第一章 3.1 不等式的性质-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019)

§3不等式 3.1不等式的性质 白题 基础过关 很时：25in 题组1用不等式（组）表示不等关系 6.(2025·江西宜春高一月考)下列说法 1.·(2025·河北邢台高一月考)在某校新生 中，错误的是 军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分 A.若a>6,ab>0,则< 数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大 于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y,则用 及若导的则心 不等式组表示为 ( 170≤x+y≤190， 170≤x+y≤190. C.若b>a>0,m>0,则+m0 b+m b A. B. (x< x>y D.若a>b.c<d,则a-c>b-d (170<x+y≤190， 170<x+y≤190， 7.(多选)(2025·辽宁盘锦高一月考)已知 C. D. (x<y x>y 1<a<2且-5<b<3.则 2.■·(2025·四川绵阳高一月考)一桥头竖立 A.-4<a+b<5 B.-1<a-b<6 的“限质量40”的警示牌，是提示货车司机要 C.-5<ab<6 D.-5<b<3 a 安全通过该桥，应使货车总质量T(单位：)不 题组4不等式性质的实际应用 超过40t,用不等式表示为 8.*某网店的最新商品计划分两次降价促销， 题组2比较代数式的大小 有三种方案：A:第一次降价百分率为m,第二 3.■·(2025·天津滨海新区高一月考)设 次降价百分率为：B:第一次降价百分率为 M=2x2-3x+5,N=x2-x+4,则M与N的大小 n,第二次降价百分率为m:C:第一次降价百 关系是 ( A.M≥N B.M>N 分率为”，第二次降价百分率为” C.M<N D.与x有关 其中0%<n<m<100%. 4.(2025·山东滨州高一月考)若a>b, (1)经过两次降价后，请把三种方案的降价后 则c-2a c-2b(从“<，>，=”中选择一 的价格从大到小排列： 个填空) (2)证明你的结论， 题组3不等式性质的理解及应用 5.(2025·四川成都高一月考)a,b,c∈R, b>c,下列不等式恒成立的是 A.a+b2>a+e2 B.a2+b>a2+c C.ab2zac? D.a2b>a2c 第一章黑白题017 黑题 应用提优 限时：30min 1.(2025·河北衡水高一期中)若a>1b1>8.(2025·江西师大附中高一月考)(1)设 0,则下列结论一定成立的是 ( a,b为实数，比较a2+b2与4a-2b-5的值 A.a'b>ab2 B、1 的大小： a ab b2 a2 (2)若a>0,b>0,求证：+ ≥a+b. C.a'< D.a-c>c-b 2.(2025·四川泸州高一月考)已知实数x, y满足-4≤x-y≤-1，-1≤4x-y≤5，则6x-3y 的取值范围是 ( A.-9≤6x-3y≤3 B.-7≤6x-3y≤26 C.4≤6x-3y≤15 D.1≤6x-3y≤15 3.(多选)(2025·广东东莞高一月考)若 x>y>z,且x+2y+z=0,则 ( A.x>0 B.z<0 9.#(2025·山西大同高一月考)港珠澳大桥 C.xy>yz D.<2 x-y-2 通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采 4.(多选)有外表一样，质量不同的六个小 用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两 球，它们的质量分别是a,b,c,d,e,f,已知a+ 次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生 b+c=d+e+f,a+b+e>c+d+f,a+b+f<c+d+e,a+e< 有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升 b.则下列判断正确的有 的燃油：第二种方案，每次加200元的燃油， A.b>c>f B.b>e>f C.c>e>f D.b>e>c (1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升。 5.(2024·黑龙江哈尔滨高一月考)用锤子 第二次加油时燃油的价格为4元/升，请 以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深 计算出每种加油方案的平均价格（平均价 人，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉 格=总价格÷总升数) 人木板的钉子长度后一次为前一次的云 (2)分别用m,n(m≠n)表示刘先生先后两次 加油时燃油的价格，请计算出每种加油方 (kEN·),已知一个铁钉受击3次后全部进入 案的平均价格，选择哪种加油方案比较经 木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长 济划算？并给出证明， 度是钉长的号，请从这个实例中提炼出一个不 等式组： 6m如果<0.0<1，那么，从小到大 xxx 的顺序是 7.已知b>0,且-4b≤a-c≤-b≤4a-c≤5b 则9-C的取值范围是 b 必修第一册·BS黑白题018当a<0时.集合A=☑.符合AnB=☑.当a≥0时.因为m2+ 3>0,所以由VmeR,4nB=☑，得a<m2+3对于任意meR 恒成立，又m2+3≥3，所以0≤a<3.综上.实数a的取值范围 为a<3.故答案为a<3. 6.解：(1)由命题p为真命题可得ASB,且B≠☑.则 -3m+1≤m-1 -3m+1≤1，解得m≥8.即实数m的取值范周为 m-1≥7. m1m≥8. (2):9:HxeB,xA是假命题，g:3xeB,xeA是真 -3m+1≤m-1, 命题，即AnB≠☑. -3m+1≤7，解得m≥2即实数m m-1≥1. 的取值范围为mm≥2. 四重难点拨 1.由命题真假求参数的方法步聚： (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围： (2)根据每个命题的真假情况.求出参数的取值范围。 2.全称量词命题可转化为恒成立何题： 求含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的会义，利 用函数的最值解决 压轴挑战 解：(1)由题意得，p:3x∈xl4≤x≤9，x≥a+4,为直命题，则 9≥a+4,即a≤5，故一p为真命题时，a的取值范围为ala≤5引. (2)当p为真命题时，a+4>9,即a>5,所以p为假命题时，a≤5： 当g为真命题时，a+4>0,即a>-4,所以g为假命题时，a≤-4： 若p,g同时为假命题，则a≤-4， 所以若p,9至少有一个是真命题时，a>-4,故实数a的取值范 围是1ala>-4. §3不等式 3.1不等式的性质 白题 基础过关 1,D解析：由题意得 170<x+≤190，故选D. x> 2.T≤40解析：因为货车司机要安全通过该桥，应使货车总 质量T不超过401，所以用不等式表示为T≤40， 3.A解析：M-N=2x2-3x+5-(x2-x+4)=(x-1)2≥0，则 M≥N.故选A. 四重难点拨 1比较两个数（式）大小的两种方法：作差与作商， 2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断p→口 和g→印是否正确，要注意特陈值法的应用 3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式 的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法. 4.在求式子的范图时，如果多次使用不等式的可加性，式子 中的等号不能同时取到，会导致范围扩大 4.<解析：由(c-2a)-(c-2b)=c-2a-c+2b=2(b-a)<0,故c- 2a<c-2h.故答案为< 5.B解析：对于A,若c<b<0,则b2<c2,选项不成立，故 A错误： 对于B,因为b>e,a2≥0，故a2+b>m2+c,故B成立， 对于C,D,若a=0,则选项不成立，故C,D错误放选B 参考答案 6.A解折：对于A,取a=-3,6=-2则>，故A错误：对 于B由0，号号得6，放B正确：对于C名 ab+bm-ab-am_m(b-a） 由b>0>0,m>0,得m6-a>0.所 b(b+m) b(b+m) b(b+m)】 以tm:,故C正确：对于D,由c<d,得-c>-d,又a>h,所 b+mb 以a-e>b-d.故D正确.故选A 7.AD解析：1<a<2且-5<b<3,.1-5<a+b<2+3,即-4<a+ b<5,故A正确： 取a=1.8,b=-4.8.则a-b=6.6>6,故B错误： 取a=1.8,b=-4.则ab=-7.2<-5,故C错误： 6 ,1<a<2,∴.5<5a<10,又-5<b<3.,0<b+5a<13, T-5)=4600s-5<1<a<2-6c-3a<-3,又-53 a 6c3-11<h-3如<0,6-3.6-30<06<3综上，-5< a <3,放D正确，故选AD, 8.(1)解：两次降价后，三种方案的降价后的价格从大到小排 列为C>A=B. (2)证明：设原先的价格为，则方案A经过两次降价后，价 格变为a(1-m)(1-n):方案B经过两次降价后，价格变为 a(1-n)(1-m):方案C经过两次降价后，价格变为a1- + 2 ,显然方案A,B的降价后的价格相同， 因为a2a(1-m)1-m)=a[-m-+(2） -a(1 1-m)0.即a(0” >a(1-n)(1-m),所以C>A=B. 四方法总结 1,比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主 要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差一变 形一判断正、负。 2.判断不等式是否成立，主要是利用不等式的性质和特殊值 验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特 殊值验证的方法更简单 黑题 应用提优 1.B解析：对A,当6<0时，ab<ab2,故A错误： 对B,当b<0时1,1 ab-ab' 心放B正确： 对C,当b<0时，a'>b,故C错误： 对D,当c=a,b<0时，a-c<c-b,故D错误故选B. 黑白题009 2.A解析：6r-3y=2(x-y)+(4x-y),因为-4≤x-y≤-1，所 以-8≤2(x-y）≤-2，又-1≤4x-y≤5，所以-9≤2(x-y)+ (4x-y)≤3.即-9≤6-3y≤3.故选A 3.ABD解析：对于A,由x>y>:且x+2y+:=0得x+2y+z< x+2x+x=4x,所以4x>0.x>0,A正确： 对于B.x+2y+>z+2:+:=4:,所以4<0，<0，B正确： 对于C,取x=1,y=0,=-1,则y=,C错误： 对于D,由：得0<y-,所以>1，因为<0，所 x-y x-1 以三<三，D正确故选ABD, x-y x- 4.ABD解析：因为a+b+c=d+e+fa+b+e>e+d+f,所以e- c>c-e,所以e>e又因为a+b+fKc+l+e,所以c-f-c,所以e>f, 所以e>c>f,C错误.又因为a+e<b,所以a<b.e<b.所以b>e>c, b>e>f,b>c>f均成立，ABD正确故选ABD. 4.4 7'7c, 5.444 77k72, 解析：依题意.知第二次被击铁钉没有全 kEN' 部进人木板，第三次敲击铁钉全部进人木板，所以 4.4 44 771, 771, 4.4.4 7+1故答案为4+4+4 777R1, keN'. eN'. 6.1<’<工解析：因为三个式子很明显都是负数，所以 xxx y ye0.D,所以兰>：理 1=ye(0,1),所以y> 左， xxx 7.-1≤90≤20解析：由-46≤a-c≤-6≤4如-c≤56可 得46≤a-c≤-6. (-b≤4a-e≤5b. 令9a-c=m(a-c）+n(4a-c),整理可得9a-c=(m+4n）a- 5 m== (m+ne,所以mt9,解得 3 所以9a-e= (m+n=1。 8 n3 ()() 5 将-46≤a-c≤-b两边同时乘- 36s 3,可得 3(a-c)5 头@ 将-6≤4e≤动两边同时桑号可得-受≤骨(-e)≤ 6②. 两武相加可得-≤-弓(a-)+（-e) 36* 必修第一册·BS 号.用-6≤9r≤2w。 因为>0，所以-1≤≤20 8.(1)解：因为a2+62-(4a-26-5)=a2-4a+4+62+2b+1= (a-2)2+(6+1)2≥0， 故a2+2≥4a-2b-5. (2)证明：因为a>0.6>0,所以a+b>0,又，。。+W a b ab (a+b)(a2-ab+62) ab 因为2+8≥2b,所以有公+分=+6（a-a+6 b a+62-1=a+h,当a=6时，等号成立，因此2 ab a+b. 9.(1)解：第一种方案，两次加油共花费30×5+30×4= 270(元)，两次共加了60升燃油，所以平均价格为270 60 4.5(元/升)： 第二种方案，两次加油共花费200+200=400（元）.两次共加 了20：20=90（升）燃油，所以平均价格为0。 5* 4 智元升 (2)证明：由题意可得第一种方案，两次加油共花费(30m+ 30m)元，两次共加了60升燃油，所以平均价格为30m+30n 60 m空”（元升）： 第二种方案，两次加油共花费200+200=400（元），两次共加了 /20200 升燃油.所以平均价格为02（元/升）. m n '200200m+n m n mn2mn (mtn)'-4mn (m-n)2 >0,所以选择第二种 2m+ 2(m+n) 2(m+n) 加油方案比较经济划算。 3.2基本不等式 白题 基础过关 1.ACD解析：用基本不等式的前提是“一正，二定，三相等”， 即当片号均为正数时，可得片片≥2（当且仅当a=6时等 a b 号成立)，此时只需4，b同号即可，所以①③④均满足要求 敌选ACD. 四易错提醒 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正”：各项必须为正数： (2)“二定”：要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转 化成定值：要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转 化成定值； (3)“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号戒 立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这 也是最容易发生错误的地方。 黑白题010