专题09 一元二次函数的图像与性质（讲义） - 广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件和练习题。 本专题是广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》的第九个专题，内容为一元二次函数的图像与性质。本专题涵盖一元二次函数的定义、二次函数的图像与性质、二次函数的三种形式等3个知识点，每个知识点后均配有真题或模拟题，供学生进行知识检测。函数作为高考的重要知识点，复习中可以将函数的定义域、奇偶性、最值问题作为重点复习内容。 广东省2026年“3+证书”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题09 二次函数的图像与性质（讲义） 知识点1 一元二次函数的定义： 形如 的函数叫做一元二次函数.它的定义域是R，图象是一条抛物线. 知识点2 二次函数图像的图像与性质 1.二次函数 的性质： 图象 定义域 R R 对称轴 顶点坐标 值域 单调区间 减区间 增区间 增区间 减区间 最值 时 时 奇偶性 当 时二次函数是偶函数 2.二次函数 图象与系数的关系： (1)a是二次项系数，决定抛物线的开口方向：时，开口向上；时，开口向下. (2)c是常数，表示抛物线在 y 轴上的截距. (3)b是一次项系数，a与b 影响对称轴 的位置：若，则对称轴在x轴左侧；若 0，则对称轴在x 轴右侧；若b=0时，对称轴是 y轴. 3.二次函数 图象的相关性质： (1)与x轴的交点个数，如上图： 图象与x轴有2个交点； 图象与x轴有1个交点； ，图象与x轴没有交点. (2)特殊点的坐标：知横求纵，知纵求横. 与y轴的交点坐标：(0，c)；与x 轴的交点坐标： 4.二次函数的对称轴 (1)若一元二次函数,则对称轴 (2)的对称轴为 一、选择题 1.(2019广东真题)若函数是偶函数,则( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质即可求解.. 【详解】因为函数是偶函数，所以,所以，所以； 故选：C. 2.二次函数的图像开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可求解.. 【详解】：对于二次函数，当 时，图像开口向上；在 中， ，所以其图像开口向上。 故选：A 3.二次函数 的对称轴是（ ） A. B. C. D. y 轴不存在 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质即可求解.. 【详解】二次函数的对称轴公式为 ，在 中，b = 0，，则对称轴 ，即对称轴是（y 轴）。 故选：B 4.二次函数 的顶点坐标是（ ） A.(1, 2) B.(-1, 2) C.(1, -2) D.(-1, -2) 【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点式即可求解.. 【详解】二次函数的顶点式为 ，其顶点坐标为 (h,k) ，在 中，h = 1，k = 2，所以顶点坐标是 (1,2)。。 故选：A 5.二次函数，当取何值时，y 有最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据二次函数配方成完全公式即可求解.. 【详解】将二次函数 配方为顶点式， ，因为二次项系数 ，图像开口向上，所以当 时，y 有最小值 - 1。 故选：C 6.对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标为 (1, -3) C. 当时，y 随 x 的增大而减小 D. 当 时，y 随 x 的增大而减小 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式即可求解.. 【详解】对于二次函数 ，因为，所以开口向上；其顶点式为 形式，顶点坐标为 (h,k)，这里 ，，顶点坐标是 (-1,-3)；因为开口向上，对称轴为，所以当 时，y 随 x 的增大而减小；当 时，y 随 x 的增大而增大 。 故选：C 7.已知二次函数 的图像经过原点，则 c 的值为（ ） A.0 B.1 C.-1 D.无法确定 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可求解.. 【详解】已知二次函数 的图像经过原点 (0,0)，把 (0,0) 代入函数可得 0 = a×0² + b×0 + c，所以 c = 0 。 故选：A 8.二次函数的图像与 y 轴的交点坐标是（ ） A.(0, 1) B.(1, 0) C.(0, -1) D.(-1, 0) 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可求解.. 【详解】求二次函数与 y 轴的交点坐标，令 x = 0，在中，当 时，，所以图像与 y 轴的交点坐标是 (0,1) 。 故选：A 9.若二次函数的图像开口向上，且与 x 轴有两个交点，则（ ） A.， B.， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可求解.. 【详解】二次函数，当时，图像开口向上；判别式 ，当 时，函数图像与 x 轴有两个交点 ，所以若图像开口向上，且与 x 轴有两个交点，则，。 故选：A 10.二次函数，配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可求解.. 【详解】对 y = 2x² - 4x - 1 进行配方： 。 故选：A 11.二次函数 的最大值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质即可求解.. 【详解】将二次函数 配方，，因为，图像开口向下，所以当时，y 有最大值 3。 故选：C 12.二次函数，当 时，；当时，；当时，，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质即可求解.. 【详解】把，；，；， 分别代入得： (1) (2) (3) 把 (3) 代入 (1) 得 (4)，把 (3) 代入 (2) 得(5)， (4)+(5) 得 ，解得 ，把 代入 (4) 得 ，解得 ，所以 ，， 。 故选：B 13.二次函数的图像与 x 轴的两个交点坐标分别为(-1, 0)，(3, 0)，则下列说法正确的是（ ） A.对称轴是 B.对称轴是 C.对称轴是 D.无法确定对称轴 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质即可求解.. 【详解】二次函数的图像与 x 轴的两个交点坐标分别为 (,0)，(,0)，则对称轴为 ，已知两个交点坐标分别为 (-1,0)，(3,0)，所以对称轴是 。 故选：B 二、填空题 14.(2014广东真题)若函数的最大值为1,则 . 【答案】0 【分析】根据二次函数的性质即可求解.. 【详解】对 进行配方： 因为函数最大值为1，所以，故。 15.二次函数 与轴的交点坐标是______。 【答案】(1,0)，(5,0) 【分析】根据二次函数的性质即可求解.. 【详解】求二次函数与 x 轴的交点坐标，令 y = 0，即 ，分解因式得 ，解得 或 ，所以交点坐标是 (1,0)，(5,0) 。 16.二次函数，当 时，y 有最______值，为______。 【答案】2，小，- 7 【分析】根据二次函数的性质即可求解.. 【详解】将 y = 2x² - 8x + 1 配方，y = 2x² - 8x + 1=2 (x² - 4x)+1=2 (x² - 4x + 4 - 4)+1=2 [(x - 2)² - 4]+1=2 (x - 2)² - 8 + 1=2 (x - 2)² - 7 ，因为 a = 2>0，图像开口向上，所以当 x = 2 时，y 有最小值 - 7。 17.若二次函数的图像的顶点坐标为 (-2, 4)，且经过原点，则 ______，______， ______。 【答案】-1，- 4，0 【分析】根据二次函数的性质即可求解.. 【详解】二次函数顶点式为，顶点坐标为 (h,k)，已知顶点坐标为 (-2,4)，则函数可写成，又因为函数经过原点 (0,0)，把 (0,0) 代入可得，即，解得；则 ，所以 ，。 知识点3 二次函数的三种形式 1.一般式: 对称轴： 2.顶点式: 其中(m，n)为抛物线顶点；对称轴：. 3.交点式: 其中，为二次方程 的两根，或函数与x轴的交点的横坐标；对称轴为 求一元二次函数解析式时，常根据条件先假设函数解析式，然后求出相应的系数，这种方法是中学数学中常用的一种方法——待定系数法. 一、选择题 1.二次函数 的顶点坐标是（ ） A.(2,-5) B.(-2,19) C.(4, 3) D.(1,-3) 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式求顶点坐标公式.. 【详解】由顶点公式可知顶点坐标为(2, -5)。 故选：A 2.二次函数的开口方向和顶点坐标分别是（ ） A.向上(1,4) B.向下，(-1,4) C.向上，(-1,-4) D.向下，(1,-4) 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式.. 【详解】由二次函数，可知所以开口向下，顶点坐标为(-1, 4)。 故选：B 3.已知二次函数与轴交于(1, 0)和(5,0)，且过点(0,5)，则其交点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的交点式.. 【详解】由二次函数，可设二次函数为，且函数图像经过(0,5)所以，解得故二次函数的交点式为。 故选：A 4.将 化为顶点式后，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式.. 【详解】由二次函数。 故选：A 5.二次函数 的图像过点 (0, 0)、(1, 2)、(-1, -4)，则其解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的一般式.. 【详解】二次函数 的图像过点 (0, 0)、(1, 2)、(-1, -4)得到解得故二次函数的解析式为。 故选：C 6.二次函数 与 x 轴的交点坐标是（ ） A.(1,0)和(3,0) B.(-1,0)和(-3,0) C.(2,0)和(6,0) D.(0,3)和(4,0) 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的交点式.. 【详解】二次函数，由交点式可知函数图像与x轴的交点为(1,0)和(3,0)。 故选：A 7.若二次函数 的顶点在第二象限，且开口向上，则 h 和 k 的符号为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式.. 【详解】由二次函数 可知函数的顶点为顶点在第二象限所以。 故选：B 8.某物体被抛出后的高度（单位：米），其达到的最大高度为（ ） A.21米 B.25米 C.19米 D.24米 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式求顶点坐标公式.. 【详解】由顶点公式可知最大高度为。 故选：A 9.二次函数的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质对称轴.. 【详解】由对称轴为可知。 故选：A 10.已知二次函数的顶点为(2,-3)，且经过点 (3,1)，则其顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式.. 【详解】设二次函数 已知函数经过点 (3,1)所以解得。 故选：A 二、填空题 11.二次函数的顶点坐标是__________。 【答案】(3, -1) 【分析】本题考查了二次函数的顶点公式.. 【详解】二次函数所以顶点坐标为(3, -1)。 12.将展开成一般式为__________。 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式. 【详解】二次函数。 13.二次函数 与 轴交点的横坐标为__________。 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程. 【详解】二次函数，方程的解为所以二次函数与 轴交点的横坐标为。 14.已知二次函数的交点式为 ，则其一般式为__________。 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式. 【详解】二次函数。 15.二次函数 的图像开口向下，且对称轴在 y 轴右侧，则 a 和 b 的符号关系为__________。 【答案】 【分析】本题考查了解二次函数的性质. 【详解】二次函数 的图像开口向下所以，对称轴为在y轴右边故所以。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件和练习题。 本专题是广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》的第九个专题，内容为一元二次函数的图像与性质。本专题涵盖一元二次函数的定义、二次函数的图像与性质、二次函数的三种形式等3个知识点，每个知识点后均配有真题或模拟题，供学生进行知识检测。函数作为高考的重要知识点，复习中可以将函数的定义域、奇偶性、最值问题作为重点复习内容。 广东省2026年“3+证书”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题09 二次函数的图像与性质（讲义） 知识点1 一元二次函数的定义： 形如 的函数叫做一元二次函数.它的定义域是R，图象是一条抛物线. 知识点2 二次函数图像的图像与性质 1.二次函数 的性质： 图象 定义域 R R 对称轴 顶点坐标 值域 单调区间 减区间 增区间 增区间 减区间 最值 时 时 奇偶性 当 时二次函数是偶函数 2.二次函数 图象与系数的关系： (1)a是二次项系数，决定抛物线的开口方向：时，开口向上；时，开口向下. (2)c是常数，表示抛物线在 y 轴上的截距. (3)b是一次项系数，a与b 影响对称轴 的位置：若，则对称轴在x轴左侧；若 0，则对称轴在x 轴右侧；若b=0时，对称轴是 y轴. 3.二次函数 图象的相关性质： (1)与x轴的交点个数，如上图： 图象与x轴有2个交点； 图象与x轴有1个交点； ，图象与x轴没有交点. (2)特殊点的坐标：知横求纵，知纵求横. 与y轴的交点坐标：(0，c)；与x 轴的交点坐标： 4.二次函数的对称轴 (1)若一元二次函数,则对称轴 (2)的对称轴为 一、选择题 1.(2019广东真题)若函数是偶函数,则( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 2.二次函数的图像开口方向是（ ） A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 3.二次函数 的对称轴是（ ） A. B. C. D. y 轴不存在 4.二次函数 的顶点坐标是（ ） A.(1,2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(-1,-2) 5.二次函数，当取何值时，y 有最小值（ ） A. B. C. D. 6.对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标为 (1, -3) C. 当时，y 随 x 的增大而减小 D. 当 时，y 随 x 的增大而减小 7.已知二次函数 的图像经过原点，则 c 的值为（ ） A.0 B.1 C. -1 D.无法确定 8.二次函数的图像与 y 轴的交点坐标是（ ） A.(0, 1) B.(1, 0) C.(0, -1) D.(-1, 0) 9.若二次函数的图像开口向上，且与 x 轴有两个交点，则（ ） A.， B.， C. ， D. ， 10.二次函数，配方后可得（ ） A. B. C. D. 11.二次函数 的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12.二次函数，当 时，；当时，；当时，，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 13.二次函数的图像与 x 轴的两个交点坐标分别为(-1, 0)，(3, 0)，则下列说法正确的是（ ） A.对称轴是 B.对称轴是 C.对称轴是 D.无法确定对称轴 二、填空题 14.(2014)若函数的最大值为1,则 . 15.二次函数 与轴的交点坐标是______。 16.二次函数，当 时，y 有最______值，为______。 17.若二次函数的图像的顶点坐标为 (-2, 4)，且经过原点，则 ______，______， ______。 知识点3 二次函数的三种形式 1.一般式: 对称轴： 2.顶点式: 其中(m，n)为抛物线顶点；对称轴：. 3.交点式: 其中，为二次方程 的两根，或函数与x轴的交点的横坐标；对称轴为 求一元二次函数解析式时，常根据条件先假设函数解析式，然后求出相应的系数，这种方法是中学数学中常用的一种方法——待定系数法. 一、选择题 1.二次函数 的顶点坐标是（ ） A.(2,-5) B.(-2,19) C.(4,3) D.(1,-3) 2.二次函数的开口方向和顶点坐标分别是（ ） A.向上，(1,4) B.向下，(-1,4) C.向上，(-1,-4) D.向下，(1,-4) 3.已知二次函数与轴交于(1, 0)和(5,0)，且过点(0,5)，则其交点式为（ ） A. B. C. D. 4.化为顶点式后，正确的是（ ） A. B. C. D. 5.二次函数 的图像过点 (0, 0)、(1, 2)、(-1, -4)，则其解析式为（ ） A. B. C. D. 6.二次函数 与 x 轴的交点坐标是（ ） A.(1,0)和(3,0) B.(-1,0)和(-3,0) C.(2,0)和(6,0) D.(0,3)和(4,0) 7.若二次函数 的顶点在第二象限，且开口向上，则 h 和 k 的符号为（ ） A. B. C. D. 8.某物体被抛出后的高度（单位：米），其达到的最大高度为（ ） A.21米 B.25米 C.19米 D.24米 9.二次函数的对称轴是（ ） A. B. C. D. 10.已知二次函数的顶点为(2,-3)，且经过点 (3,1)，则其顶点式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11.二次函数的顶点坐标是__________。 12.将展开成一般式为__________。 13.二次函数 与 轴交点的横坐标为__________。 14.已知二次函数的交点式为 ，则其一般式为__________。 15.二次函数 的图像开口向下，且对称轴在 y 轴右侧，则 a 和 b 的符号关系为__________。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$