第七章 2.1 古典概型的概率计算公式-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019)

§2古典概型 2.1 古典概型的概率计算公式 白题 基础过关 限时：15min 题组1古典概型的特征 4.(2025·广东佛山高二月考)某公园有 1.·下列关于古典概型的说法中正确的是 东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小 ( 明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后， ①试验中所有可能出现的样本点只有有限个； 他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰 ②每个事件出现的可能性相等： 好从同一个大门出去的概率是 ③每个样本点出现的可能性相等： ④样本点的总数为n,随机事件A若包含k个 D.2 样本点，则P(A)= 5.(2025·辽宁沈阳高一期末)从2,4,8中 n 任取两个不同的数，分别记作a,b,则使log,b A.②④ B.③④ 为整数的概率是 ( ) C.①④ D.①③④ 2.(多选)(2024·河南南阳高一期末)下列 情境适合用古典概型来描述的是 ( ) 6.(2024·江西上饶高一期末)从分别写有 A.向一条线段内随机地投射一个点，观察点 1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后 落在线段上的不同位置 再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数 B.五个人站一排，观察甲、乙两人相邻的情况 大于第二张卡片上的数的概率为 C.从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随 机选取1张，这张牌是红色牌 4.、1 8 3 0、 D.某同学随机地向靶心进行射击，这一试验 7.(2024·陕西渭南高一期末)如图，一个 的结果只有有限个：命中10环，命中9环， 转盘被等分成9个扇形，转动该转盘，则箭头 命中1环和脱靶 指向36的约数的概率为 题组2古典概型的概率 3.■(2025·广东广州高二月考)中国古代数 学著作主要有《周髀算经》、《九章算术》、《海 岛算经》、《四元玉鉴》、《张邱建算经》，若从上 述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算 8.*现有四根长度分别为3,4,7,9的木棒，任 术》的概率为 ( 取其中三根，首尾相连后，能组成三角形的概 A.3 10 B. C. D. 率为 必修第一册·BS黑白题136 黑题 应用提优 限时：25min 1,*(多选)掷两枚质地均匀的硬币，若记出6.#(2025·辽宁锦州高一期末)为了激发学 现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概 生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中 率分别为P,P,P,则下列正确的是( 学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未 A.P,=P2=P3 B.P+P2=P 来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生 C.P+P2+P3=1 D.P1+P2+2P3=1 需要从3个趣味项目（跳绳、踢毽子、篮球投 2.(2024·江西上饶高一期末)若连续抛两 篮)和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取 次骰子得到的点数分别是m,n,则点P(m,n) 2个项目进行比赛 在函数y=-x+8图象上的概率是 (1)求抽取的2个项目都是趣味项目的概率： (2)若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个， B.o b. 6 求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的 3.(2024·辽宁沈阳高一月考)在素数研究 概率 中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想 的一个弱化形式，李生素数是指相差为2的素 数对，例如3和5,11和13等.从不超过10 的正奇数中随机抽取2个，则这2个奇数是孪 生素数的概率为 ( 0.3 4.设甲、乙两个袋子中装有若干个质地均 匀、大小相同的白球和红球，且甲、乙两个袋子 中的球的个数比为1：3.已知从甲袋中摸到红 压轴挑战 球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装 “(2025·湖北宜昌高二期中)九宫格数独 在一起后，从中摸到红球的概率为 2 则从乙 游戏是一种训练推理能力的数字迷题游戏.九 宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小 袋中摸到红球的概率为 ( 明需要在9个小格子中填上1~9中不重复的 B.ag 0 22 整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中 30 的准确数字，a,b,c,d,e这5个数字未知，且b, 5.#(2025·江西宜春宜丰中学高一月考)某 d为偶数，则c+d>8的概率为 企业为了推广一种新饮料，开展了有奖促销 活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放 置2罐能够中奖的饮料，则从一箱中随机抽 出2罐饮料，恰好一罐中奖另一罐不中奖的概 率为 第七章黑白题137AnB为甲，乙都不中奖，C为甲，乙中至少有一人中奖，AnB 与C不可能同时发生，且(A∩B)UC为必然事件，即A∩B 与C为对立事件，则D正确，故选CD 7.解：(1)是互斥事件，不是对立事件 理由：从40张扑克牌中.任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽 出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能 保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者 “悔花”，因此，二者不是对立事件 (2)既是互斥事件，又是对立事件 理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与 “抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个 发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件 (3)既不是互斥事件，也不是对立事件 理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出的牌点数为5 的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发 生，如抽得种点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可 能是对立事件 黑题 应用提优 1.C解析：从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验 的样本空间2=1(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4) (3,4),其中事件A包含的样本点有(1,4)，(2,3).(2.4) (3,4)共4个.事件B包含的样本点有(1,3)，(2,4)共2个 所以事件A+B包含的样本点有(1,3)，(1,4)，(2,3) (2,4),(3,4)共5个：事件AB包含的样本点有(2,4)共1个 故选C 2.D解析：，A,B是对立事件，则A,B也是对立事件，，.A+ B,A+B是必然事件，A与B一定互斥，故A,B,C正确.而A,B 可能有不可能事件，故D错误.故选D. 3.D解析：由已知可得A二C,又因为A二B,BCC,如图事 件A,B.C用集合表示： 则选项A,B正确，事件CCBCA,则C正确，D错误故选D 4.ABD解析：一名男生A和两名女生B,C在周六，周日两天 中任选一天去参观博物馆，每人只去一天，且每天至少有 人去参观博物馆的样本点有：(A,BC),(B.AC),(C,AB) (AB,C).(AC.B).(BC.A). 对于A,“周六至少有一名女生去参观博物馆”含(B,AC), (CAB),(AB,C),(AC,B).(BC,A)5个样本点，而“周六只 有一名男生去参观博物馆”含(A,BC)一个样本点，故是对立 事件，即A正确： 对于B,“周六只有一人去参观博物馆”含(A,BC),(B,AC), (C,AB)3个样本点，而“周日只有一人去参观博物馆”含 (AB,C),(AC,B),(BC,A)3个样本点，故是对立事件，即 B正确： 对于C,“周六只有一人去参观博物馆”包含(A,BC), (B,AC),(C,AB)3个样本点，而“周日有两人去参观博物 馆"包含(A,BC),(B,AC),(C,AB)3个样本点，两者不是互 斥事件，故C错误： 对于D,因每人只去一天，故“女生B周六去参观博物馆”与 “女生B周日去参观博物馆”是互斥事件，故D正确.故 选ABD. 必修第一册·BS 5.D解析：因为只有第一道工序加工合格才进行第二道工序 加工，所以事件“产品不合格"包括第一道工序加工不合格 和第一道工序加工合格而第二道工序加工不合格，所以事件 “产品不合格”可以表示为AUAB,故选D. 6.BD解析：若A+B=A,则BCA,故A错误：由题知ABCA A+AB=AB正确：当事件A,B都不发生时，AB发生， 但A不发生，.AB不是A的子集，C错误：AS(A+B), .∴.A(A+B)=A,D正确.故选BD. 7.4解析：事件ABC表示订阅数学学习资料，且订阅语文学习 资料，但不订阅英语学习资料，故表示的区域为4.故答案 为4 8.解：(1)在“图书室中所有数学书都是2025年后出版的且为 中文版”的条件下，才有A∩B∩C=A. (2)是，A=B意味着图书室中的书除数学书以外都是中文版 的，而且所有的中文版的书都不是数学书，同时A=B又可化 成B=A,因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版 的.而且所有不是中文版的书都是数学书. §2古典概型 2.1古典概型的概率计算公式 白题基甜过关 1.D解析：在①中，由题意知：试验中所有可能出现的基本事 件只有有限个，故①正确：在②中，由题意知：每个基本事件 出现的可能性相等，故②错误：在③中，由题意知：每个样本 点出现的可能性相等，故③正确：在④中，样本点总数为， 随机事件A若包含k个样本点，则由古典概型及其概率计算 公式知P(A)=左，故④正确故选Dn, 2.C解析：对于A,试验结果有无数个，显然不是古典概型 故错误：对于B,试验结果有限且等可能，故正确：对于C,试 验结果有限且等可能，故正确：对于D,显然试验并非等可 能，故错误故选BC 3.D解析：用A,B,C,D,E分别表示《周髀算经》、《九章算 术》《海岛算经》、《四元玉鉴》，《张邱建算经》，从上述5部 书籍中任意抽取2部，则样本空间为2=AB,AC,AD,AE, BC,BD,BE,CD,CE,DE,可知n(2)=10,设抽到《九章算 术》为事件M,则M=1AB,BC,BD,BE1,可知n(M)=4,所以 Pr0-0号放法n 4.C解析：如图，由树状图可知，共有16种等可能结果，其中 小军，小明恰好从同一个出口出该公园的有4种等可能结 果，所以小军，小明恰好从同一个出口出该公园的概率为 41 164 ,故选C 小 小东南西北 充 南西 东南北 5.B解析：由条件可知，得到不同的对数为lg,4-2,log,8=3 8=2®4=号%2=共6个对数，其中 为整数的有2个，所以概率P= 黑白题078 6.B解析：从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张 放回后再随机抽取1张，样本空间2=(1,1)，(1,2) (1,3),(14),(2,1),(2,2),(2,3).(2.4),(3,1),(3,2) (3,3),(3,4),(4.1,(4,2),(4.3),(4,4)1,共16个样本 点，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的 样本点有(2,1).(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共6种 情况，故所求概率P==名放选B 2.2 解析：样本空间的个数为9,36的约数有1,2,3,4,6,9 共6个，所以箭头指向36的约数的照率P一号号放答案 解析：由题意，从现有四根长度分别为3,4,7,9的木棒 中，任取其中三根，共有4种取法，其中能组成三角形的有 (3,7,9),(4,7,9),共2种，所以能组成三角形的概率P= 子放答案为宁 。1 里题应用提优 1,BC解析：由题知掷两枚质地均匀的硬币有正正，反反，正 反，反正，共4个基本事件，R=子A=子B=分所以 P,+P=P,P+P+P,=1.故选BC. 2,C解析：若连续抛两次骰子得到的点数分别是m,n,则点 P(m,n)有6×6=36（种）可能，其中满足n=一m+8,m,n∈ 11,2,3,4.5,6的数对有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)， (6.2),共5种可能，所以点P(m,n)在函数y=-x+8图象上 的概率是5故选C 36 3.C解析：不超过10的正奇数有1,3,5,7,9，共5个，从中随 机抽取2个，共有11,3,1.5{，1,7,1,9，{3,51， 13,71,13,91,15,7,5,91,17,9110种情况，其中李生素 数有3,5引，5,7！共2种情况，则这2个奇数是李生素数的 概*为品号故选℃ 4,A解析：设从甲袋中任意摸出一个球的样本空间为2.样本 点个数为x,事件A=“从甲袋中任意摸出一个球是红球”， P(A)=了所以事件A的样本点个数为营设从甲，乙两袋 中任意模出一个球的样本空间为2，从乙袋中任意摸出一 个球的样本空间为2，由题意知？的样本点个数为4x, 则2，的样本点个数为3x.事件B=“把甲，乙两袋合装后从 中任意摸出一个球是红球”，P(B)=子所以事件B的样本 点个数为事作G=“从乙袋中任意摸出一个球是红球 7x 1故 期率件c的样木点个数为音登则P(G=是了 选A 58 解析：设这箱中6罐饮料分别记为1,2,3.4,56，其中 编号为1,2的为能中奖的饮料，一罐中奖另一罐不中奖为事 参考答案 件A.则样本空间2=(1.2)，(1,3)，(1.4)，(L,5),(1.6, (2.3).(24),(2,5).(2.6),(3,4),(3.5),(3.6).(4.5). (4.6).(5,6),所以n(2)=15,A=1(1,3),(1,4),(1,5), (1.6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),n(A)=8,故P(A)= 品吕故答案为哈 6.解：(1)设3个趣味项目分别为A,(跳绳)，A2(踢毽子)， A(篮球投篮)，2个弹跳项日分别为B,(跳高)，B,(跳远)，从 5个项目中随机抽取2个，其样本空间2，={(A,A,), (AA),(A,B),(A,B2),(A,A3).(A,B1).(A2,B2) (A,B,),(A,B2),(B1,B2),共10个禅本点，设事件A为 “抽取的2个项目都是趣味项目”，则A=(A1,A,), (4,A,).(4,A),共3个样本点，故所求概率P(A)= (2)从趣味项日和弹跳项日中各抽取1个，其样本空间么，= 1(A1,B,),(A1,B2),(A,B,),(A2,B),(A,B,),(A B2)},共6个样本点，其中，抽取到的这2个项目包括A,(跳 绳)但不包括B,(跳高)的基本事件为{(A,B2),共1个样 本点，故所求概率为。 压轴挑战 1 2 解析：这个试验的等可能结果用下表表示： 5 8 5 3 3 153 3 共有12种等可能的结果，其中c+d>8的结果有6种，所以c+d> 8的率为P一合，故答案为 2.2古典概型的应用 白题基过关 1,B解析：因为两个互斥事件A,B,P(A+B)=P(A)+P(B), 即0.5=02+P(B),所以P(B)=0.3.故选B. 2.C解析：该地区居民血型的分布为0型49%，A型19%， B型25%，AB型7%，能为A型的病人输血的有0型和A型， 所以能为该病人输血的概率为49%+19%=68%，故选C. 3.C解析：因随机事件A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)= 0<P(A)<1. 3a-3,依题意及概率的性质得0<P(B)<1,即 0<P(A+B)≤1， 0k2-a<1, 0ca-c1,解得<a≤子，所以实数a的取值范围是 4 0<3a-3≤1， (]故选c 4.ACD解析：因为事件A,B.C两两互斥，所以P(B∩C)=0, 放D正确：P(AB)=P(A)+P(B)=写+P(B)=答则 P(B)=号放A正确：P(AUC)=P(A)+P(C)=与P(C)= 黑白题079