向量的内积- 四川省2026年对口招生一轮复习《数学考点双析卷》第83卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。本套试卷共140份。 本卷是四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第83卷，主要考查平面向量章节中向量的内积的掌握情况。 四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第83卷 向量的内积 教师讲解卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知非零向量，若，且与方向相同，则（   ） A．6 B． C．0 D．3 2．已知向量，则“”是“或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图所示的半圆中，为直径，点为圆心，为半圆上一点，且，4，则=（    ） A． B． C． D． 4．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则等于（   ） A．1 B． C． D． 7．，，，是与同向的单位向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D．4 8．已知，且，则等于（   ） A． B． C． D．1 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．在边长为2的正三角形中， 10．已知向量，满足，则与的夹角为 ． 11．已知单位向量的夹角为，与垂直，则 12．已知，则= . 三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13．（本小题满分12分） 已知，且向量与的夹角为，求. 14．（本小题满分14分） 已知，． (1)若，求； (2)若，求； (3)若与垂直，求当k为何值时，？ 15．（本小题满分14分） 如图，在 中，，．点 在边 上，且． (1)，，求； (2)，恰为边上的高，求角； (3)，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。本套试卷共140份。 本卷是四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第83卷，主要考查平面向量章节中向量的内积的掌握情况。 四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第83卷 向量的内积 教师讲解卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知非零向量，若，且与方向相同，则（   ） A．6 B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的数量积的概念及运算求解. 【详解】由与方向相同，可知夹角为0，所以． 故选：A. 2．已知向量，则“”是“或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由向量的内积运算和充分必要条件即可得解. 【详解】，，， 则，不能得到或，充分性不成立； 若或，则成立，必要性成立， 所以“”是“或”的必要不充分条件． 故选：B. 3．如图所示的半圆中，为直径，点为圆心，为半圆上一点，且，4，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的性质，结合向量的内积即可求解. 【详解】连接，由题意得，，所以， 因为是直径，是圆上的点，所以， 则在直角中，，. 所以. 故选：D. 4．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设出与的夹角为，根据平面向量内积的运算将已知等式进行化简求出即可得解. 【详解】设与的夹角为，则， 由，可得，即， 因为， 可得，故， 故选：. 5．已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】非零向量，，满足，且， 对于A，不恒为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，不恒为，故C错误； 对于D，不恒为，故D错误. 故选：B. 6．已知，则等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量模长公式，即可求解. 【详解】因为， 所以， 得到， 所以， . 故选：D. 7．，，，是与同向的单位向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据投影向量的公式计算. 【详解】由题意得：向量在向量上的投影向量是. 故选：A. 8．已知，且，则等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由向量内积的运算律即可得解. 【详解】∵， 且， ∴， 即，解得. 故选：B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．在边长为2的正三角形中， 【答案】 【分析】先求与的夹角，然后利用内积公式求内积即可. 【详解】因为为正三角形，所以， 即与的夹角为，则与的夹角为， 又因为正三角形边长为2， 则， 则； 故答案为：. 10．已知向量，满足，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】根据向量内积的运算律及夹角公式计算即可. 【详解】，， ，， ， 故答案为：. 11．已知单位向量的夹角为，与垂直，则 【答案】/ 【分析】先求解的值，再由向量垂直的条件求解即可. 【详解】由题意可得：， 因为与垂直，所以， 即，解得． 故答案为：． 12．已知，则= . 【答案】 【分析】利用公式及向量内积的运算律可求解. 【详解】由，可得， 即， 因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13．（本小题满分12分） 已知，且向量与的夹角为，求. 【答案】 【分析】直接由数量积的运算律以及数量积公式运算即可. 【详解】. 14．（本小题满分14分） 已知，． (1)若，求； (2)若，求； (3)若与垂直，求当k为何值时，？ 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由可知，两向量的夹角为或，利用向量内积的定义结合已知条件即可求解. （2）根据向量内积的运算律即可求解. （3）由向量垂直则内积为零结合已知条件列式即可求解. 【详解】（1）由可知，两向量的夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，； 所以，. （2）由题意可知， 若，则， 所以， 则. （3）由与垂直可得，即； 若，则， 即，得，解得， 所以当时，. 15．（本小题满分14分） 如图，在 中，，．点 在边 上，且． (1)，，求； (2)，恰为边上的高，求角； (3)，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据向量的加法几何性质，向量的内积，结合题意可得结论. （2）根据平面向量的共线定理，垂直关系的向量表示，结合题意可得结论. （3）平面向量的共线公式平方后，可得含与的方程，考虑的取值范围，即可得的取值范围. 【详解】（1）， ， ． （2）由得， ， 代入 ，展开，得 ，故 ． （3）由得， 平方：， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$