第一章 2.1 必要条件与充分条件-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019)

(ii)2m-2<m+4,即m<6时，由题意m+4≤2或2m-2≥4， 又m>0,因此3≤m<6 综上，m的取值范围是mlm≥3}，最小值是3. ②若AUC≠A,则C不是A的子集，因此有m<3,所以m+ 4<7. 又AnC中只含有两个正整数元素， 所以A∩C中仅有的两个正整数是1,5或5,6 m<3 .3 当两个正整数是1,5时，则2m-2<1,解得1<m<2: 5<m+4≤6. 1m<3. 当两个正整数是5,6时.则{1≤2m-2≤4，解得2<m<3. 6<m+4<7 3 综上，m的取值范围是{m1<m<2或2<m<3}: 12.解：(1)由A=x1≤x≤31，B=x11x-31<1=1x1-1<x 3<11=xl2<x<4,故A∩B=x2<x≤3引C,B={xlx≤2 或x≥4，故AUC,B={xlx≤3或x≥4. (2)由BUC=B得CCB.当C=☑时.2a>a+2.则a>2满足 12a≤a+2 题意：当C≠⑦时，则2a>2, 解得I<<2.综上可得1< a+2<4, a<2或a>2 12u≤a+2, .3 (3)由4nC≠⑦得2a≤3，解得-1≤a≤2 a+2≥1. 压轴挑战 1.AB解析：选项A,由题可知，P⑧1={：：=x,x∈P\=P, 故正确： 选项B,P⑧Q=1:l:=y,x∈P,y∈Q1,所以(P因Q)⑧R= ala=b.z∈(P☒Q),beR}=ala=xb,x∈P,y∈Q,b∈ R,同理P⑧(Q⑧R)={ala=xb,xeP,yeQ,beR,所以 (P⑧Q)②R=P②(Q⑧R),故选项B正确： 选项C,P图0=z:=x×0,xeP=01,故当集合P中没 有元素0时，选项C错误： 选项D,由题可知P⊙Q=:l:=xy,xeP,yeQ≠☑，但是 P门Q可能为空集，所以选项D错误故选AB. 2.C解析：由题意可知，A,UAUA=xeN11≤x≤9！= 11,2,3,4,5,6,7,89,41,42,A3各有3个元素且不重复，先 考虑最小值为1,2,3，不妨设1∈A1,2eA2,3∈A,9∈A1.则 剩余数中最大为8，所以可以令8∈A,所以A,=1,4, 5引，A2=}2,6,7或者A,=11,6,7,A2=12,4,5,此时 M,+M2+M,取得最小值，此时最小值为1+2+3+5+7+9=27 故选C §2常用逻辑用语 2.1必要条件与充分条件 白晒 基础过关 1,B解析：若甲是冠军，则乙不是冠军：若乙不是冠军，则甲 是冠军或丙是冠军，所以“甲是冠军”是“乙不是冠军”的充 分不必要条件.故选B. 2.C解析：由=5，得x=5,所以“x=5”是“x=√5"的充要 条件故选C, 必修第一册·BS 3.B解析：“积胜步”不一定“至千里”，但“至千里”必有“积 跬步”，“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件故选B 4.A解析：若“△ABC不是直角三角形”，则“a2+b≠。2”，所 以充分性成立.若“a2+≠2”，则角C不为直角，有可能 角A或角B是直角，所以必要性不成立，“△4BC不是直角 三角形”是“a+b≠2”的充分不必要条件.故选A。 5.A解析：Hx∈P,0<x<5.所以xEQ,故充分性成立：Hx∈ Q,xEP不一定成立，故必要性不成立，所以“xeP”是“x∈ Q”的充分不必要条件故选A 6.D解析：若A门B≠☑，如A=1,2{,B=1,满足A门B= 11≠☑，但不满足ACB.若ACB,如A=☑，B=11,满 足A二B,但不满足A∩B≠⑦.所以A∩B≠☑是A二B的既 不充分也不必要条件故选D. 7.必要不充分解析：由y=0,可得x=0,y≠0或y=0,x≠0 或x=y=0:由x2+y2=0.可得x=y=0 显然，“x2+y2=0”可以推出“y=0“,即必要性成立：而“= 0”不可以推出“x2+y2=0”,即充分性不成立，所以“y=0” 是“x2+y2=0”的必要不充分条件故答案为必要不充分。 四重难点拨 充要条件的两种判断方法： (1)定义法：根据P一9,9=→p进行判断。 (2)集合法：根据使严，9成立的对象的集合之间的包含关系 进行判断. 8.证明：必要性：若ax2+x+c=0有一个根为2，则x=2满足方 程，即4a+2b+e=0:充分性：若4a+2b+c=0.则a×22+b×2+e= 0,即x=2满足方程ax2+bx+c=0,则关于x的方程ar2+ bx+e=0有一个根为2.综上，命题得证 9.证明：充分性： 若a-b=0,则a3-2a2b+2ab2-b2=(a-b)(a2-ab+b2)=0.即 充分性成立： 必要性： 若a3-2a2b+2ab2-b3=0.而a2-2a2b+2ab2-b=(a-b)(a2- ab+b62). 则a-6d-d5)=0.又c-o6=(e-安）} 由a40,得a0且60.海(o)广≥0，且改0， 612362 因此a2-ab+8=(a-广+0.则a-b=0,即必要性 成立， 所以a'-2a2b+2ab2-b=0成立的充要条件是a-b=0. 10.D解析：对于A,a=2→aeA,aeA≠a=2,.a=2是 aeA的充分不必要条件： 对于B,a>1→aeA,aeA中a>1,.a>1是aeA的充分 不必要条件： 对于C,0<a<1→aeA,aeA≠0<a<1,.0<a<1是a∈A 的充分不必要条件： 对于D,:a=0共aeA,aeA→a≥0，，a≥0是aeA的必 要不充分条件.故选D. 11.A解析：对于A,灯泡L亮，可能是S,闭合，不一定是S闭 合，当S闭合时，必有灯泡L亮，故是g的必要不充分条 件，A正确；对于B,由于S和L是串联关系，故灯泡L亮必 有S闭合，S闭合必有灯泡L亮，即p是g的充要条件， B错误：对于C,灯泡L亮，则开关S,和S必都闭合：当开 黑白题006 关S闭合S,打开时，灯泡L不亮，故p是q的充分不必要 条件，C错误：对于D,灯泡L亮，与开关S闭合无关，故P 是g的既不充分也不必要条件，D错误故选A 12.BD解析：若4=0，则原方程为x=0,恰有一个实数根 符合： 若a≠0，则4=4-4n2=0,故a=±1. 故关于x的方程2+2x+=0恰有一个实数根的等价条件 为a=0或a=±1，ABCD四个选项中，只有BD对应的选项 中的元素构成的集合为0,1，-1的真子集，故选BD. 13。网=-2解桥：由于二次函数的对称轴为直线=一受，所 以函数y=x+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件 是-受=1，即m=-2 14.A解析：若命题“x≥2是x>m的必要不充分条件”是真命 题，则1x1x>m军x1x≥2}，则m的取值范围是m≥2. :命题“x≥2是x>m的必要不充分条件”是假命题，则m 的取值范围是m<2.故选A 15.-1,0,1解析：依题意.A={x1x2-4=0=12,-21.若 a=0,则B=☑，满足x∈A是x∈B的必要不充分条件.当 a0时，B={=}由于seA是eB的必要不充 分条件，所以2=2或2：-2，解得4=1或4=-1，综上所 述，a的所有可能取值构成的集合为！-1.0.1|.故答案为 -1.0.1. 16.解：(1)M∩P={x15<x≤81的充要条件是-3≤a≤5，所以实 数a的取值范围是a1-3≤a≤51. (2)显然，满足-3≤a≤5的任意一个a的值都是M∩P= |x15<x≤8的充分不必要条件如：a=-3.(答案不唯一) (3)若a=-5,显然M∩P={x1-5≤x<-3或5<x≤8}，则 a=-5是MnP=xl5<x≤8！的一个必要不充分条件.如图， 结合数轴可知a<-3时符合题意，则实数a的取值范围可以 是{ala<-3{.(答案不唯一) 四重难点拨 充分条件，必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上， 解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关 系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不 等式组)求解， (2)要注意端点的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求 解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定瑞点的取 会，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 里题应用提优 1.A解析：由UN=N,可知MSN若x=2,则M=1.2:,所 以M9N,故充分性满足；若MCN,则x=2或x=3,显然必 要性不满足，所以“x=2”是“MUN=N”的充分不必要条件 故选A. 2.ACD解析：依题意，“x<h或x>+2”是“-4<x<1"的必要不 充分条件.所以≥1或k+2≤-4，解得≥1或k≤-6，所 以ACD选项正确.B选项错误故选ACD, 参考答案 3.B解析：AUB=C,且B不是A的子集，.若xeA,则x∈ C,但若x后C,则x后A或x后B“x∈C”是“xeA”的必要不 充分条件故选B 4.A解析：由x+1=x+y,得(x-1)(y-1)=0,可得x=1或y= 1,即x,y至少有一个为1，所以“xy+1=x+y”的充要条件为 x,y至少有一个为1，故只有A符合，其他选项均不符.故 选A. 5.BD解析：由已知得→r→→g:g→r→s,p是g的充分条 件：P是s的充分条件：r是g的充要条件：s是g的充要条件. 故选BD. 6.必要不充分解析：依题意，没有预约，一定不能游园，即游 园的人必须是提前预约的，游园可推出预约，而预约了，可 能不游园.所以“顶约”是“游园”的必要不充分条件.故答案 为必要不充分 7.(1)④(2)①解析：由题意有：①ah=0→a=0或b=0.即 a,b至少有一个为0：②a+b=0→，b互为相反数，则a,b可 能均为0，也可能为一正数一负数：③a(a2+b2)=0a=0,b 为任套实数，国a>0-代0火。即a6都不为a综上 可知，(1)使a,b都不为0的充分条件是④：(2)使a,b至少 有一个为0的充要条件是①. 8.充分不必要解析：对于实数a,b,依题意，a≥[a],〈b》≥ b.面[a]=(6).因此a≥k若a≥6，如取a=b=了，有 [a]=0,(b)=1,显然[a]<(b),所以“[a]=(b)”是“a≥b" 的充分不必要条件 压轴挑战 C解析：因为此数为小于5的正整数，所以A={x|0<△x<2= {:0<子}，因为xeB是r∈A的必要不充分条件eG是 xEA的充分不必要条件，所以C是A的真子集，A是B的真子 集所以子≤5且子号解得号≤43，所以4表示的数字 是1或2，故C正确故选C 四方法总结 充分、必要条件与集合的关系： P,9成立的对象构成的集合分别为A和B. (1)若ACB,则p是q的充分条件，9是p的必要条件。 (2)若A军B,则p是9的充分不必要条件，9是P的必要不充 分条件 (3)若A=B,则p是g的充要条件。 22全称量词与存在量词 第1课时全称量词命题与存在量词命题 白题 基础过关 1.C解析：对于A,含有量词所有，为全称量词命题，故 A错误： 对于B.含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误： 对于C,含有量词有的，为存在量词命题，故C正确： 对于D,含有量词任意，为全称量词命题，故D错误故选C 2.AC解析：根据全称量同命题和存在量词命题的定义可以 判断选项AC是全称量词命题，BD是存在量词命题，故 选AC 3.C解析：与“HxR.x2+1≥1”表述一致的是“不存在实数 x,使得x2+1<1成立”.故选C 黑白题007§2常用逻辑用语 2.1必要条件与充分条件 白题 基础过美 很时：40in 题组1充分条件、必要条件与充要条件的5.(2024·四川绵阳高一月考)若集合P= 判定 11,2,3,4,Q={x10<x<5,则“xeP"是“x∈ 1,·(2025·河北唐山高一期中)甲、乙、丙三 Q”的 () 人进人某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有 A.充分不必要条件 1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的( B.必要不充分条件 A.充要条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 6.(2025·浙江宁波余姚中学高一月考) D.既不充分也不必要条件 A∩B≠O是A二B的 () 2.·(2025·广东东莞高一期中)“x=5”是 A.充分不必要条件 “x=5"的 ( B.必要不充分条件 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C.充要条件 7.北师教材变式(2025·山东青岛高一月 D.既不充分也不必要条件 考)“y=0”是“x2+2=0”的 条件 3.(2025·湖南邵阳高一月考)荀子日：“故 (用“充分不必要”“必要不充分”或“充要” 不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江 填空) 海”此名言中的“积哇步”是“至千里”的 题组2充要条件的证明 ( 8.·苏教教材变式(2025·江苏南京高一月考) A.充分不必要条件 求证：“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根 B.必要不充分条件 为2”的充要条件是“4a+2b+c=0”. C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4,人A教材变式(2025·广东肇庆高一月 考)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,则 “△ABC不是直角三角形”是“a2+b2≠e2"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第一章黑白题011 9.(2025·安徽淮南高一月考)已知ab≠0， 题组4充分条件、必要条件与充要条件的应用 求证：a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是 14.·(2025·湖北十堰高一月考)若命题 a-b=0. “x≥2是x>m的必要不充分条件”是假命 提示：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 题，则m的取值范围是 () A.m<2 B.m≤2 C.m>2 D.m≥2 15.*(2025·江苏徐州高一月考)已知集 合A={x1x2-4=0,B={x1ax-2=0,若 x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a 的所有可能取值构成的集合为 16.*已知集合M={x1x<-3或x>5},P= |xa≤x≤8|. 题组3充分条件、必要条件与充要条件的探索 (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P= 10.(2025·广东广州高一期中)若集合A= {x5<x≤8}的充要条件： {xlx>0,下列各式不是“a∈A”的充分不必 (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P= 要条件的是 {x5<x≤8}的一个充分不必要条件： A.a=2 B.a>1 (3)求实数a的一个取值范围，使它成为 C.0<a<1 D.a≥0 M∩P=|xI5<x≤8的一个必要不充分 11.(2025·陕西西安高一月考)设计如图 条件 所示的四个电路图，条件：“灯泡L亮”，条 件g:“开关s闭合”，则p是g的必要不充分 条件的电路图是 D 12.·(多选)(2025·浙江温州高一月考)关 于x的方程ax2+2x+a=0恰有一个实数根的 充分不必要条件可以是 ( A.a<2 B.a=1或a=-1 C.a=0或a=±1 D.a=0 13.·函数y=x2+m.x+1的图象关于直线x=1 对称的充要条件是 必修第一册·BS黑白题012 黑题 应用提优 限时：25mim 1.*(2025·福建泉州高一月考)已知x∈R,6.马上进人红叶季.香山公园的游客量将有 若集合M=1,x},N=1,2,3,则“x=2”是 所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的 “MUN=N"的 ( 措施，需要通过提前预约才能进入公园.根据 A.充分不必要条件 以上信息，“预约”是“游园”的 B.必要不充分条件 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要” C.充要条件 或“既不充分也不必要”)》 D.既不充分也不必要条件 7.(2024·辽宁阜新高一月考)若a,b都是 2.(多选)(2025·山东青岛高一月考)若 实数，试从①ab=0:②a+b=0:③a(a2+b2)= “x<k或x>k+2”是“-4<x<1”的必要不充分条 0:④ab>0中选出满足下列条件的式子，用序 件，则实数k的值可以是 ( A.1 B.-5 号填空： C.-6 D.-8 (1)使a,b都不为0的充分条件是 3.*(2025·河北石家庄高一月考)若非空集 (2)使a,b至少有一个为0的充要条件 合A,B,C满足AUB=C,且B不是A的子集，则 是 ( 8.#设x为任一实数，[x]表示不超过x的最 A.“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件 大整数，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如 B.“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件 [2.1]=2,[-2.1]=-3,0.5〉=1，(-0.5〉=0， C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件 那么“[a]=〈b)”是“a≥b"的 条件 D.“x∈C”是“x∈A”的既不充分也不必要 压轴挑战 条件 #(2025·山东日照高一月考) 4.(2025·江苏淮安淮阴中学高一期中)设 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜 x,y∈R,则“y+1=x+y”的充要条件为( A.x,y至少有一个为1 数字游戏，甲、，乙、丙共同写出三个集合：A={x B.x,y都为1 0<Ax<2,B=xl-3≤x≤5，C={x0<x< C.x,y都不为1 D.x2+y2=2 },然后他们三人各用一句话来正确描述“4△” 5.(多选)(2025·浙江绍兴高一期中)已知 表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是 P,9都是r的充分条件，s是r的必要条件， 甲，乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5 9是、的必要条件，则 的正整数：乙：x∈B是x∈A的必要不充分条 A.p是g的既不充分也不必要条件 件：丙：x∈C是x∈A的充分不必要条件.则“△"” B.p是s的充分条件 表示的数字是 ( C.r是g的必要不充分条件 A.3或4B.2或3C.1或2D.1或3 D.s是g的充要条件 第一章黑白题013