的 3 倍比它本身大 4，可列方程为______。 四、知识点讲解 （一）一元一次方程的概念 1. 概念阐述：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。例如，5x - 3 = 7，此方程只含有一个未知数x，x的次数是 1，等号两边5x - 3和7都是整式，所以它是一元一次方程；同样满足一元一次方程的条件 。 1. 判断标准 0. 未知数的个数：方程中只能有一个未知数。例如2x + 3y = 8含有两个未知数x和y，不满足一元一次方程的条件，不是一元一次方程。 0. 未知数的次数：未知数的最高次数为 1。未知数x的最高次数是 2，不符合要求，不属于一元一次方程。 0. 整式条件：等号两边的式子都必须是整式，也就是分母中不能含有未知数。例如，分母中有未知数x，它不是整式方程，所以不是一元一次方程 。 13. 常考易错点 0. 忽略 “整式” 条件，误将分母含未知数的方程当作一元一次方程。比如看到方程，容易因只关注未知数个数和次数，而错误判断它是一元一次方程。 0. 对未知数次数的判断出错，没有正确识别复杂式子中未知数的次数。例如对于方程x(x - 1) = 2，展开后为未知数最高次数是 2，不是一元一次方程，但部分学生可能直接根据原式误判。 0. 当方程中未知数的系数为分数或负数时，不能准确判断。有的学生会因系数形式复杂而产生疑惑，影响对其是否为一元一次方程的判断 。 经典例题 1：判断下列方程哪些是一元一次方程，并说明理由。 0. 2x - 1 = 5 0. 0. 3x + 2y = 8 0. 0. 0.5x = 0 解析： 0. 2x - 1 = 5，只含有一个未知数x，x的次数是 1，等号两边都是整式，是一元一次方程。 0. 未知数x的最高次数是 2，不满足一元一次方程未知数次数为 1 的条件，不是一元一次方程。 0. 3x + 2y = 8，含有两个未知数x和y，不符合一元一次方程只含一个未知数的要求，不是一元一次方程。 0. ，分母中含有未知数x，不是整式方程，所以不是一元一次方程。 0. 0.5x = 0，只含有一个未知数x，x的次数是 1，等号两边都是整式，是一元一次方程。 变式题 1：下列方程中是一元一次方程的是（ ） A. B. 2x + y = 5 C. D. 3x - 8 = 0 答案：D。A 选项知数最高次数是 2；B 选项2x + y = 5含有两个未知数；C 选项分母含未知数，都不是一元一次方程；D 选项3x - 8 = 0满足一元一次方程的定义，是一元一次方程。 （二）一元一次方程的解 1. 概念定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解，也叫做方程的根。例如对于方程x + 3 = 5，当x = 2时，方程左边= 2 + 3 = 5，方程右边= 5，左边等于右边，所以x = 2就是方程x + 3 = 5的解 。 1. 检验方法：将所给的未知数的值代入一元一次方程中，分别计算方程左右两边的结果，若两边结果相等，则该值是方程的解；若不相等，则不是方程的解。例如检验x = -1是否为方程2x - 1 = -3的解，把x = -1代入方程左边得2×(-1) - 1 = -2 - 1 = -3，方程右边= -3，左边等于右边，所以x = -1是方程2x - 1 = -3的解 。 1. 方程解的特性 0. 一个一元一次方程一般只有一个解，但也存在特殊情况。比如方程x + x = 2x，无论x取何值，方程左右两边都相等，所以它的解有无数个；而方程x + 1 = x + 2，化简后得到1 = 2，不成立，该方程无解 。 0. 不同的一元一次方程可能有相同的解，例如方程2x = 4和方程x - 1 = 1，它们的解都是x = 2 。 17. 常考易错点 0. 检验过程中计算错误，导致判断失误。比如在检验x = 3是否为方程3x - 2 = 7的解时，计算方程左边3×3 - 2出现错误，从而得出错误的判断结果。 0. 没有将未知数的值完整代入方程，只代入部分项进行计算。例如检验x = 4是否为方程2x + 3 = 11的解，只计算了2x的值，没有加上 3 就进行判断。 0. 对于特殊情况（无数解或无解）的方程，不能正确理解和判断，误认为所有一元一次方程都只有一个解。 经典例题 2：检验x = 3是否为方程4x - 5 = 7的解。 解析：把x = 3代入方程4x - 5 = 7的左边，计算可得4×3 - 5 = 12 - 5 = 7，方程右边= 7，因为方程左边的值等于方程右边的值，所以x = 3是方程4x - 5 = 7的解。 变式题 2：检验x = -2是否为方程3x + 8 = 2的解。 答案：把x = -2代入方程3x + 8 = 2的左边，计算得3×(-2) + 8 = -6 + 8 = 2，方程右边= 2，方程左边的值等于方程右边的值，所以x = -2是方程3x + 8 = 2的解。 五、效果检测 1. 方程3x + 2y = 1是一元一次方程。（ ） 1. 方程是一元一次方程，因为它只含有一个未知数x。（ ） 1. 若x = 5是方程2x + a = 15的解，则a = 5。（ ） 1. 检验一个数是否为一元一次方程的解，只需将其代入方程左边计算即可。（ ） 1. 一元一次方程x + 1 = x + 1有无数个解。（ ） 六、归纳总结 1. 一元一次方程的概念：明确一元一次方程需满足 “一个未知数”“次数为 1”“整式方程” 三个条件，通过判断未知数个数、次数及式子是否为整式来确定方程是否为一元一次方程。 1. 一元一次方程的解：理解方程解的定义，掌握检验方程解的方法，即代入方程计算左右两边结果并比较，同时要知晓方程解可能存在的多种情况（一个解、无数解、无解）。 1. 学习要点：在学习过程中，要准确把握概念细节，避免因忽略条件或计算错误导致对相关知识的理解和应用出现偏差，学会从实际问题中抽象出一元一次方程模型。 7、 课后作业 1．下列方程：①，②；③；④；⑤．其中是一元一次方程的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列方程中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 4．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 5．当（　　）时，． A．9 B．7 C．8 D．6 二、填空题 6．当 时，关于的方程是一元一次方程． 7．已知关于的方程是一元一次方程，则的值是 ． 8．如果是一元一次方程，那么 ，则 ． 9．写出一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程 10．若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 三、解答题 11．是下列方程的解吗？ (1)； (2)． 八、答案 （一）自主预习填空答案 1. 一；1 1. 相等；根 1. ① 1. 2（把x = 2代入方程2x + a = 6，得2×2 + a = 6，即4 + a = 6，解得a = 2） 1. 3x - x = 4 （二）效果检测答案及解析 1. ×。方程3x + 2y = 1含有两个未知数x和y，不满足一元一次方程只含一个未知数的条件，不是一元一次方程，该说法错误。 1. ×。方程中未知数x的最高次数是 2，不符合一元一次方程未知数次数为 1 的要求，不是一元一次方程，该说法错误。 1. √。把x = 5代入方程2x + a = 15，得到2×5 + a = 15，即10 + a = 15，解得a = 5，该说法正确。 1. ×。检验一个数是否为一元一次方程的解，需要将其代入方程的左右两边分别计算，然后比较两边结果是否相等，而不是只代入左边，该说法错误。 1. √。对于方程x + 1 = x + 1，无论x取何值，方程左右两边都相等，所以它有无数个解，该说法正确。 （三）课后作业答案及解析 题号 1 2 3 4 5 答案 A B B D A 1．A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且为整式方程），逐一判断各方程是否符合条件即可． 【详解】解：①：仅含未知数，次数为1，且为整式方程，符合定义； ②：含有两个未知数和，不符合“只含一个未知数”的条件，不符合定义； ③：分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义； ④：仅含未知数，次数为1，且为整式方程（分母为常数），符合定义； ⑤：未知数的次数为2，不符合“次数为1”的条件，不符合定义； 综上，符合一元一次方程定义的为①和④，共2个． 故选A． 2．B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且为整式方程）逐一判断各选项，熟练掌握一元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、方程中，右边为分式，且含的负一次项，不是整式方程，故不符合题意； B、方程仅含未知数，次数为1，且为整式方程，符合定义，故符合题意； C、方程中，未知数的最高次数为2，属于二次方程，故不符合题意； D、方程含两个未知数和，属于二元一次方程，故不符合题意； 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可求出a的值，再把代入原方程求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边=右边，符合题意． 故选：D． 5．A 【分析】本题主要考查了根据等式的性质解方程， 先方程两边同时乘以8，再两边都减去36，然后根据两边同时除以可得答案． 【详解】解：方程两边同时乘以8，得， 两边都减去36，得， 两边同时除以，得． 故选：A． 6． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，形如，只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式为一元一次方程，据此可得且，求解即可获得答案． 【详解】解：若关于的方程是一元一次方程， 则有且， 解得． 故答案为：． 7．3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义.根据一元一次方程的定义列方程组是求解即可. 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：3. 8． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，根据一元一次方程的定义可得，即得，再代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 9．（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，结合题干给出的条件写出方程即可． 【详解】解：依题意，一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程 ∴满足题意， 故答案为：（答案不唯一） 10． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 11．(1)不是 (2)是 【分析】本题考查的是判断方程的解； （1）把代入方程的左右两边进行计算即可判断； （2）把代入方程的左右两边进行计算即可判断； 【详解】（1）解：当时，方程的左边， 右边， 方程左，右两边的值不相等， ∴不是方程的解； （2）解：当时，方程的左边， 右边，方程左，右两边的值相等， ∴是方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $$