云南省曲靖市部分学校2024-2025学年高二下学期阶段性诊断考试数学试题

云南省2024一2025届（下学期）高二年级阶段性诊断考试 数学参考答案 1.B由Sam-2 EubsinC-.名ab:得sinC-是 2.CA∩Q有无数个元素，A∩Z={一1,0,1,2,3}的元素个数为5，A∩N={0,1,2,3}的元素 个数为4，A∩N4={1,2,3}的元素个数为3. 3.C由f(一x)g(一x)=f(x)g(x),得y=f(x)g(x)是偶函数，A,B错误.当x=0时，y= f(0)g(0)=0,D错误，C正确. 4.A由题意得m<0.因为5.9%-（-0.7%)=6.6%<7.8%，所以m<-0.7%,得m= 5.9%-7.8%=-1.9%. 5.D由题意得f'(x)=x2十2.x-15=(x十5)(x-3),当0<x<3时，f'(x)<0,f(x)单调 递减，当x>3时，f'(x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)有极小值，且极小值为f(3)=一27. 6.A设A(x,y),Bx,-y)y>0),由AB=2y=4,得y=2,所以x=兰=2.因为A(2,2) 在圆O上，所以22+2=R2,得R=2√2. cos 2a=4sin acos a+2, 7.D 由题意得 Zsin B=sin(+), cos'a-sin'a-4sin acos a1-tan'a4tan a-2, sin a+cos a tan'a+1 得 2mg=2 2sinB+2cos3、 解得 ana=-1或-3当ana=-1时，cos2a=0,A在y轴上，舍去. tan 8=1. 故tan(a十B)=1=tan&anB2 tan a+tan B 1 8.B若情景类节日第一个出场，则有A2AA=1200种演出顺序.若歌舞类节日第一个出场， 则有AAA号=1440种演出顺序.故不同的演出顺序的种数为1200+1440=2640. 9.ACf(x)与g(x)的值域均为[一1,1]，A正确.f(x)的最小正周期为π，g(x)的最小正周 期为2x,B错误当x=登时，2x十号-受x一竞-0，所以fx)与gx)的图象都关于直线 x=登对称，C正确当x∈[晋，]时，2x+音∈[x,],所以fx)在[子]上先减后 增，D错误 【高二数学·参考答案第1页（共7页）】 1aACD由z==6,得a=log66=lbg6+方lbg2+10g,3=1.A正确 因为a=log26>b=log36>1,所以loga>1>logb,B错误，C正确. 因为函数f(x)=aF单调递增，所以f(a)=a“>f(b)=a,又g(x)=x在(0，十o∞)上单 调递增，所以g(a)=a>g(b)=b,故a>a>b,D正确. 11.BCD因为△PAB∽△PBC,PA⊥AB,所以PB⊥BC,又AB⊥BC,AB∩PB=B,所以 面PA,D正确因为∠APB=30,AB=1,所以PA=3,PB=2BC 因面休PAC简作积为时×后×名X1X,店-号B正底 将侧面PBC翻折至点C与平面PAB共面，如图所示，过点A作AF ⊥PC于点F1,过点C作CD:⊥PA于点D1,则AE十EF的最小值为 AF=APsin.∠APC=5sn60=号，CE+DE的最小值为CD, D P℃·sin∠APC5in60°=2，A错误，C正确， B 12.-2由题意得“+2+a=一iu十20+a=a十2-ai,因为a十2-ai为纯虚数，所以a -2 -2. 13.-8;√41若a/仍，则2.x=-1×(-6),解得x=3,则a⊙b=(2-1)2-(-6+3)2=-8. 若a⊙b=1,则(2-1)2-(-6+x)=1,解得x=6,则a十b=(-4,5).故a十b|= 16+25=√/41. 14.17-5v6 2 由题意得F,(c,0)到渐近线y=士合x的距离为 bc =b,则sin∠PFzF 6+a =名由cos∠F,PF,-号得n∠F,PF,=子在△F,PF,中，由正弦定理 2 F F2 n∠F1PFz 得1PF-F0E=a.由PF,-PF,=2a,得1PF,-2a PF sin∠F1PF2 +|PF,|=5a.由余弦定理得F1F2|2=|PF1|2+PF22-2PF,IIPF2cos∠F1PF2,得 4c2=(34-10/5)a2,得e2-c_17-55 2 15.解：(1)由题意得P(X≥110)=1一P(X<110)=0.1,… 1分 P(85≤X<110)=0.5-P(X>≥110)-2P(65<X<85)=0.3,…2分 P(X<65)=0.5-2P(65<X<85)=0.4,…3分 所以A等级分数对应的区间为[110,150]，B等级分数对应的区间为[85,110)，C等级分数 【高二数学·参考答案第2页（共7页）】 对应的区间为(65,85)，D等级分数对应的区间为[0,65]. …6分 (2)这10名学生中数学成绩等级为C的学生人数为20%×10=2，其他等级的学生人数为 102=8.…7分 Y的可能取值为0,1,2，P(Y=0)= C。15' …10分 则Y的分布列为 Y 0 1 2 P 15 15 15 11分 故E00=0x品+1x号+2x号 *4**1004………13 16.(1)证明：在图1中，，AE=CD,AE∥CD,AD⊥AE,.四边形AECD是矩形，.CE⊥ AB.................................. …2分 在图2中，，'CE⊥AE,CE⊥PE,AE∩PE=E,AE,PEC平面PAE,.CE⊥平面PAE. …3分 APC平面PAE,CE⊥PA.…4分 Ap2+AE2=Ep2,AP⊥AE.…6分 ,AE∩CE=E,AE,CEC平面AECD,.AP⊥平面AECD.…7分 (2)解：（方法一）以A为原点，AP,AE,AD所在的直线分别为x轴、y轴、↑ z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,1),C(0,1,1),P(3,0, 0),Dp=(5,0,-1),Cp=(W3,-1,-1).…9分 n·Dp=√3x-x=0, 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则 取x n.Cp=3.x-y-x=0, P(B =1,则y=0,=√3， 得n=(1,0,W3).… 11分 易得平面PAE的一个法向量为m=(0,0,1),… 12分 则平面PAE和平面PCD夹角的余弦值为|cos〈m,n〉|= m·n3 mn 2 …14分 故平面PAE和平面PCD的夹角为吞 …15分 (方法二)如图，作矩形APQE,连接CQ,…8分 AECD,AEPQ,∴.CD/PQ,∴.C,D,P,Q四点共面，…9分 平面PAE和平面PCD的交线为PQ.…10分 PB) 【高二数学·参考答案第3页（共7页）】 .AE⊥AP,AE⊥AD,AP∩AD=A,AP,ADC平面PAD,∴.AE⊥平面PAD.… …11分 PDC平面PAD,AE⊥PD,.PQ⊥PD.…I2分 ,PA⊥PQ,.平面PAE和平面PCD夹角的平面角为∠APD.…13分 :AP⊥AD,∴tan∠APD=AD-3 AP-3 …14分 故平面PAE和平面PCD的夹角为 15分 17.解：(1)本题答案不唯一，只要满足中间数字是5，T=15即可. 9 3分 (2)由题意得T,=4× 1(1+16)×16 =34. 2 4分 由表可得 a+12+a,+18=34…得a+a=9,0 6分 13+3+a2十a5=34, a2十a5=18,② 得9么公g2… atas 由a1十a1=a1十a1q3=9a1=9,得a1=1,则an=a19”1=2.…8分 ③由题意得工.=1+2+3+…十n)=×1-2(m2+1.…10分 2 1 1 则T2+2-T+1-3n-4 2(2m+2[(2m+2)+1]-2(2n+1D[(2m+1)+1]-3n-4 1 1 …13分 n-2 18n+18 15分 2a=4, 1a=2, 18.解：(1)由题意得 得 …2分 2c=23,c=√3， 则b2=a2-c2=1, 3分 所以C的方程为+y=1 …4分 (2)由(1)可知A(-2,0),B(2,0), 易得直线l的斜率不为零，设l:x=1y十√3，E(x1y),F(x2,y2).…5分 【高二数学·参考答案第4页（共7页）】 x=ty+3, 由 x 得(12十4)y2十23y-1=0,… 6分 4十y2-1, △=16(t2+1)>0, 得y十y= -2w3t t2十4)…7s分 -1 y1y2一2+4 ①四边形AEBF的面积为S△ABE十S△ABr= 1AB1ly-=2+)-4- t2+1 12+1 8√2+4 =8 =8 -≤8 V(t2+1)2+6(12+1)+9 9 t2+1十 +·+6 -43 3 10分 9 当且仅当t2+1= 2即=2时，等号成立，………… 11分 故四边形AEBF面积的最大值为3， 12分 ②k2(k1十kg)是定值，该定值为一2一√3.… 13分 +26s k=y 262 k汁2‘2-、 4 1 ,…14分 yiy2 x1-2x2-2(1y1+3-2)(1y2十V3-2) -1 yiy2 t2+4 ty1y2+(W3-2)t(y1+y2)+7-43-t t2+4 65-2x二231+7-45 t2+4 月，09…16分 所以长：+=+，=}子-5=-2一5。 …17分 19.解：(1)当a=1时，f(x)=e-e+-sin2x,f(0)=0.…1分 f'(.x)=e十er-2cos2.x,f'(0)=0.…3分 故曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=0.…4分 【高二数学·参考答案第5页（共7页）】 (2)因为f(一x)=一f(x),所以f(x)为奇函数. 又因为f(0)=0,所以只需要讨论f(x)在(0，π)上的零点个数. …5分 f'(x)=e'+e-2acos 2x. ①当0≤a≤1时，f'(x)>2ve·e7-2acos2x=2-2acos2x≥0， 所以f(x)是增函数，所以f(x)>f(0)=0, 所以f(x)在(0，π)上没有零点.… …7分 ②当1<a<时，令g(x)=f'(r)=e+e-2acos2z,g'(x)=e-e‘+4asin2z. 当x∈(0，]时，g(x)单调递增， 所以g(x)>g'(0)=0,所以g(x)=f(x)在(0，]上单调递增. …9分 因为f(0)=2-2a<0,f(于)=e+ef>0,所以存在x∈(0，买]，使得f(x)=0. 当x∈(0，xo)时，f'(x)<0,当x∈(xo,)时，f'(x)>0, 所以f(x)在(0，x)上单调递减，在(x,于]上单调递增。 11分 当x∈（票，]时，fx)=e+e-2acos2z>0,所以fx)在(，8]上单调递增. 12分 当x∈（还）时，令h()=g'(x)=e-e+4asin2xr, '(x)=e+e+8a6os2r>0,所以h(c)=g(x)在(3不)上单调递增.…13分 g(3）-e-e守-4a. 因为c>>25-625e中<5-025所以e-。>6,所以g( >0,… …14分 所以当x∈（红，x)时，g'(x)>0,即g(x）=了(x)在(，）上单调递增。 因为f(3）-产+e>0,所以当x∈(8)时，f(x)>0, 即fx)在(3红)上单调递增， …15分 所以f(x)在(0，xo)上单调递减，在(x,π)上单调递增. 因为f(0)=0,f(π)=e-e>0,所以f(x)在(0，π)上有1个零点.…16分 综上，当0≤a≤1时，f(x)在(-元，π)上只有1个零点： 【高二数学·参考答案第6页（共7页）】 当1<a<多时，f（x)在（一不，）上有3个零点，…1 17分 注：当1a<号x∈（②红x)时，f'(x)>0,也可由以下证法证得. 当x∈(x)时，因为cos2x∈(0,1D,a∈(1,2]， 所以f'(x)=e+e-2acos2x>e9-2X2X1>e-3>0, 【高二数学·参考答案第7页（共7页）】云南省2024一2025届（下学期）高二年级阶段性诊断考试 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积为gab,则sinC- 1 A.2 R c日 1 D.16 2.已知集合A={x|一2<x<4},A∩B的元素个数为4，则集合B可能为 A.Q B.Z C.N D.N 3.已知f(x),g(x)都是定义域为R的奇函数，则函数y=f(x)g(x)的部分图象可能为 D 4.2024年7月至12月云南省工业增加值增长速度依次为，4.5%，一0.5%，一0.7%， 一0.6%，5.9%.与上月相比，工业增加值减少的月份数超过一半，且该组数据的极差为 7.8%,则m= A.-1.9% B.-0.9% C.7.1% D.7.3% 5.函数fx)=3x3+x2-l5.x在(0，+o∞)上 A有极大值，且极大值为- 3 B.有极大值，且极大值为一27 C有极小值，且极小值为一 D.有极小值，且极小值为一27 6.已知抛物线C:y2=2x与圆O:x2+y2=R2(R>0)交于A,B两点，且|AB引=4，则R= A.22 B.√2 C.2 D.1 【高二数学第1页（共4页）】 7.若不在坐标轴上的点A(cos2a,V2sin)关于直线y=x的对称点为B(sin(B+T), 4 sin acos a-十2)，则tan(a十B)= C0攻对 1 A.0或2 B.2 0.2 8.为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情 景类节目和2个朗诵类节目的演出顺序.若朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺 序不相邻，则不同的演出顺序的种数为 A.1560 B.2640 C.1360 D.2340 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 的.全部选对的得6分，部分选择的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数fx)=sim(2x+）gx)=cos(x-),则 A.f(x)与g(x)的值域相同 B.f(x)与g(x)的最小正周期相同 Cf(x)与g(x)的图象都关于直线x-对称 Dfx)与g(r)在[，]上都单调递减 10.若实数a,b满足2=3=6，则 A2+-1 B.log,b>log,a C.a>b D.a“>a>b9 11.如图，在四面体PABC中，△PAB∽△PBC,∠APB=30°，PA⊥AB,AB⊥BC,AB=1, D,E,F分别为棱PA,PB,PC上的动点，则 A.AE+EF的最小值为v3 B.四面体PABC的体积为3 C.CE+DE的最小值为2 D.BC⊥平面PAB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12,若“十+aa∈R)为纯虚数，则a=▲一 13.已知向量a=(x1y1),b=(x2y2),定义向量的新运算：a⊙b=(x1十y1)2一(x2十y2)2.设 向量a=(2,-1),b=(-6,x.若a∥b,则a⊙b=▲；若a⊙b=1,则1a十b|= 4.已知双曲线C无-1@>0，b>0的左右焦点分别为F1,F,离心率为，过点F 与C的渐近线垂直的直线与双曲线C的左支交于点P,且c0∠R,PF:=号，则e 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.(13分) 某校高二期末考试的数学成绩（满分150分）X~N(75,62),P(X<110)=0.9,P(65<X< 85)=0.2.将数学成绩从高到低按照10%，30%，20%，40%的比例分为A,B,C,D四个 等级。 (1)试确定各个等级分数对应的区间； (2)按照数学成绩的等级进行分层，用分层随机抽样的方法从这些学生中抽取了10名学生， 现从这10名学生中随机抽取3名学生，设Y表示这3人中数学成绩等级为C的学生人 数，求Y的分布列及数学期望 16.(15分) 如图1，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为1,3，高为1的直角梯形，AB⊥AD,E为 线段AB上更靠近点A的三等分点.将△BCE沿着CE翻折，使得点B翻折到点P,且AP =√3，得到的几何体如图2所示. (1)证明：AP⊥平面AECD, (2)求平面PAE和平面PCD的夹角. P(B) 图1 图2 17.(15分) 将1,2,3，…，n这n个数字都填入n×n(n≥3，n∈N+)的方格中，每个方格填入1个数， 组成一个正方形数阵，若每行、每列和对角线上的数字之和都相等，则将该数阵称为“阶幻 方”，每行、每列和对角线上的数字之和均称为“幻方和”，记为T。 (1)将1~9这9个数字填入如下3×3的正方形网格中，使其构成一个“3阶幻方” 【高二数学第3页（共4页）】 (2)一个“4阶幻方”的部分数据如下表所示，等比数列{am}中的4项a1,a2,a4,a5均在表 内，求{a.}的通项公式 12 a 13 3 a2 as （3)在由1,2,3，…，2(n≥3，n∈N)组成的“n阶幻方”中，设P.=Ta+2-T21-3n-4 1 求P 18.(17分) y2 包知椭圆C:干，1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为23 (1)求C的方程. (2)若A,B分别为C的左、右顶点，过点（√3,0）的直线l与C交于与A,B不重合的E,F 两点。 ①求四边形AEBF面积的最大值. ②设直线AE,BE,BF的斜率分别为k1,k2,ka,判断k2(k1十k3)是否为定值.若是，求 出该定值，若不是，请说明理由. 19.(17分) 已知函数fx)=c-e-asin2x(0≤a<号). (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)试讨论f(x)在（一π，π）上的零点个数. 【高二数学第4页（共4页）】