第七章 1 随机现象与随机事件-2 古典概型 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019)

§1-§2阶段综合 黑题阶段强化 限时：45min 1.(2024·陕西西安高一期末)有一个游5.如图是一个古典概型的样本空间2和随 戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点 机事件A,B,其中n(2)=30,n(A)=15, 随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方 n(B)=10,n(AUB)=20.则P(AB)=() 向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是 A.互斥但非对立事件B.对立事件 C.非互斥事件 D.以上都不对 2.(2025·北京西城区高一期末)已知a< A. b<0,从四个不等式①a2<b2,②a2<ab,③+ 6.一个三位自然数百位、十位、个位上的数 名2③总公中任选2个，事件~所选2个不 字依次为a,b,c,当且仅当有两个数字的和等 于第三个数字时称为“有缘数”（如213,134 等式都不成立”的概率是 ( 等)，若a,b,c∈1,2,3,4}，且a,b,c互不相 c. D. 6 同，则这个三位数为“有缘数”的概 3.某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌， 率是 从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜 7.(2025·辽宁沈阳高一期末)算盘是我国 色，则所选颜色中含有白色的概率是 古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工 具，现有一把初始状态的算盘如图所示，自右 4.七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代 向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上 劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元 面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子 前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在 (简称下珠)代表1，五粒下珠表示的数的大小 民间广泛流传.某同学用边长为4dm的正方 等于同组一粒上珠表示的数的大小例如，个 形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括 位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上， 5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行 四边形.若该同学从5个三角形中任取出3个， 表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千 则这3个三角形的面积之和不大于另外2个 位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件M= 三角形面积之和的概率是 ( “表示的四位数能被3整除”，N=“表示的四 位数能被5整除”，则P(MUN)+ P(MN)= A D. 10 5 10 必修第一册+BS黑白题140 8.”某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新9.#在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽 生都踊跃报名加入.现已知高一某班60名同 奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分 学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社， 别写有0,1,2.3的数字，小球除数字外其他完 在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学 全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一 校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学 个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒 校现从这6名同学中随机选取2名同学代表 子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放 社团参加校际交流（每名同学被选到的可能 回抽奖活动的奖励规则是：①若取出的两个 性相同) 小球上数字之积大于4，则奖励飞机玩具一 (1)在该班随机选取1名同学，求该同学参加 个：②若取出的两个小球上数字之积在区间 摄影社的概率： [1,4]内，则奖励汽车玩具一个：③若取出的 (2)求从这6名同学中选出的2名同学代表至 两个小球上数字之积小于1，则奖励饮料一瓶 少有1名女同学的概率； (1)求每对亲子获得飞机玩具的概率 (3)求从这6名同学中选出的2名同学代表来 (2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮 自不同的初中学校的概率 料的概率，哪个更大？请说明理由。 压轴挑战 ”学生甲、乙之间进行一场数字游戏，老师 在黑板上写出2,3,4，…，2024共2023个正整 数，然后老师随意擦去一个数，接下来由乙、甲 两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中 个数，然后甲再擦去一个数)，如此下去，若最 后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲 胜：否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规 则，甲获胜的概率是 1011 1012 A B. 2023 2023 C. 1013 1014 D. 2023 2023 第七章黑白题141则P(GC),放B错误：P(BUC)=P(B)+P(C)=号 9 42故C正确放透ACn 17 5 解析：由题设，事件A的样本点有11,3,5引，事件B的样 本点为14，而抛掷一次的所有样本点有11,2,34,5,6.所 以P(A)= G2P(B)=石则P(AUB)=P()+P)= 31 号故答案为号 6.C解析：设天气顶报准确的概率为P,则错误的概率是1-p, 由题p=3(1-p)→p=0.75,那么在一次预报中，准确的概率 是0.75.故选C. 7.C解析：依题意，目标受损但未击毁的概率是1-0.3-0.2= 0.5.故选C 11 8.5 解析：因为事件A,B互斥，它们都不发生的概率为了 所6)+)=1-P(=1-}号又因为P(4) 3 2P(B),所以P(B)=S,所以P(A)=P(AB)+P(B)=S+中 后书做答案为 15 9.解：(1)记“射击一次，命中9环或10环”为事件A,由互斥事 件概率的加法公式得P(A)=0.32+0.28=0.6. (2)记“射击一次，至少命中8环“为事件B,由互斥事件概 率的加法公式得P(B)=0.18+0.28+0.32=0.78. (3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B:“射击一 次，至少命中8环”的对立事件，即B表示事件“射击一次， 命中不足8环“，根据对立事件的概率公式得P(B)=1- P(B)=1-0.78=0.22 黑题应用提优 1.D解析：因为B与C互为对立，且P(C)=0.4,所以P(B)= 1-P(C)=0.6.又因为A与B互斥，所以P(AUB)=P(A)+ P(B)=0.7.故选D. 2.C解析：设摸出红球的概率为P(A),摸出白球的概率为 P(B),摸出黑球的概率为P(C),所以P(A)+P(B)=0.56, P(A)+P(C)=0.68,且P(A)+P(B)+P(C)=1.所以P(C)= 1-P(A)-P(B)=0.44,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.32,所以 P(B)+P(C)=0.76,即摸出的球是白球或黑球的概率为 0.76.故选C 3.ACD解析：选项A,依题得，P(d)=2,P(M)=2 P(4)=令A正确：选项BA,nA=②，AUA,≠0，所以4 与A1不对立，B错误：选项C,A,={5.6,7,8,A2=14,6,7,81, 3 则A4=6,7,81,则P(4有)=8，C正确：选项D, A2门4=0，所以A与A1互斥，所以P(A2U4)=P(42)+ P(A,),D正确.故选ACD. 4.C解析：由于事件A,B,C不一定两两互斥，所以P(AUB)= PA)+PB)-P(AB)≤名+；05，P(BUC)=P(B) 必修第一册·BS PrO-P(C)≤号+分名，且P(4UBUG)≤1，所以 AUBUC不一定是必然事件，无法判断AUB与C是不是互 斥事件，所以A,B,D中说法错误.故选C 5.0.58解析：记事件A表示“质量小于2.45g”,事件B表示 “质量大于2.50g”,事件C表示“质量在2.45g~2.50g范围 内”，则A,B,C两两互斥，且AUBUC是必然事件，故C 与AUB对立.所以P(C)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)= 0.58.故答案为0.58. 6.解：(1)从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事 件A,B,C.因为A,B,C为两两互斥事件，由已知得 P(A)+P(B)+P(C)=1, P(A=2 1 P(A)+PB)=4 3 解得P(B)=4心盒中红球，黄 P(B)+P(C)=2 1 P(C)=4' 球、蓝球的个数分别是2,1,1. (2)①由(1)知红球，黄球，蓝球个数分别为2,1,1，用1,2表 示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，m表示第一次取出的 球，n表示第二次取出的球，(m,n)表示试验的样本点，则样 本空间2=(1,1)，(1,2)，(1，a),(1.b),(2,1),(2,2), (2.a).(2,b),(a,1).(a.2).(a,a),(a,b),(b.1),(b.2), (b,a),(6,b). ②不公平理由：由①得n(2)=16,记“取到两个球颜色相 同”为事件M,“取到两个球颜色不相同”为事件N,则 n(M)=6.所以P(M)= 68,所以P(N)=1-P(W)=1 63 3.5因为。>≥？，所以此游戏不公平 88 98>8 压轴挑战 12 解析：记“一号列车准点到站”为事件M,“二号列车准点 到站“为事件N,则P(0=号P()=子P(w)=分由 P:)=PM+P-PM.放PW)=立由P(M0 P(MN)+P(M),得P(N)=,放P(AUB)=P(MN+ MN)=P(M N)+P(MN)=P(M)P(N)=P(MN)+ P(MM,掷3.1 4”4 P(),故P(N)=,则P(AUB) 立P(WV品故答案为品 §1-§2f 阶段综合 黑题 阶段强化 1.A解析：因为甲，乙，丙、丁四个人从同一地点随机地向东」 南、西、北四个方向前进，每个方向一人，所以事件“甲向南” 与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，故事件 “甲向南”与事件“乙向南”是互斥但非对立事件故选A 2.B解析：取a=-4,b=-3,得a2>b2,放①错误：因为a<b<0, 所以两边同时乘a,得心>a山，故②错误：因为4b<0,则之， 黑白题080 0,所以+6≥2√a·6 ab 心.口=2，当且仅当a=6时取等号， 显然等号无法取得，故③正确：因为a<b<0,所以。<1<分， 放④错误.故四个命题中有一个是正确的，从四个不等式中 任选2个的所有可能结果为①②，①3.①④，②23.②④，3 ④，共有6种可能的结果，设事件“所选2个不等式都不成 立”为事件A,则事件A包含的样本点有①②，①④.②④. 有3种可能结果，因此P以)=名号放法B 3.B解析：从黄，白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有 样本点有1黄白，黄蓝，黄红}，白蓝}，白红 1蓝红，共6种.其中包含白色的有3种，所以所选颜色中含 有白色的概率为了故选B 4.C解析：五个等腰直角三角形的而积由大到小分别为1号 板4dm2,2号板4dm2,3号板2dm2,4号板1dm2,5号板 1dm2,从5个三角形中任取出3个，其样本空间2=(1,2,3). (1,24),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4), (2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)1,共10个样本点，其中3个三 角形的面积之和不大于另外2个三角形而积之和的取法有 (1.4.5).(2.4,5),(3,4.5).三种取法，故若该同学从5个 三角形中任取出3个，则这3个三角形的而积之和不大于另 外2个三角形面积之和的概率是0放选C 5.B解析：n(2)=30.n(A)=15,n(B)=10,n(AUB)=20,则 n(AB)=30-20=10,则P(AB)==30=3放进B. 解析：由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231. 312.321,共6个：同理，由1,2.4组成的三位自然数有6个： 由1,3,4组成的三位自然数也是6个：由2,3,4组成的三位 白然数也是6个.所以共有6+6+6+6=24（个）.由1.2.3组成 的三位自然数，共6个“有缘数”.由1,3.4组成的三位自然 数，共6个“有缘数”，所以三位数为“有缘数”的概率P= 242故答案为 121 ,解析：因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1 或5.因为个位、十位、百位，千位分别随机拨动一粒珠子至梁 上，所以所得的四位数的个数为2=16，能被3整除的四位 数，数字1和5各出现2个，这样的四位数有1155,1515， 51.551,55.5151.共6个，所以P(W)=6g能 5整除的四位数，个位数为5，则这样的四位数为1115 1155.1515.1555.5555.5115.5155.5515.共8个.所以 P(N)=8、1 Fi62,所以P(UN)+P(MN)=P(M)+P()= 3+故答案为7 828 81 8.解：(1)依题意，该班60名同学中共有6名同学参加摄影社 所以在该班随机选取1名同学，该同学参加摄影社的概率为 61 6010 (2)设A,B,C,D表示参加摄影社的男同学，a,b表示参加摄 参考答案 影社的女同学，则从6名同学中选出2名同学代表共有15种 等可能的结果：AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,B劭，CD,Ca, Cb,Da,Db,b,其中至少有1名女同学的结果有9种： Aa,Ab,Ba,B弘，Ca.Cb,Da,Db,ah.根据古典概型概率计算公 式，从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的 概率为P93 155 (3)用e.f表示来自同一所初中学校的2名同学.用1.2,3.4 表示其余4名来自其他4所不同的初中学校的同学.从6名 同学中选出2名，有12,13,14,1e,,23,24,2e,2,34,3e,3, 4e,4,,共15种不同情况，其中2名同学代表来自不同的初 中学校有12,13,14,1e,1f,23,24,2e,2f,34,3e,3f,4e,4f.共 14种情况，所以从这6名同学中选出的2名同学代表来自 不同的初中学校的概率P=14 15 9.解：(1)基本事件总数有16个，分别为(0,0)，(01)，(0,2)， (0.3).(1.0).(1,1).(1.2).(1.3),(2.0).(2.1).(2.2) (2.3).(3,0).(3,1),(3,2),(3.3),记“获得飞机玩其"为 事件A,则事件A包含的基本事件有3个，分别为(2,3)： (3,2),(3,3)每对亲子获得飞机玩具的概率P(A)= 16 (2)获得饮料的概率更大理由：记“获得汽车玩具”为事件 B,“获得饮料”为事件C,事件B包含的基木事件有6个，分 别为(1,1)，(1,2)，(1.3)，(21)，(2.2)，(3,1)每对 子孩得汽车玩具的概水户()=。。，每对素子我得饮料 737 的概率P(C)=1-P(4)-P(B)=168<16每对亲子获 得汽车玩其的概率小于获得饮料的概率 压轴挑战 B解析：甲、乙获胜的关键是要看老师擦去哪个数，注意2,3， 4,…,2024中有1011个奇数.1012个偶数 ①若老师擦去的是奇数，则乙一定获胜理由如下：乙不管甲擦 去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一 定都是偶数，从而所剩两数不互质，故乙胜 ②若老师擦去的是偶数，则甲一定获胜理由如下：设老师擦去 的是2m,则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相 邻两数组成：(2,3)，(4,5)，…，(2m-2,2m-1)(2m+1, 2m+2),…,(2023,2024).这样不管乙擦去什么数，甲只要擦 去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质， 故甲必获胜.甲获胜的概率为}02放选B 2023 §3频率与概率 白 基础过关 1,AC解析：根据频率和概率的定义易得AC正确：对于B,因 为概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，所以不能说 频率就是概率，故B错误：对于D,任意事件A发生的概率 P(A)总满足0≤P(A)≤1，故D错误故选AC. 2.B解析：某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验， 发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率为 560 =0.56,由于每次抛硬币时，正而朝上和反面朝上的机 1000 会相等，都是)，放出现正面朝上的概率为=Q5故选R 黑白题081