（新知预习）第五讲 绝对值（新课学习+4个高频考点讲练+优选真题培优练 共36题）小升初暑假衔接讲练-2025-2026学年人教版数学七年级上册

第五讲 绝对值 (新课学习+4个高频考点讲练+优选真题培优练 共36题) 讲义使用介绍 1 课程目标 1 新课学习 2 导图总结 4 知识梳理小结 4 高频考点讲练 4 考点讲练01:绝对值得几何意义 4 考点讲练02:求一个数的绝对值 5 考点讲练03:绝对值得非负性 6 考点讲练04:绝对值的其他应用 8 真题汇编 能力强化 10 同学你好!该份讲义用于暑假学习。预习人教版七年级上册内容,讲义从基础知识学习入手,包含新课学习(彩图版);知识汇总梳理;高频考点分类讲练;优选真题拔高练20题等四大部分。讲义排版精美,难度由浅入深,从生活实际内容学起,提升学习兴趣。考点划分详尽,题目优选近两年各地名校模拟题,真题等常考、易错类题型,解析版思路清晰,解题过程完整,技巧性强。讲义适合学生自学,教师备课使用!希望你暑假学得开心,过得愉快! (1)理解绝对值的概念及性质; (2)会求一个数的绝对值,能利用绝对值的性质解决问题. 目标解析: 对于目标(1),学生能结合数轴说出绝对值的几何意义,即点到原点的距离;通过对比数与绝对值的关系,归纳出绝对值的代数性质,理解正数、负数、0 的绝对值特点,掌握绝对值的非负性与相反数绝对值相等的性质. 对于目标(2),学生能快速求出一个数的绝对值;通过分析计算问题,运用绝对值的非负性质解绝对值方程;在实际场景中,能识别绝对值问题并转化求解. 【新知引入】 我们知道,互为相反数的两个数(除0以外)只有符号不同. 思考:互为相反数的两个数的相同部分在数轴上表示什么? 【知识讲解】 例如,10 和 -10 互为相反数,在数轴上分别用点 A,B 表示这两个数. 你发现了什么? 可以发现,点 A,B与原点的距离都是 10. 【归纳小结】 一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值,记作 |a|. 注意:这里的数a可以是正数、负数或0. 【知识讲解】 |10|=10,|-10|=10. 显然,|0|=0. 思考:0的绝对值是多少? 探究:一个数的绝对值与这个数有什么关系?借助数轴多取几个数试一试,看能不能发现规律. (1)|+2|=_2_, | | = _ ,|+2.5|=_2.5_; (2)| 0 | =_0_; (3)|-1|=_1_,|-2.5|=_2.5_,|-4|=_4_. 思考:存在一个数的绝对值为负数吗?因为距离不可能是负数,所以一个数的绝对值不会是负数. 【归纳小结】 1.绝对值的性质 一个正数的绝对值是它本身. 如果 a>0,那么|a|=a. 一个负数的绝对值是它的相反数. 如果 a<0,那么|a|=-a. 0的绝对值是0.如果 a=0,那么|a|=0. 2.绝对值具有非负性 任何一个数的绝对值总是正数或0.即对任意数a,总有| a | ≥ 0. 3. 求一个数的绝对值的方法 方法1:先判断数的符号,再依据 “正数的绝对值是本身,负数的绝对值是其相反数,0 的绝对值为 0” 求解. 方法2:通过绝对值的几何意义直接求解. 4. 绝对值得几何意义 一个数的绝对值越小,数轴上表示它的点离原点越近; 反过来,数轴上的点离原点越近,它所表示的数的绝对值越小. 绝对值 1. 定义:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值,记作. 2. 绝对值的判断:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.即如果0,那么;如果,那么;如果,那么. 3. 绝对值非负性的应用:根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0,则每一个非负数必为0”,即若,则且. 考点讲练01:绝对值得几何意义 【典例精讲】(24-25七年级上 内蒙古包头 期中)同学们都知道表示5与之差的绝对值,也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离,则对于任何有理数x,取最小值时,相应的x的值是 . 【演练1】(24-25七年级上 辽宁丹东 期末)下列说法:①有理数的绝对值一定比0大;②如果两个数相等,那么这两个数的绝对值一定相等;③如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等;④有理数绝对值越大,离原点越远.其中正确的有( ) A.2个 B.1个 C.3个 D.4个 【演练2】(24-25七年级上 福建泉州 期末)的几何意义:数轴上表示数a、数b的两点之间的距离,当时,的值均为定值,则t的最小值是 . 【演练3】(2022 湖南永州 二模)如,我们叫集合M,其中1,2,x叫做集合M的元素,集合中的元素具有确定性(如x必然存在),互异性(如,),无序性(即改变元素的顺序,集合不变).若集合,我们说.已知集合,集合,若,则的值是( ) A.2 B. C. D. 考点讲练02:求一个数的绝对值 【典例精讲】(23-24七年级上 四川南充 阶段练习)(1)画出数轴并把下列各数在数轴上表示出来 (2)把以上各数用“”连接起来. 【演练1】(24-25七年级上 广东深圳 期中)有一台功能特殊的计算器,对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算,其运算过程是:输入第一个整数,只显示不运算,接着再输入整数后则显示的结果.比如依次输入1,2,则输出的结果是;此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算.有下列说法: ①依次输入1,2,3,4,则最后输出的结果是2; ②若将2,3,6,9这4个整数任意地一个一个输入,全部输入完毕后显示的结果的最大值是8; ③若将1,2,3,…,2025这2025个整数任意地一个一个输入,全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025.以上说法正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【演练2】(24-25七年级上 广西崇左 期中)有理数,表示在数轴上得到点,,我们就把,叫做,的一维坐标,一般的称为点与点之间的距离.如表示与之差的绝对值,实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离. (1)_;数轴上与两数所对应的两点之间的距离表示为_ (2)试用数轴探究:当时,的值是_ (3)找出所有符合条件的整数,使得,这样的整数有_.(直接写出答案) (4)利用数轴求出的最小值.(直接写出答案即可) 【演练3】(22-23七年级上 江苏南京 阶段练习)图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了n层,将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状,这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为,如果图①-④中各有11层. (1)图①中共有_个圆圈: (2)我们自上而下,在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1,2,3,4,…,则最底层最左边圆图的数是_. (3)我们自上而下,在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数求图④所有圆圈中各数的绝对值之和. 考点讲练03:绝对值得非负性 【典例精讲】(24-25七年级上 河南商丘 期末)如图,数轴上,,三点对应的数分别为,,,且,满足,为线段的中点.动点,分别从点,同时出发匀速相向运动,点的速度为每秒个单位长度,点的速度为每秒个单位长度,点运动至点后,两点同时停止运动,设运动时间为秒. (1)填空: , , . (2)当时,求的长. (3)当时,直接写出的值. 【演练1】(24-25七年级上 全国 期末)如图,,是数轴上的两点,点表示的数是,点表示的数是,点表示的数是,且. (1)直接写出:_,_,线段中点对应的数为_; (2)点、分别从、出发同时向左匀速运动,的速度为个单位长度每秒,的速度为个单位长度每秒,设运动时间为秒,当时,求的值. 【演练2】(24-25七年级上 四川德阳 阶段练习)下列说法:①若,则x为负数;②若不是负数,则a为非正数;③;④若,,则.其中正确的结论有 .(填序号) 【演练3】(2024七年级上 全国 专题练习)已知,点A、B在数轴上对应的数为a、b,其满足,点O表示原点,M、N分别从O、B出发沿数轴同时向负方向匀速运动,M的速度为每秒1个单位长度,N的速度为每秒3个单位长度. (1)直接写出线段_,_; (2)设运动时间为t秒,当t为何值时,恰好有; (3)设点P为线段的中点,点Q为线段的中点,M、N在运动的过程中,的长度是否发生变化?若不变,说明理由并求出的值;若变化,当t为何值时,有最小值?并求出最小值. 考点讲练04:绝对值的其他应用 【典例精讲】(2023七年级上 四川眉山 竞赛)数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值,记作,数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作,如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为,表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离,表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离.根据以上材料回答下列问题: (1)①若,则_, ②,则的取值为_; (2)最小值为_; (3)求的最小值,并求出此时的取值范围. 【演练1】(24-25六年级上 上海浦东新 期中)阅读理解: 对于有理数a、b,的几何意义为:数轴上表示数a的点到原点的距离;的几何意义为:数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如:的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离,请根据你的理解解答下列问题: (1)我们知道,根据几何意义,若,那么x的值是 . (2)利用数轴分析的几何意义,的最小值是 . (3)的最小值是 . 【演练2】(24-25七年级上 湖南湘西 期中)陈英杰老师要求同学们,结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题: (1)探究: ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_; ②数轴上表示和的两点之间的距离是_; ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_; (2)归纳:一般的,数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_; (3)应用: ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是:表示有理数的点到表示数2的点和表示数_的点距离之和;利用几何意义,可求得的最小值为_; ②求的最小值. 【演练3】(24-25七年级上 湖北武汉 阶段练习)【定义新知】 我们知道:式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离,因此,若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,则A、B两点之间的距离.若点P表示的数为x,请根据数轴解决以下问题: (1)若,则x的值为_; (2)当取最小值时,x可以取正整数_;最大值为_; (3)当_时,的值最小,最小值为_; (4)如图,一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O,居民区A、B、C分别位于市民广场左侧,右侧,右侧.A小区有居民1000人,B居民区有居民2000人,C居民区有居民3000人.现因物流需要,需要在该公路上建菜鸟驿站,用于接收这3个小区的快递,若快递的运输成本为1元/(千份 千米),那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低,最低成本是多少? 1.(24-25七年级上 广西南宁 期中)如图,数轴上的点,,,分别表示有理数,,,,这四个数中,绝对值最小的数是( ) A. B. C. D. 2.(24-25七年级上 湖北宜昌 期中)的最小值是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 3.(24-25七年级上 浙江杭州 期末)一批零件,标准直径为,随机抽取4个样品进行检测,把测量结果超过标准直径的部分用正数表示,不足的部分用负数表示.结果如下表,则最接近标准直径的是( ) 零件编号 甲 乙 丙 丁 测量结果 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.(24-25七年级上 山东临沂 期末)在下列有理数中:,,,0,,,,负数的个数有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 5.(23-24七年级上 四川广元 期中)若,则的值不可能是( ) A. B. C. D. 6.(24-25七年级上 福建泉州 期末)有理数、、、在数轴上的位置如图所示,若,则、、、四个数中,绝对值最大的数是( ) A. B. C. D. 7.(24-25七年级上 广东广州 期中)若,则 . 8.(24-25七年级上 新疆和田 阶段练习)的相反数是 ,的绝对值是 ,绝对值是的数是 . 9.(24-25七年级上 山东潍坊 期中)水文站以警戒线为标准测量水库的水位,超过警戒线记为正,低于警戒线记为负,下表是一天五次的测量数据,其中第 次测量时水位离警戒线最近. 次序 1 2 3 4 5 水位(厘米) 16 8 10.(24-25七年级上 山东滨州 期末)a,b是有理数,它们在数轴上对应点的位置如图所示,把a,,b,按照从小到大的顺序排列为 . 11.(24-25七年级上 河南郑州 期末)请写一个绝对值小于2的整数 . 12.(24-25七年级上 贵州遵义 期末)在数轴上表示数a、b、c的结果如图所示,把、、按照由小到大的顺序排列,并用“<”连接 . 13.(24-25七年级上 四川成都 期末)数轴是一个非常重要的工具,揭示了数与点之间的内在联系,它是“数形结合”的基础:我们知道,它的几何意义是数轴上表示5的点与原点(即表示O的点)之间的距离,也就是说,在数轴上,如果点A表示的数记为a,点B表示的数记为b,则A、B两点间的距离就可记作.利用数形结合思想,当取得最小值时,写出此时所有整数值x为 . 14.(24-25七年级上 河北邯郸 期中)嘉淇在写作业的时候,不慎将一滴墨水滴在数轴上,根据如图所示的数据,则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有 个. 15.(24-25七年级上 安徽滁州 期中)下列结论:①若为有理数,则;②若,则;③若,则;④若,则,则其中正确的结论的是 (填序号). 16.(24-25七年级上 吉林长春 阶段练习)在数轴上表示下列各数,再用“”连接起来. ,,,, 17.(24-25七年级上 广西桂林 阶段练习)已知下列各有理数:,,,. (1)请在数轴上标出这些数表示的点; (2)用“”号把这些数连接起来. 18.(24-25七年级上 河南驻马店 期中)现有下列各数:①,②,③,④0,⑤,⑥. (1)把上列各数序号填入相应的大括号里: 负数集合:( ); 整数集合:( ); (2)请把下面不完整的数轴(图)补充完整,并在数轴上标出上列各数中的所有整数. 19.(24-25七年级上 福建漳州 期中)结合数轴与绝对值的知识回答下列问题: (1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_;数轴上表示和2两点之间的距离是_;一般地,数轴上表示数和数的两点之间的距离等于.如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于. (2)若数轴上的点表示的数,求的最小值; (3)若数轴上的点表示的数,当的最小值为10(为常数),求的值. 20.(24-25七年级上 湖北荆州 期中)阅读材料: 在学习绝对值时,根据绝对值的几何意义,我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离;,所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离;,所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地,点,在数轴上分别表示有理数,,那么,两点之间的距离可以表示为. 回答问题: (1)数轴上表示与的两点之间的距离是_;数轴上表示与的两点之间的距离是_; (2)若,求的值; (3)若,写出整数的值; (4)若代数式的最小值是,请直接写出的值. 第 1 页 共 16 页 学科网(北京)股份有限公司 $$ 第五讲 绝对值 （新课学习+4个高频考点讲练+优选真题培优练 共36题） 讲义使用介绍 1 课程目标 1 新课学习 2 导图总结 4 知识梳理小结 4 高频考点讲练 4 考点讲练01：绝对值得几何意义 4 考点讲练02：求一个数的绝对值 6 考点讲练03：绝对值得非负性 10 考点讲练04：绝对值的其他应用 15 真题汇编 能力强化 21 同学你好！该份讲义用于暑假学习。预习人教版七年级上册内容，讲义从基础知识学习入手，包含新课学习（彩图版）；知识汇总梳理；高频考点分类讲练；优选真题拔高练20题等四大部分。讲义排版精美，难度由浅入深，从生活实际内容学起，提升学习兴趣。考点划分详尽，题目优选近两年各地名校模拟题，真题等常考、易错类题型，解析版思路清晰，解题过程完整，技巧性强。讲义适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，过得愉快！ （1）理解绝对值的概念及性质； （2）会求一个数的绝对值，能利用绝对值的性质解决问题. 目标解析： 对于目标（1），学生能结合数轴说出绝对值的几何意义，即点到原点的距离；通过对比数与绝对值的关系，归纳出绝对值的代数性质，理解正数、负数、0 的绝对值特点，掌握绝对值的非负性与相反数绝对值相等的性质.​ 对于目标（2），学生能快速求出一个数的绝对值；通过分析计算问题，运用绝对值的非负性质解绝对值方程；在实际场景中，能识别绝对值问题并转化求解. 【新知引入】 我们知道，互为相反数的两个数(除0以外)只有符号不同. 思考：互为相反数的两个数的相同部分在数轴上表示什么? 【知识讲解】 例如，10 和 -10 互为相反数，在数轴上分别用点 A，B 表示这两个数. 你发现了什么？ 可以发现，点 A，B与原点的距离都是 10. 【归纳小结】 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作 |a|. 注意：这里的数a可以是正数、负数或0. 【知识讲解】 |10|=10，|－10|=10. 显然，|0|=0. 思考：0的绝对值是多少？ 探究：一个数的绝对值与这个数有什么关系？借助数轴多取几个数试一试，看能不能发现规律. （1）|＋2|＝___2___， | | ＝ ______ ，|＋2.5|＝___2.5___； （2）| 0 | ＝___0___； （3）|－1|＝___1___，|－2.5|＝___2.5___，|－4|＝___4___． 思考：存在一个数的绝对值为负数吗？因为距离不可能是负数，所以一个数的绝对值不会是负数. 【归纳小结】 1.绝对值的性质 一个正数的绝对值是它本身． 如果 a＞0，那么|a|＝a． 一个负数的绝对值是它的相反数． 如果 a＜0，那么|a|＝－a． 0的绝对值是0．如果 a＝0，那么|a|＝0． 2.绝对值具有非负性 任何一个数的绝对值总是正数或0．即对任意数a，总有| a | ≥ 0． 3. 求一个数的绝对值的方法 方法1：先判断数的符号，再依据 “正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数，0 的绝对值为 0” 求解. 方法2：通过绝对值的几何意义直接求解. 4. 绝对值得几何意义 一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近； 反过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小. 绝对值 1. 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作． 2. 绝对值的判断：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即如果0,那么；如果，那么；如果，那么． 3. 绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则且． 考点讲练01：绝对值得几何意义 【典例精讲】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查数轴和绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义．根据绝对值的几何意义求解； 【规范解答】， 由表示的含义可得： 当时，有最小值，最小值为， ， 当时，的最小值为， 当时，有最小值为， 故答案为：； 【演练1】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质进行判断即可，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【规范解答】解：①正数和负数的绝对值一定比0大，0的绝对值等于0，故①不符合题意； ②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意； ④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确，故④符合题意； 综上，符合题意的有②④，共个， 故选：A． 【演练2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离，当时，的值均为定值，则t的最小值是 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，得到当时，的值均为定值，这个定值是5，进行求解即可． 【规范解答】解：根据绝对值的几何意义，可知在数轴上，表示x与两点之间的距离，表示x与3两点之间的距离， 则表示x到的距离与x到3的距离的差， 当时，，这两个距离的差都是5， 当时，，这两个距离的差都是， 当时，，这两个距离的差是变化的，最大值是5，最小值是， 则当时，的值均为定值，这个定值是5，则t的最小值3， 故答案为：3． 【演练3】（2022·湖南永州·二模）如，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查绝对值，分类讨论是解题的关键．根据题意利用分类讨论的数学思想进行解决即可． 【规范解答】解：，且， 故， 则， 当时， 解得， 若，则，舍去； 当时， 则为非负数， ，满足要求． ． 故选B． 考点讲练02：求一个数的绝对值 【典例精讲】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）（1）画出数轴并把下列各数在数轴上表示出来 （2）把以上各数用“”连接起来． 【答案】（1）见详解（2）见详解 【思路引导】本题考查了数轴、有理数的大小比较，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． （1）先化简各数，然后根据正负数的定义在数轴上表示出来即可； （2）根据数轴上左边的数总比右边的数小即可得出结果． 【规范解答】解：（1），， 如下图所示： （2） 【演练1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】本题主要考查绝对值运算，①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；②根据运算规则，可以一次输入3，6，2，9，可得最大值是8；③根据运算规则，可每四个数输出结果为0，可得最大值为2025． 【规范解答】解：①根据题意可以得出：， 最后输出的结果是2，故①正确； ②对于2，3，6，9，可得：， 全部输入完毕后显示的结果的最大值是8，故②正确； ③依题意，分析可得先每四个数一组，使得输出结果为0， 可以依次输入1，3，4，2；5，7，8，6；9，11，12，10；⋯⋯2021，2023，2024，2022；2025， 根据运算规律可得结果的最大值是2025，故③正确； 所以说法正确的个数是3， 故选：D． 【演练2】（24-25七年级上·广西崇左·期中）有理数，表示在数轴上得到点，，我们就把，叫做，的一维坐标，一般的称为点与点之间的距离．如表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)______；数轴上与两数所对应的两点之间的距离表示为____________ (2)试用数轴探究：当时，的值是____________ (3)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________．（直接写出答案） (4)利用数轴求出的最小值．（直接写出答案即可） 【答案】(1)， (2)或 (3)，，，，，，， (4) 【思路引导】本题主要考查了求一个数的绝对值，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据绝对值的意义即可求出的值；然后利用数轴上两点之间的距离公式即可得出答案； （2）由数轴上两点之间的距离即可得解； （3）由题意可知，表示与和两个数所代表的点的距离之和等于的点所表示的数，由数轴可知，进而可得答案； （4）由题意可知，表示与和两个数所代表的点的距离之和，由数轴可知，当时，取得最小值，进而可求得其最小值． 【规范解答】（1）解：， 数轴上与两数所对应的两点之间的距离表示为， 故答案为：，； （2）解：， 或， 故答案为：或； （3）解：， 表示与和两个数所代表的点的距离之和等于的点所表示的数， 由数轴可知：， 这样的整数有：，，，，，，，， 故答案为：，，，，，，，； （4）解：， 它表示与和两个数所代表的点的距离之和， 由数轴可知：当时，取得最小值，其最小值为． 【演练3】（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为，如果图①-④中各有11层. (1)图①中共有___________个圆圈： (2)我们自上而下，在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边圆图的数是___________. (3)我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数求图④所有圆圈中各数的绝对值之和. 【答案】(1)66 (2)56 (3)1179 【思路引导】（1）计算第11层小圆圈的个数，就是计算1加到11的数的和； （2）首先计算10层圆圈的个数，可得第11层第1个数； （3）首先计算圆圈的个数，把所有数的绝对值相加即可． 【规范解答】（1）解：当小圆圈有11层时，共有：1+2+3+…+11==66个圆圈； 故答案为：66； （2）当有10层时，共有：1+2+3+…+10==55个圆圈 则第11层最左边圆图的数是56， 故答案为：56； （3）当小圆圈有11层时，共有66个圆圈，故圆圈里的数为，其中23个负数，1个0，42个正数， ∴图④所有圆圈中各数的绝对值之和： = = =1179 【考点剖析】此题主要考查了图形的变化类，解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 考点讲练03：绝对值得非负性 【典例精讲】（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴上，，三点对应的数分别为，，，且，满足，为线段的中点．动点，分别从点，同时出发匀速相向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，点运动至点后，两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)填空： ， ， ． (2)当时，求的长． (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)的长为或 (3)或 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离公式，非负数的性质，掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出，，再根据为线段的中点可求出； （2）由题意可得：，，得到点表示的数为，点表示的数为，进而得到，，根据求出，即可求解； （3）由（2）知，点表示的数为，点表示的数为，得到，，最后根据，列方程即可求解． 【规范解答】（1）解： ， ，， 解得：，， 为线段的中点， ， 故答案为：，，； （2）由题意可得：，， 点表示的数为，点表示的数为， ，， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， 的长为或； （3）由（2）知，点表示的数为，点表示的数为， ，， ， ， 解得：或． 【演练1】（24-25七年级上·全国·期末）如图，，是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，且． (1)直接写出：_____，_____，线段中点对应的数为______； (2)点、分别从、出发同时向左匀速运动，的速度为个单位长度每秒，的速度为个单位长度每秒，设运动时间为秒，当时，求的值． 【答案】(1)，， (2)或 【思路引导】本题主要考查了数轴的相关知识，涉及绝对值的定义、数轴上两点间的距离公式，根据数轴上的点表示出点与点之间的距离是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的值非负可求出，，再根据中点的性质即可求解； （2）先求出，，根据题意有：，，即有，分当点在点的左侧时，和当点在点的左侧时，两种情况讨论，即可作答． 【规范解答】（1）解： ， ，， ，， ，， 线段中点对应的数， 故答案为：，，； （2）点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，且，， ，， 根据题意有：，， ， 分情况讨论： 当点在点的左侧时，， ， ， 解得：； 当点在点的左侧时，， ， ， 解得：， 综上：的值为或． 【演练2】（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）下列说法：①若，则x为负数；②若不是负数，则a为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【思路引导】本题考查绝对值的性质；理解绝对值的性质是解题的关键． 依据题意，根据绝对值的性质逐个分析判断可以得解． 【规范解答】解：若， ∴， ∴， ∴①的说法错误； 若不是负数， ∴． ∴，即a为非正数； ∴②的说法正确； ∵，， ∴， ∴③的说法正确； 若，， ∴． ∴． ∴④的说法正确． 综上所述：正确的结论有②③④． 【演练3】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，点A、B在数轴上对应的数为a、b，其满足，点O表示原点，M、N分别从O、B出发沿数轴同时向负方向匀速运动，M的速度为每秒1个单位长度，N的速度为每秒3个单位长度． (1)直接写出线段___________，___________； (2)设运动时间为t秒，当t为何值时，恰好有； (3)设点P为线段的中点，点Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，说明理由并求出的值；若变化，当t为何值时，有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)8，12 (2)t为4或7.2 (3)当秒时，最小值为10 【思路引导】本题主要考查了数轴上动点．熟练掌握非负数性质，数轴上动点对应的数，数轴上两点间的距离，是解答本题的关键． （1）用非负性可求a，b的值； （2）由线段关系列出方程，可求解； （3）分别求出点P和点Q表示的数，则，所以随着t的变化而变化，利用绝对值的性质化简，可求解． 【规范解答】（1）解：∵，且，， ∴，． ∴． ∴． ∴． 故答案为：8，12． （2）解：∵， ∴． 即． ∴． 当时，； 当时，． 答：当t为4秒或7.2秒时，恰好有． （3）解：的长度发生变化，理由如下： ∵点P为线段的中点，点Q为线段的中点， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为． ∴． 则随着t的变化而变化． ∴当时． 当时，， ∴． 当时，． 故当秒时，有最小值，最小值为10． 考点讲练04：绝对值的其他应用 【典例精讲】（2023七年级上·四川眉山·竞赛）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【答案】(1)①5或；② (2)4 (3)15，当时其和取得最小值 【思路引导】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． （1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； ②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当时其和取得最小值，即可解题． 【规范解答】（1）解：①表示数轴上表示x的点到的距离为3， 或， 解得或， 故答案为：5或． ②，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 故答案为：． （2）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和， ，当时取得最小值4， ，当时为0， 当时，取得最小值， 其最小值为：， 故答案为：； （3）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离之和， 相当于有个分段点， 第8个分段点是2023， 当时其和取得最小值， 即． 【演练1】（24-25六年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 【答案】(1)1或 (2)5 (3)169 【思路引导】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据绝对值的几何意义即可求解； （3）根据绝对值的几何意义即可求解． 本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键． 【规范解答】（1）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 若，向右3个单位是1，向左三个单位是， 故答案为：1或； （2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离之和， 当时，的最小值是为， 故答案为：5； （3）解：∵表示x到，0，1，2，3，…24的点的距离的和， ∴当，最小， 最小值为， 故答案为：169． 【演练2】（24-25七年级上·湖南湘西·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______； (3)应用： ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得的最小值为_______； ②求的最小值． 【答案】(1)故答案为：①3，②3，③7； (2) (3)①，3；②1025156 【思路引导】本题考查了数轴、绝对值的有关知识，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系是解题的关键． （1）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （2）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （3）根据题意可知，当为1至2025中间的那个数时，原式取得最小值，由此可得答案． 【规范解答】（1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是； ②数轴上表示和的两点之间的距离是； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是， 故答案为：①3，②3，③7； （2）：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数的点距离之和； 利用几何意义，当数在左侧时， ， 当数在2右侧时， ， 当数在和2之间时， ， 的最小值为3． 故答案为：，3； ②表示数到1，2，3…2025的距离的和，由①受到启发，当为1至2025中间的那个数， 即时，原式取得最小值，且最小值为： ． 【演练3】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)1或 (2)，，，0，1；4 (3)，7； (4)菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【思路引导】（1），根据题意即可得其值； （2）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （3）的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， （4）列出式子，求其最小值即可． 本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， ∵ ∴当在的左边时，则； ∴当在的右边时，则； 则的值为：1或； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，1或； （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当取最小值时，则在和1之间， 当时，即当可以取整数，，，0，1； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当在的左边时，则， ∴最大值为4； 故答案为：，，，0，1；4． （3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7； 故答案为：，7； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本12（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图，数轴上的点，，，分别表示有理数，，，，这四个数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴和绝对值的意义，根据数轴确定对应位置点的绝对值是解题的关键． 数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值，先根据点在数轴上的位置确定其绝对值，然后求出最小的即可． 【规范解答】解：∵数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值， ∴由数轴可得四个数中，点离原点最近， ∴这四个数中，绝对值最小的数是， 故选：． 2．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【思路引导】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义．利用绝对值的定义解答． 【规范解答】解：根据绝对值的意义可知，只有当时，有最小值， 最小值为． 故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）一批零件，标准直径为，随机抽取4个样品进行检测，把测量结果超过标准直径的部分用正数表示，不足的部分用负数表示．结果如下表，则最接近标准直径的是（    ） 零件编号 甲 乙 丙 丁 测量结果 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【思路引导】本题考查的是正负数的实际应用，绝对值的实际应用，本题先求解各数的绝对值后，再比较绝对值的大小即可求得答案． 【规范解答】解：依题意，， ∵， ∴最接近标准直径的是丙， 故选：C． 4．（24-25七年级上·山东临沂·期末）在下列有理数中：，，，0，，，，负数的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数的分类，化简多重符号，去绝对值，根据小于0的数为负数进行判断即可． 【规范解答】解：在，，，0，，，中，负数有，，，，共4个； 故选B． 5．（23-24七年级上·四川广元·期中）若，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了化简绝对值，分别讨论中正数和负数的个数，再去绝对值计算，判断的符号是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴若都为正数，则， 则， 若中个为正，个为负，不妨设，则， 则， 若中个为正，个为负，不妨设，则， 则， 若都为负数，则， 则， ∴的值可能是或或， 故选：． 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了相反数和绝对值．由得到与互为相反数，从而利用相反数的定义得出原点位置，进而结合绝对值的性质得出答案． 【规范解答】解： ， 与互为相反数， 原点在，中间位置， 距离原点最远， 、、、三个数中绝对值最大的数是． 故选：D 7．（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）的相反数是 ，的绝对值是 ，绝对值是的数是 ． 【答案】 或 【思路引导】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值等于它的相反数，据此进行逐个分析，即可作答． 【规范解答】解：的相反数是，的绝对值是，绝对值是的数是或， 故答案为：，，或 9．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 【答案】3 【思路引导】本题考查了正数和负数，利用了绝对值的意义，绝对值越小越接近标准．根据绝对值的意义，可得答案． 【规范解答】解：， 绝对值越小越接近警戒水位，即其中第3次测量时水位离警戒线最近． 故答案为：3． 10．（24-25七年级上·山东滨州·期末）a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查利用数轴比较有理数的大小，由数轴可得，，，即可求解． 【规范解答】解：由数轴可得，，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·河南郑州·期末）请写一个绝对值小于2的整数 ． 【答案】0（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查了有理数的大小比较和绝对值，先求出所有绝对值小于2的整数，然后写出其中的一个即可． 【规范解答】解：∵的绝对值小于2，且是整数， ∴绝对值小于2的整数是， 故答案为：0（答案不唯一）． 12．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）在数轴上表示数a、b、c的结果如图所示，把、、按照由小到大的顺序排列，并用“<”连接 ． 【答案】 【思路引导】本题考查绝对值，根据数轴上点的位置，绝对值的意义解题即可． 【规范解答】解：∵，且靠近，且远离， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·四川成都·期末）数轴是一个非常重要的工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示5的点与原点（即表示O的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想，当取得最小值时，写出此时所有整数值x为 ． 【答案】1，2，3，4 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 根据绝对值的几何意义解答即可． 【规范解答】解：∵表示数轴上x与1之间的距离，表示数轴上x与4之间的距离， ∴时，表示数x的点到表示数1和4的点之间的距离最小， ∴整数x为1，2，3，4， 故答案为：1，2，3，4 14．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有 个． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴与绝对值的意义，根据题意先求得出和之间的整数，再求绝对值大于并且小于等于的整数即可求解． 【规范解答】解：根据图中数据，可得墨迹盖住的整数是：，，，，． 其中满足绝对值大于并且小于等于的整数有，，共2个， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【答案】② 【思路引导】此题主要考查了有理数的运算，非负数的性质和绝对值的意义，理解绝对值的意义，非负数的性质，熟练掌握有理数的运算是解决问题的关键． 根据为有理数得，由此可对该结论进行判断； 根据非负数的性质得，，则，由此可对该结论进行判断； 根据得，当时，，当时，没有意义，由此可对该结论进行判断； 根据得：（Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负，则，(Ⅱ)当、、都是负数时，则，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【规范解答】解：①∵为有理数， ∴， 故结论①不正确； ②∵，，， ∴，， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴当时，，当时，没有意义， 故结论③不正确； ④∵， ∴有以下两种情况， （Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负， ∴，，， ∴； (Ⅱ)当、、都是负数时，则，，， ∴， 故结论④不正确； 故答案为：②； 16．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，， 【答案】作图见解析， 【思路引导】本题考查用数轴上的点表示有理数，有理数的大小比较，首先将各个数化简，然后在数轴上确定各数的位置，再根据“在数轴上表示的数，左边的总比右边的小”，最后用“＜”号把它们连接起来．解题的关键是正确确定各数位置． 【规范解答】解：∵，， 则在数轴上表示各数如图所示： 用“”连接起来如下： ． 17．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）已知下列各有理数：，，，． (1)请在数轴上标出这些数表示的点； (2)用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1)在数轴上标出见解析； (2)． 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，数轴的应用，解题的关键是求出各个数的大小和在数轴上把各个数表示出来，注意：在数轴上右边的数总比左边的数大． （）先化简，再在数轴上确定表示各数的点的位置，然后在数轴上表示即可； （）右边的数总比左边的数大用“”连接起来即可． 【规范解答】（1）解：，， 在数轴上标出这些数如图， （2）解：由右边的数总比左边的数大， ∴． 18．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）现有下列各数：①，②，③，④0，⑤，⑥． (1)把上列各数序号填入相应的大括号里： 负数集合：{____________…}； 整数集合：{____________…}． (2)请把下面不完整的数轴（图）补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数． 【答案】(1)①②⑤；①④⑥ (2)见解析 【思路引导】本题考查了有理数的分类，画数轴并在数轴上表示有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． （1）根据有理数的分类方法解答即可； （2）补充数轴，然后标出所有的整数，即可求解． 【规范解答】（1）解：①，②，③，④0，⑤，⑥． 负数集合：{①②⑤…}； 整数集合：{①④⑥…}． 故答案为：①②⑤；①④⑥． （2）解：如图所示． 19．（24-25七年级上·福建漳州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_______；数轴上表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于． (2)若数轴上的点表示的数，求的最小值； (3)若数轴上的点表示的数，当的最小值为10（为常数），求的值． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【思路引导】本题考查了绝对值在数轴上的应用，关键判断正负去掉绝对值符号． （1）直接用两数相减的绝对值求出两点的距离； （2）根据a的大小判断出绝对值符号里面结果的正负，再去掉绝对值符号求值； （3）根据a的取值范围结合数轴解答即可． 【规范解答】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是， 数轴上表示和2两点之间的距离是； （2）解：当数轴上表示数的点位于表示数与2两点之间时（包括这两点），的值为6； 当数轴上表示数的点在表示数2的点的右边时，的值大于6； 当数轴上表示数的点在表示数的点的左边时，的值大于6； 所以的最小值为6； （3）解：当时，的最小值为6，不合题意，舍去； 当时，要使的最小值为10，结合数轴可得； 当时，要使的最小值为10，结合数轴可得； 综上所述或． 20．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 【答案】(1)，（写成也可） (2)或 (3)，，，，， (4)或 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的意义． 根据题干中提供的两点之间的距离公式计算即可； 根据绝对值的定义可得，解方程即可得到的值； 根据绝对值表示的意义分当、、时三段分别求解； 根据绝对值表示的意义可知数式表示到和的距离之和，所以可知当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间且和的距离是，可得，根据绝对值的意义解方程求出． 【规范解答】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； 数轴上表示与的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）解：， ， 或， 或； （3）解：当时， ， ， 整理得：， 解得：， ， 不在取值范围之内，故不符合题意； 当时， 可得：， 整理得：， 即当时，恒成立， 在之间的整数有、、、、、； 当时，， 解得：，不在取值范围之内，故不符合题意； （4）解：代数式表示到和的距离之和， 当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间，且和的距离是， 即， ， 解得：或． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$